1、基本不等式及其应用1基本不等式：(1)基本不等式成立的条件：a0，b0.(2)等号成立的条件：当且仅当ab时取等号2几个重要的不等式(1)a2b22ab(a，bR)(2)2(a，b同号)(3)ab2 (a，bR)(4)2 (a，bR)以上不等式等号成立的条件均为ab.3算术平均数与几何平均数设a0，b0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数4利用基本不等式求最值问题已知x0，y0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当xy时，xy有最小值2.(简记：积定和最小)(2)如果和xy是定值p，那么当且仅当xy时，xy有最大值.(简记：和
2、定积最大)概念方法微思考1若两个正数的和为定值，则这两个正数的积一定有最大值吗？提示不一定若这两个正数能相等，则这两个数的积一定有最大值；若这两个正数不相等，则这两个正数的积无最大值2函数yx的最小值是2吗？提示不是因为函数yx的定义域是x|x0，当x0时，y0，所以函数yx无最小值1（2020上海）下列等式恒成立的是ABCD【答案】B【解析】显然当，时，不等式不成立，故错误；，故正确；显然当，时，不等式不成立，故错误；显然当，时，不等式不成立，故错误故选B2（2020海南）已知，且，则ABCD【答案】ABD【解析】已知，且，所以，则，故正确利用分析法：要证，只需证明即可，即，由于，且，所以：
3、，故正确，故错误由于，且，利用分析法：要证成立，只需对关系式进行平方，整理得，即，故，当且仅当时，等号成立故正确故选ABD3（2020天津）已知，且，则的最小值为_【答案】4【解析】，且，则，当且仅当，即，或， 取等号，故答案为：44（2020江苏）已知，则的最小值是_【答案】【解析】方法一、由，可得，由，可得，则，当且仅当，可得的最小值为；方法二、，故，当且仅当，即，时取得等号，可得的最小值为故答案为：5（2019上海）若，且，则的最大值为_【答案】【解析】，；故答案为：6（2019天津）设，则的最小值为_【答案】【解析】，则；，由基本不等式有：，故：；（当且仅当时，即：，时，等号成立），故
4、的最小值为；故答案为：7（2019天津）设，则的最小值为_【答案】【解析】，则；由基本不等式有：；当且仅当时，即：，时，即：或时；等号成立，故的最小值为；故答案为：8（2018上海）已知实数、满足：，则的最大值为_【答案】【解析】设，由，可得，两点在圆上，且，即有，即三角形为等边三角形，的几何意义为点，两点到直线的距离与之和，要求之和的最大值，显然，在第三象限，所在直线与直线平行，可设，由圆心到直线的距离，可得，解得，即有两平行线的距离为，即的最大值为，故答案为：9（2018天津）已知，且，则的最小值为_【答案】【解析】，且，可得：，则，当且仅当即时取等号函数的最小值为：故答案为：1（2020
5、衡阳三模）已知，则的最小值为ABCD【答案】B【解析】由，（当且仅当即，时取等号），故则的最小值为，故选B2（2020道里区校级四模）若正实数，满足，则的最小值为ABC4D8【答案】A【解析】正实数，满足，解可得，当且仅当时取等号，则的最小值为故选A3（2020道里区校级四模）若实数，满足，则的最小值为ABCD【答案】B【解析】因为，所以，当且仅当时取等号，解可得，故选B4（2020衡阳三模）已知，则的取值范围是ABCD【答案】B【解析】已知，当且仅当，即，时，取号，故选B5（2020贵阳模拟）已知，均为正数，函数的图象过点，则的最小值为A6B7C8D9【答案】D【解析】由题意可得，即，则，当
6、且仅当且即时取等号，故选D6（2020镇海区校级模拟）若，且，则的最小值为A2BC4D【答案】C【解析】，且，可得当且仅当时取等号，当且仅当时取等号则的最小值为4，故选C7（2020辽宁三模）若，则的取值范围是A，B，C，D，【答案】A【解析】由基本不等式可得，若，有，即，根据指数函数是单调递增函数可得，故的取值范围是，故选A8（2020潮州二模）若直线过圆的圆心，则的最小值是A16B10CD【答案】A【解析】由题意可得圆的圆心，故即，则，当且仅当且即，时取等号故选A9（2020石家庄模拟），是两个互不相等的正数，则下列三个代数式中，最大的一个是，A必定是B必定是C必定是D不能确定【答案】D【
7、解析】因为，所以，（当且仅当时，取等号），（当且仅当时，取等号），（当且仅当时，取等号），综上可知，但和不能确定大小故选D10（2020葫芦岛模拟）若圆关于直线对称，则的最小值为A4BC9D【答案】C【解析】由题意可知，圆心在直线，则，又因为，所以，当且仅当且即，时取等号，此时取得最小值9故选C11（2020韶关二模）已知，且，则的最小值是A7B8C9D10【答案】C【解析】根据题意，若，且，则，当且仅当时，等号成立，故的最小值是9；故选C12（2020诸暨市模拟）已知，则的最小值是A2BCD【答案】C【解析】，且，则；当且仅当即时取，则的最小值是，故选C13（2020湘潭四模）直线过函数图象
8、的对称中心，则的最小值为A9B4C8D10【答案】A【解析】函数图象的对称中心为，所以，当且仅当时等号成立；故选A14（2020重庆模拟）已知，则的取值范围是AB，CD【答案】C【解析】，当且仅当，即，时等号成立，故选C15（2020滨海新区模拟）已知正实数，满足，则的最小值为A13B11C10D9【答案】C【解析】由，当且仅当，时取等号的最小值为故选C16（2020河东区一模）已知实数、，则的最大值为ABCD6【答案】A【解析】由于，所以，故：，（当且仅当时，等号成立）故选A17（2020辽阳二模）已知，则的最小值为A20B24C25D28【答案】C【解析】因为，所以，则，当且仅当时，等号成立故选C18（2020大连一模）已知，则的最小值为ABC2D4【答案】D【解析】，当且仅当时等号成立，的最小值为4故选D19（2020浙江模拟）对于，当非零实数，满足，且使最大时，的最小值为ABCD2【答案】C【解析】，由柯西不等式得，故当最大时，有，时，取得最小值为故选C20（2020吉林模拟）若，则的最小值为A2BC4D【答案】C【解析】因为，则，当且仅当时等号成立，则的最小值为4故选C21（2020天津二模）已知，则的最小值为_【答案】【解析】因为，则，当且仅当即，时取等号，故答案为：