1、天水市一中2018级2020-2021学年度第一次考试试题数学（理）一、单选题（每小题5分，共60分）1. 设集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先解不等式求出，再求即可.【详解】由，解得，则.又，所以.故选：B.【点睛】本题主要考查了列举法、描述法表示集合，一元二次不等式的解法，以及交集的运算属于较易题.2. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）A. 函数的图象关于点中心对称B. 函数在上是增函数C. 函数的图象关于直线x1对称D. 函数的图象上至少存在两点A，B，使得直线AB/x轴【答案】A【解析】【分析】由题意分离常数得，结合函数图象的变换可画出函数的图象，数形
2、结合逐项判断即可得解.【详解】由题意，则该函数的图象可由函数的图象向右平移一个单位，再向上平移两个单位得到，如图，由图象可得：函数的图象关于点中心对称，故A正确；函数在上是减函数，故B错误；函数的图象不关于直线x1对称，故C错误；函数的图象上不存在两个点的纵坐标相同，所以不存在两点A，B，使得直线AB/x轴，故D错误.故选：A.【点睛】本题考查了函数图象的变换及应用，考查了数形结合思想的应用，属于基础题.3. 已知函数的导函数为，若，则的大小关系不可能为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据函数求导的，得到的单调性，然后再根据，利用函数的单调性定义求解.【详解】因为函数，
3、所以，所以在是增函数，在上是减函数，当时，因为，所以，当时，因为，所以，故选：B【点睛】本题主要考查函数的导数的求法以及函数单调性定义的应用，还考查了分类讨论的思想，属于基础题.4. 已知，其中是第一象限角，则（ ）A. B. 2C. D. 【答案】C【解析】【分析】由二倍角公式和平方关系可得，再由商数关系即可得解.【详解】因为，所以，所以，又是第一象限角，所以，所以即.故选：C.【点睛】本题考查了二倍角公式及同角三角函数关系的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.5. 已知函数的最小正周期为，将其图象向右平移个单位后得函数的图象，则函数的图象（ ）A. 关于直线对称B. 关于直线对称C. 关
4、于点对称D. 关于点对称【答案】D【解析】由题意得，故，选项A,B不正确又，选项C,不正确，选项D正确选D6. Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：，其中K为最大确诊病例数当I()=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则约为（ ）（ln193）A. 60B. 63C. 66D. 69【答案】C【解析】【分析】将代入函数结合求得即可得解.【详解】，所以，则，所以，解得.故选：C.【点睛】本题考查对数的运算，考查指数与对数的互化，考查计算能力，属于中等题.7. 已知在中，判断
5、的形状为（ ）.A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰或直角三角形D. 等腰直角三角形【答案】C【解析】【分析】左边切化弦，右边用正弦定理化边为角可解详解】，或或是等腰或直角三角形故选：C【点睛】判断三角形形状的常用技巧若已知条件中既有边又有角，则(1)化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状(2)化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，从而判断三角形的形状此时要注意应用这个结论8. 设a，b都是不等于1的正数，则“5a5b”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】D【解析】【分析】求解指数不等式以及
6、对数不等式，等价求得范围，即可从充分性和必要性判断选择.【详解】因为都是不等于的正数，由5a5b，故可得或或；由，故可得或或显然充分性和必要性均不成立.故选：D.【点睛】本题考查充分性和必要性的判断，涉及指数函数和对数函数的性质，属综合基础题.9. 若，则（ ）A B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】将不等式变为，根据的单调性知，以此去判断各个选项中真数与的大小关系，进而得到结果.【详解】由得：，令，为上的增函数，为上的减函数，为上的增函数，则A正确，B错误；与的大小不确定，故CD无法确定.故选：A.【点睛】本题考查对数式的大小的判断问题，解题关键是能够通过构造函数的方式，利用函数的单
7、调性得到的大小关系，考查了转化与化归的数学思想.10. 若则角的终边落在直线（ ）上A. B. C. D. 【答案】B【解析】【详解】由条件可知，又，所以，即.故选：B11. 已知函数，若方程在有四个不同的解，则的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】函数，都是偶函数，方程在有四个不同的解，只需图象在两个不同的交点，画出函数图象，求出两函数图象相切时的m 值，利用数形结合可得结果.【详解】因为函数，都是偶函数，所以方程在有四个不同的解，只需在上，的图象在两个不同的交点，不合题意，当时，当，即交点横坐标在上，假定两函数的图象在点处相切，即两函数的图象在点处有相同的切线
8、，则有，则有，解得，则有，可得，则有，解得，因为越小开口越大，所以要使得， 在上，恰有两个不同的交点，则的取值范围为，此时，的图象在四个不同的交点，方程在有四个不同的解，所以的取值范围是，故选：A.【点睛】函数的性质以及函数零点问题是高考的高频考点，函数零点的几种等价形式：函数y=f(x)-g(x)的零点函数y=f(x)-g(x)在x轴的交点方程f(x)-g(x)=0的根函数y = f(x)与y = g(x)的交点.12. 已知函数有两个不同的极值点，若不等式有解，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先求导得（），由于函数有两个不同的极值点，转化为方程有两个不
9、相等的正实数根，根据，求出的取值范围，而有解，通过分裂参数法和构造新函数，通过利用导数研究单调性、最值，即可得出的取值范围.【详解】由题可得：（），因为函数有两个不同的极值点，所以方程有两个不相等的正实数根，于是有解得.若不等式有解，所以因为.设，故在上单调递增，故，所以，所以的取值范围是.故选：C.【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性、最值来求参数取值范围，以及运用分离参数法和构造函数法，还考查分析和计算能力，有一定的难度.二、填空题（每小题5分，共20分）13. 命题“，”的否定是_.【答案】，【解析】【分析】利用特称命题的否定可得出结果.【详解】命题“，”为特称命题，该命题的否定为“，
10、”.故答案为：，.【点睛】本题考查特称命题的否定，属于基础题.14. 曲线与直线围成的封闭图形的面积为_.【答案】【解析】做出如图所示：，可知交点为，因此封闭图形面积为：点睛：定积分的考察，根据题意画出图形，然后根据定积分求面积的方法写出表达式即可求解15. 曲线在点处的切线方程与直线垂直，则_【答案】【解析】【分析】由点在曲线上，即可求出，再求出曲线在点的切线，根据两直线垂直两直线斜率乘积为，求出，即可得解；【详解】解：是的点，则，显然在点处的斜率，则切线方程为，直线与直线垂直，则，显然，则，故答案为：【点睛】本题考查的是导数公式及导数的几何意义的应用，主要考查考生对相关概念、知识的掌握程度
11、，属于基础题16. 设、是常数，且满足，则的值是_.【答案】【解析】【分析】构造函数，分析该函数的奇偶性与单调性，结合题意得出，进而得出，从而可得出的值.【详解】构造函数，该函数的定义域为，且，则函数为奇函数，且在定义域为增函数.由，可得，因此，.故答案.【点睛】本题考查利用函数的单调性与奇偶性求参数值，根据等式结构构造新函数是解题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.三、解答题（第17题10分；第18-22题每小题12分，共70分）17. 已知函数（1）求它的单调递增区间；（2）若，求此函数的值域.【答案】（1）（）；（2）.【解析】【分析】（1）化简，再根据正弦函数的单调增区间
12、代入求解即可（2）根据（1）的结果，再根据求出的范围结合的值域为，即可求出结果【详解】（1）由，得，.故此函数单调递增区间为（）.（2）由，得.的值域为.的值域为，故此函数的值域为【点睛】本题主要考查了三角函数的性质，常考三角函数的性质有：对称轴、单调性、最值、对称中心属于中档题18. 已知等差数列满足，且是，等比中项.（1）求数列的通项公式；（2）设.求数列的前n项和.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用等差数列的基本量结合等比中项的应用，转化已知条件，求得首项和公差，即可容易得到结果；（2）根据（1）中所求，求得，再用裂项求和法即可求得结果.【详解】（1）设等差数列的公差为d
13、，即，是，的等比中项，即，解得数列的通项公式为（2）由（1）得。【点睛】本题考查等差数列通项公式基本量的计算，以及用裂项求和法求数列的前项和，属综合中档题.19. ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2bsinAacosB+asinB（1）求B；（2）设b2，a4，D为线段BC上一点，若SABD，求AD的长【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据2bsinAacosB+asinB,利用正弦定理得到,再根据求解.（2）在ABC中，利用余弦定理求得c，再由SABD，求得BD，然后 在ABD中，由余弦定理求解.【详解】（1）因为2bsinAacosB+asinB,所以, （2）在
14、ABC中，由余弦定理得：， 解得或（舍去），因为SABD，解得 ，在ABD中，由余弦定理得：，解得.【点睛】本题主要考查正弦定理，余弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.20. 在全面抗击新冠肺炎疫情这一特殊时期，我市教育局提出“停课不停学”的口号，鼓励学生线上学习某校数学教师为了调查高三学生数学成绩与线上学习时间之间的相关关系，对高三年级随机选取45名学生进行跟踪问卷，其中每周线上学习数学时间不少于5小时的有19人，余下的人中，在检测考试中数学平均成绩不少于120分的有10人，统计成绩后得到如下列联表：分数不少于120分分数不足120分合计线上学习时间不少于5小时419线上学习时
15、间不足5小时10合计45（1）请完成上面列联表；并判断是否有99%的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上学习时间有关”；（2）在上述样本中从分数不少于120分的学生中，按照分层抽样的方法，抽到线上学习时间不少于5小时和线上学习时间不足5小时的学生共5名，若在这5名学生中随机抽取2人，其中每周线上学习时间不足5小时的人数为，求的分布列及其数学期望（下面的临界值表供参考）0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828（参考公式其中）【答案】（1）列联表见解析，有99%的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上学习时间有关”；（
16、2）分布列见解析，数学期望为.【解析】【分析】（1）根据已知条件补充完整列联表，由的公式计算出观测值，并与临界值进行对比即可作出判断；（2）确定的可能取值为0，1，2，再结合超几何分布计算概率的方式逐一求出每个的取值所对应的概率即可得分布列，从而可求出数学期望【详解】（1）分数不少于120分分数不足120分合计线上学习时间不少于5小时15419线上学习时间不足5小时101626合计252045有99%的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上学习时间有关”（2）依题意，抽到线上学习时间不少于5小时的学生人，线上学习时间不足5小时的学生2人，所以X的取值为0，1，2X的分布列为012所以X的期望【
17、点睛】本题考查独立性检验、分层抽样、超几何分布和离散型随机变量的分布列，以及二项分布的数学期望，有一定的综合性，但难度不大，考查学生灵活运用知识的能力和对数据的分析能力，属于基础题21. 设曲线在点处取得极值.（1）求的值；（2）求函数的单调区间和极值.【答案】(1)2；(2)在区间和单调递减，在区间单调递增；的极大值为；的极小值为.【解析】【分析】（1）根据，即可容易求得；（2）根据（1）中所求，求得，即可容易求得单调区间和极值.【详解】（1）因为，故可得，又因为，故可得，解得.（2）由（1）可知，令，解得，又因为函数定义域为，故可得在区间和单调递减，在区间单调递增.故的极大值为；的极小值为
18、.【点睛】本题考查利用极值点求参数值，以及利用导数求函数的单调区间和极值，属综合基础题.22. 已知函数，为的导数，且.证明：在内有唯一零点；.（参考数据：，.）【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由题意，得，分别求得在区间和上的单调性，利用零点的存在定理，即可求解；（2）由（1）得，求得函数的单调性，得到的最大值为，再由得，得到，利用作差比较，即可求解.【详解】（1）由题意，函数，则所以，当时，可得，即在内没有零点，当时，因为，所以，所以在上单调递减，又，且，所以在内有唯一零点.（2）由（1）得，当时，所以，即单调递增；当时，所以，即单调递减，即的最大值为，由得，所以，因此，因为，所以从而，即，所以，故.【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于此类问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题
