1、高考资源网（） 您身边的高考专家2020-2021学年江苏省淮安市金湖中学、洪泽中学等六校高二（下）第一次联考数学试卷一、单项选择题（每小题5分）.1已知复数z满足z（1+i）2，则|z|（）A1BC2D32函数ycos2x的导数是（）Asin2xBsin2xC2sin2xD2sin2x3已知复数z（a29）+（a3）i（aR），则“a3”是“z为纯虚数”的（）A必要不充分条件B充分不必要条件C充要条件D既不充分又不必要条件4已知函数f（x）和g（x）在区间a，b上的图象如图所示，那么下列说法正确的是（）Af（x）在a到b之间的平均变化率大于g（x）在a到b之间的平均变化率Bf（x）在a到b之
2、间的平均变化率小于g（x）在a到b之间的平均变化率C对于任意x0（a，b），函数f（x）在xx0处的瞬时变化率总大于函数g（x）在xx0处的瞬时变化率D存在x0（a，b），使得函数f（x）在xx0处的瞬时变化率小于函数g（x）在xx0处的瞬时变化率5已知函数，则f（2021）（）A2020B2020C2021D20216函数在区间（m，m+1）上单调递减，则实数m的取值范围是（）A（0，1）B0，2C0，1）D（0，2）7函数f（x）的图象大致是（）ABCD8传说西游记中孙悟空的“如意金箍棒”原本是东海海底的一枚“定海神针”作为兵器，“如意金箍棒”威力巨大，且只有孙悟空能让其大小随意变化假定孙
3、悟空在使用“定海神针”与各路妖怪打斗时，都将其变化为底面半径为4cm至10cm之间的圆柱体现假定孙悟空刚与一妖怪打斗完毕，并降伏了此妖怪，此时“定海神针”的底面半径为10cm，长度为dcm在此基础上，孙悟空使“定海神针”的底面半径以每秒1cm匀速缩短，同时长度以每秒40cm匀速增长，且在这一变化过程中，当“定海神针”的底面半径为7cm时，其体积最大，此时“定海神针”的长度d为（）cmA20B40C60D80二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9设复数，则以下结论正确的是（）Az3iB
4、|z2|z|Cz31Dz210下列结论正确的是（）A“z1，z2互为共轭复数”是“|z1|z2|”的充要条件B如图，在复平面内，若复数z1，z2对应的向量分别是，则复数z1+z2对应的点的坐标为（2，0）C函数存在单调递增区间D函数yxsinx不存在极值点11已知函数f（x）ax22x+lnx存在极值点，则实数a的取值范围是（）A0BeCD12若直线l与曲线C：yf（x）满足以下两个条件：点P（x0，y0）在曲线C：yf（x）上，直线l方程为yy0f（x0）（xx0）；曲线C：yf（x）在点P（x0，y0）附近位于直线l的两侧，则称直线l在点P处“切过”曲线C下列选项正确的是（）A直线l：yx
5、1在点P（1，0）处“切过”曲线C：ylnxB直线l：x1在点P（1，0）处“切过”曲线C：y（x+1）2C直线l：y0在点P（0，0）处“切过”曲线C：yx3D直线l：yx在点P（0，0）处“切过”曲线C：ysinx三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13若zC，且|z|1，则|z34i|的最小值为 14函数f（x）的定义域是（0，），其导函数是f（x），若f（x）sinx+f（x）cosx0，则关于x的不等式的解集为 15已知函数f（x）xexex，函数g（x）mxm（m0），若对任意的x12，2，总存在x22，2使得f（x1）g（x2），则实数m的取值范围是 16对于函数yf（
6、x），若存在x0，使f（x0）f（x0），则点（x0，f（x0）与点（x0，f（x0）均称为函数f（x）的“积分点”已知函数f（x），若点（2，f（2）为函数yf（x）一个“积分点”则a ；若函数f（x）存在5个“积分点”，则实数a的取值范围为 四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17若定义一种运算：（a，b）ac+bd已知z为复数，且（1，z）94i（1）求复数z；（2）设t为实数，若z0t+2i，且为纯虚数，求t的值18在函数f（x）的单调减区间为；函数f（x）在x1处的切线方程为y8x+14，且b0；函数f（x）在x1处取得极小值10；这三个条件中
7、任选一个，补充在下面问题中求解已知函数f（x）x3+ax2+bxa27a，且_（1）求a、b的值；（2）若x1，2，求函数f（x）的最小值19已知复数z1a3i，z22+（a2+3a+1）i（aR，i是虚数单位）（1）若复数z1z2在复平面上对应点落在第一象限，求实数a的取值范围；（2）若虚数z1是实系数一元二次方程x22x+m0的根，求实数m的值20已知函数（a0）（1）若曲线yf（x）在点处的切线经过坐标原点，求实数a；（2）若a0时f（x）在1，e上的最小值是，求a21某公司准备设计一个精美的心形巧克力盒子，它是由半圆O1、半圆O2和正方形ABCD组成的，且AB8cm设计人员想在心形盒子
8、表面上设计一个矩形的标签EFGH，标签的其中两个顶点E，F在AM上，另外两个顶点G，H在CN上（M，N分别是，的中点）设EF的中点为P，FO1P，矩形EFGH的面积为Scm2（1）写出S关于的函数关系式S（）及定义域；（2）当为何值时，矩形EFGH的面积最大？22已知函数f（x）mexxex（x0），其中mR，e为自然对数的底数（1）讨论f（x）的单调性，并求极值；（2）当x0时，f（x）+xexexlnxe2x，求m的最小整数值参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。1已知复数z满足z（1+i）2，则|z|（）A1BC2D3解
9、：z1i，故|z|，故选：B2函数ycos2x的导数是（）Asin2xBsin2xC2sin2xD2sin2x解：根据题意，令t2x，则ycost，其导数y（2x）（cost）2sin2x；故选：C3已知复数z（a29）+（a3）i（aR），则“a3”是“z为纯虚数”的（）A必要不充分条件B充分不必要条件C充要条件D既不充分又不必要条件解：若复数z为纯虚数，则，a3，a3是z为纯虚数的充要条件，故选：C4已知函数f（x）和g（x）在区间a，b上的图象如图所示，那么下列说法正确的是（）Af（x）在a到b之间的平均变化率大于g（x）在a到b之间的平均变化率Bf（x）在a到b之间的平均变化率小于g（
10、x）在a到b之间的平均变化率C对于任意x0（a，b），函数f（x）在xx0处的瞬时变化率总大于函数g（x）在xx0处的瞬时变化率D存在x0（a，b），使得函数f（x）在xx0处的瞬时变化率小于函数g（x）在xx0处的瞬时变化率解：对于A、B，f（x）在a到b之间的平均变化率是，g（x）在a到b之间的平均变化率是，即二者相等；选项A、B错误；对于C、D，函数f（x）在xx0处的瞬时变化率是函数f（x）在xx0处的导数，即函数f（x）在该点处的切线的斜率，同理函数g（x）在xx0处的瞬时变化率是函数g（x）在xx0处的导数，即函数g（x）在xx0处的切线的斜率，由图形知，选项C错误，D正确故选：D
11、5已知函数，则f（2021）（）A2020B2020C2021D2021解：根据题意，函数，则其导数f（x）x+2f（2021）+，令x2021，则有f（2021）2021+2f（2021）+1，变形可得：f（2021）2020，故选：A6函数在区间（m，m+1）上单调递减，则实数m的取值范围是（）A（0，1）B0，2C0，1）D（0，2）解：函数的定义域为（0，+），f（x）x，令f（x）0，得0x3，即f（x）的单调递减区间为（0，3），由于函数f（x）在区间（m，m+1）上单调递减，则（m，m+1）（0，3），所以，解得0m2，即实数m的取值范围是0，2故选：B7函数f（x）的图象大致是
12、（）ABCD解：定义域为（0，1）（1，+），故排除A；f（100）0，故排除C；，故排除D故选：B8传说西游记中孙悟空的“如意金箍棒”原本是东海海底的一枚“定海神针”作为兵器，“如意金箍棒”威力巨大，且只有孙悟空能让其大小随意变化假定孙悟空在使用“定海神针”与各路妖怪打斗时，都将其变化为底面半径为4cm至10cm之间的圆柱体现假定孙悟空刚与一妖怪打斗完毕，并降伏了此妖怪，此时“定海神针”的底面半径为10cm，长度为dcm在此基础上，孙悟空使“定海神针”的底面半径以每秒1cm匀速缩短，同时长度以每秒40cm匀速增长，且在这一变化过程中，当“定海神针”的底面半径为7cm时，其体积最大，此时“定海
13、神针”的长度d为（）cmA20B40C60D80解：设“定海神针”的底面半径从10cm缩短至4cm所需要的时间为t秒，则圆柱的半径R10t，圆柱的长度Dd+40t，所以圆柱的体积VR2D（10t）2（d+40t），所以V2（10t）（d+40t）+40（10t）2（t10）（120t+2d400），当“定海神针”的底面半径为7cm时，t3s，此时体积V最大，所以t3时，V（310）（1203+2d400）0，所以2d400，即d20cm故选：A二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9设
14、复数，则以下结论正确的是（）Az3iB|z2|z|Cz31Dz2解：，z3i+ii，故A正确，C错误；z2ii，|z2|z|，故B正确，D错误；故选：AB10下列结论正确的是（）A“z1，z2互为共轭复数”是“|z1|z2|”的充要条件B如图，在复平面内，若复数z1，z2对应的向量分别是，则复数z1+z2对应的点的坐标为（2，0）C函数存在单调递增区间D函数yxsinx不存在极值点解：对于A：当“z1，z2互为共轭复数”时，“|z1|z2|”成立，当“|z1|z2|”时，“z1，z2不一定为共轭复数”，故A错误；对于B：根据图象得：，即z12i，即z2i，所以z1+z2（2，0），故B正确；对
15、于C：函数，x（0，+）且x1，故，所以函数f（x）在（0，1）和（1，x1）上单调递增，故C正确；对于D：f（x）xsinx，所以f（x）sinx+xcosx，令f（x）0，则xtanx，由于函数yx和ytanx有无数个交点，则函数yxsinx有无数个极值点，故D错误故选：BC11已知函数f（x）ax22x+lnx存在极值点，则实数a的取值范围是（）A0BeCD解：函数f（x）的定义域为（0，+），f（x）2ax2+，因为函数f（x）ax22x+lnx存在极值点，所以在（0，+）上，方程2ax22x+10有两解，所以在（0，+）上，方程a有两解，令g（x），（x0），g（x），当0x1时，g
16、（x）0，g（x）单调递增，当x1时，g（x）0时，g（x）单调递减，所以g（x）maxg（1），所以x0时，g（x）0；x+时，g（x）0，所以a，故选：ABD12若直线l与曲线C：yf（x）满足以下两个条件：点P（x0，y0）在曲线C：yf（x）上，直线l方程为yy0f（x0）（xx0）；曲线C：yf（x）在点P（x0，y0）附近位于直线l的两侧，则称直线l在点P处“切过”曲线C下列选项正确的是（）A直线l：yx1在点P（1，0）处“切过”曲线C：ylnxB直线l：x1在点P（1，0）处“切过”曲线C：y（x+1）2C直线l：y0在点P（0，0）处“切过”曲线C：yx3D直线l：yx在点P
17、（0，0）处“切过”曲线C：ysinx解：对于A：由ylnx，得y，则y|x11，曲线在P（1，0）处的切线为yx1，由g（x）x1lnx，得g（x）1，当x（0，1）时，g（x）0，当x（1，+）时，g（x）0则g（x）在（0，+）上有极小值也是最小值，为g（1）0即yx1恒在ylnx的上方，不满足曲线C在点P附近位于直线l的两侧，故选项A错误；对于B：由y（x+1）2，得y2（x+1），则y|x10，而直线l：x1的斜率不存在，在点P（1，0）处不与曲线C相切，故选项B错误；对于C：由yx3，得y3x2，则y|x00，直线y0是过点P（0，0）的曲线C的切线，又当x0时y0，当x0时y0，
18、满足曲线C在P（0，0）附近位于直线y0两侧，故选项C正确；对于D：由ysinx，得ycosx，则y|x01，直线yx是过点P（0，0）的曲线的切线，又x（，0）时xsinx，x（0，）时xsinx，满足曲线C在P（0，0）附近位于直线yx两侧，故选项D正确；故选：CD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13若zC，且|z|1，则|z34i|的最小值为4解：复数z满足|z|1，点z表示以原点为圆心、1为半径的圆则|z34i|表示z点对应的复数与点（3，4）之间的距离，圆心O到点（3，4）之间的距离d5，|z34i|的最小值为514，故答案为：414函数f（x）的定义域是（0，），其导
19、函数是f（x），若f（x）sinx+f（x）cosx0，则关于x的不等式的解集为（0，）解：令F（x）f（x）sinx（0x），则F（x）f（x）sinx+f（x）cosx0（0x），所以F（x）f（x）sinx在（0，）上单调递减，且F（）f（）sinf（），所以不等式等价于F （x）F（），所以0x，即不等式的解集为（0，）故答案为：（0，）15已知函数f（x）xexex，函数g（x）mxm（m0），若对任意的x12，2，总存在x22，2使得f（x1）g（x2），则实数m的取值范围是e2，+）解：f（x）ex（x1）的导数为f（x）xex，当x0时，f（x）递增；x0时，f（x）递减，即x
20、0时，f（x）取得极小值，且为最小值1；由f（2）3e2，f（2）e2，可得f（x）在2，2的值域为1，e2，由g（x）mxm（m0）在2，2递增，可得g（x）的值域为3m，m，由对任意的x12，2，总存在而x22，2，使得f（x1）g（x2），可得1，e23m，m，即为3m1e2m，解得me2，故答案为：e2，+）16对于函数yf（x），若存在x0，使f（x0）f（x0），则点（x0，f（x0）与点（x0，f（x0）均称为函数f（x）的“积分点”已知函数f（x），若点（2，f（2）为函数yf（x）一个“积分点”则a6；若函数f（x）存在5个“积分点”，则实数a的取值范围为（6，+）解：点（2
21、，f（2）为函数yf（x）一个“积分点”，f（2）f（2）162a（2）6（2）3a6，由题意，f（x）存在5个“积分点”，原点是一个，其余还有两对，即函数y6xx3（x0）关于原点对称的图象恰好与函数y16ax（x0）有两个交点，而函数y6xx3（x0）关于原点对称的函数为y6xx3（x0），即16ax6xx3有两个正根，ax2+6（x0），令h（x）x26（x0），则h（x）2x，所以当0x2时，h（x）0，当x2时，h（x）0，所以h（x）在（0，2）上单调递减，在（2，+）上单调递增，则当x2时，h（x）min4+866，且当x0和x+时，f（x）+，所以实数a的取值范围为（6，+），
22、故答案为：6，（6，+）四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17若定义一种运算：（a，b）ac+bd已知z为复数，且（1，z）94i（1）求复数z；（2）设t为实数，若z0t+2i，且为纯虚数，求t的值解：（1）设复数za+bi（a，bR，a0，i是虚数单位），则abi，因为（1，z）+2z（abi）+2（a+bi）3a+bi94i，所以解得a3，b4，可得z34i（2）因为t为实数，若z0t+2i，由（1）可得z34i，所以，由于为纯虚数，可得，解得t18在函数f（x）的单调减区间为；函数f（x）在x1处的切线方程为y8x+14，且b0；函数f（x）在
23、x1处取得极小值10；这三个条件中任选一个，补充在下面问题中求解已知函数f（x）x3+ax2+bxa27a，且_（1）求a、b的值；（2）若x1，2，求函数f（x）的最小值解：（1）若选，函数f（x）的单调减区间为，f（x）x3+ax2+bxa27a，则f（x）3x2+2ax+b，则，1是方程3x2+2ax+b0的根，故+1，且1，解得：a2，b1；若选，函数f（x）在x1处的切线方程为y8x+14，且b0，若f（x）3x2+2ax+b，则f（1）a26ab1，f（1）32a+b，故切线方程是：y（a26ab1）（32a+b）（x+1），即y（32a+b）xa28a+28x+14，故，解得：a
24、2，b1；若选，f（x）x3+ax2+bxa27a，f（x）3x2+2ax+b，则f（1）0，且f（1）10，则，a2，b1，或a6，b9，当a2，b1时，当时，函数递减，当x1时，函数递增，则函数在x1处取得极小值，与题意相符；当a6，b9时，当时，函数递增，当x1时，函数递减，函数在x1处取得极大值，不符合题意；则a2，b1，（2）由（1）得：a2，b1，则f（x）x32x2+x+10，f（x）3x24x+1（3x1）（x1），令f（x）0，解得：x1或x，令f（x）0，解得：x1，故f（x）在（，）递增，在（，1）递减，在（1，+）递增，故f（x）在1，）递增，在（，1）递减，在（1，2
25、递增，而f（1）6，f（1）10，故函数f（x）的最小值为619已知复数z1a3i，z22+（a2+3a+1）i（aR，i是虚数单位）（1）若复数z1z2在复平面上对应点落在第一象限，求实数a的取值范围；（2）若虚数z1是实系数一元二次方程x22x+m0的根，求实数m的值解：（1）由条件得，因为z1z2在复平面上对应点落在第一象限，故有，即，解得a4（2）因为虚数z1是实系数一元二次方程x22x+m0的根，所以也是实系数一元二次方程x22x+m0的根，所以，即a1，把a1代入，则z113i，所以20已知函数（a0）（1）若曲线yf（x）在点处的切线经过坐标原点，求实数a；（2）若a0时f（x）
26、在1，e上的最小值是，求a解：（1），f（x）xa+，f（）a，f（）a+，故曲线yf（x）在点处的切线方程为：y（a）（a+）（x），由切线经过坐标原点，得0（a）（a+）（0），解得：；（2）f（x）定义域是（0，+），令g（x）x22ax+2a，对称轴x0a0，因为1a，g（1）10，所以当x1，e时，g（x）0，即，所以f（x）在1，e上单调递增，解得a121某公司准备设计一个精美的心形巧克力盒子，它是由半圆O1、半圆O2和正方形ABCD组成的，且AB8cm设计人员想在心形盒子表面上设计一个矩形的标签EFGH，标签的其中两个顶点E，F在AM上，另外两个顶点G，H在CN上（M，N分别是，
27、的中点）设EF的中点为P，FO1P，矩形EFGH的面积为Scm2（1）写出S关于的函数关系式S（）及定义域；（2）当为何值时，矩形EFGH的面积最大？解：（1）由题意知，EF8sin，则，即，；（2），因为，所以，故当时，S（）0恒成立，所以S（）在上单调递增，故当时，所以，当为时，矩形EFGH的面积最大为64cm222已知函数f（x）mexxex（x0），其中mR，e为自然对数的底数（1）讨论f（x）的单调性，并求极值；（2）当x0时，f（x）+xexexlnxe2x，求m的最小整数值解：（1）f（x）ex（xm+1），令f（x）0，得xm1当m10，即m1时，f（x）0在（0，+）上恒成立
28、，故f（x）在（0，+）上单调递减，f（x）无极值当m10，即m1时，由f（x）0，得0xm1，由f（x）0，得xm1，f（x）在（0，m1）上单调递增，在（m1，+）上单调递减，其极大值为f（m1）em1综上所述，当m1时f（x）在（0，+）上单调递减，无极值；当m1时，f（x）在（0，m1）上单调递增，在（m1，+）上单调递减，极大值为em1，无极小值（2）f（x）+xexexlnxe2x，即mexexlnxe2x，即mlnxex若x0时，f（x）+xexexlnxe2x，则mlnxex在（0，+）上恒成立设g（x）lnxex，x0，mg（x）max，在区间（0，+）上为减函数，又g（1）1e0，因此存在唯一实数，使，由此得，x0lnx0，此时g（x）在区间（0，x0）上为增函数，在区间（x0，+）上为减函数，g（x0）为g（x）的最大值，且又，故，即，因此mg（x）mxsg（x0），m2，即m的最小整数值为2- 17 - 版权所有高考资源网