1、中原名校20222023学年上期第二次联考高二数学试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1直线的倾斜角为（ ）A51B129C141D1492已知，为空间直角坐标系中的两个点，若，则（ ）A0BCD3若直线l交圆于A，B两点，且弦AB的中点为M（1，0），则l的方程为（ ）ABCD4设，则“直线与直线平行”是“a1”的（ ）A，充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件5圆上到直线的距离为1的点的个数为（ ）A1B2C3D46美术绘图中常采用“三庭五眼”作图法三庭：将整个脸部按照发际线至眉骨，眉骨至鼻底
2、，鼻底至下颏的范围分为上庭、中庭、下庭，各占脸长的，五眼：指脸的宽度比例，以眼形长度为单位，把脸的宽度自左至右分成第一眼、第二眼、第三眼、第四眼、第五眼五等份如图，假设三庭中一庭的高度为2cm，五眼中一眼的宽度为1cm，若图中提供的直线AB近似记为该人像的刘海边缘，且该人像的鼻尖位于中庭下边界和第三眼的中点，则该人像鼻尖到刘海边缘的距离约为（ ）A1.8cmB2.5cmC3.2cmD3.9cm7已知空间四边形PABC中，PA，PB，PC两两垂直，且PAPBPC，M，N分别为AC，AB的中点，则异面直线PN和BM所成角的余弦值为（ ）ABCD8直线l与圆相切，且l在x轴、y轴上的截距相等，则直线
3、l的方程不可能是（ ）ABCD9已知是空间向量的一个基底，是空间向量的另一个基底，若向量在基底下的坐标为（4，2，3），则向量在基底下的坐标为（ ）A（4，0，3）B（1，2，3）C（3，1，3）D（2，1，3）10已知三点，则的垂心到原点的距离为（ ）ABCD11平面上到两条相交直线的距离之和为常数的点的轨迹为平行四边形，其中这两条相交直线是该平行四边形对角线所在的直线若平面上到两条直线，的距离之和为3的点P的轨迹为曲线C，则曲线C围成的图形面积为（ ）ABCD12在长方体中，动点P在体对角线上，则顶点B到平面APC距离的最大值为（ ）ABCD二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分
4、）13过点（1，2）作直线l，则满足在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程是_14已知，且，其中O为坐标原点，则_15如图，某空间几何体由一个直三棱柱和一个长方体组成，若，P，Q，M，N分别是棱AB，的中点，则异面直线PQ与MN所成角的余弦值是_16已知直线与圆交于A，B两点，且的面积为，则实数k的值是_三、解答题（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（本题满分10分）已知直线，直线和（1）求证：直线l恒过定点；（2）设（1）中的定点为P，l与，的交点分别为A，B，若P恰为AB的中点，求m18（本题满分12分）已知过点A（0，1）且斜率为k的直线l与圆交于M，N两
5、点（1）求k的取值范围；（2）若，其中O为坐标原点，求19（本题满分12分）如图，已知三棱柱中，M，N分别是，上的点，且，设，（1）试用，表示向量；（2）若，求MN的长20（本题满分12分）如图，在平面直角坐标系中，已知圆，圆，A是第一象限内的一点，其坐标为（1）若，求实数t的值；（2）过A点作斜率为k的直线和圆，圆均相切，求实数k的值21（本题满分12分）如图，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，M，N分别是，BC的中点，点P在直线上（1）证明：；（2）当平面PMN与平面ABC所成的锐二面角为45时，求平面PMN与侧面的交线长22（本题满分12分）公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯在平面轨迹一书中
6、，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果：平面内到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆，后世把这种圆称之为阿波罗尼斯圆已知平面直角坐标系中，且（1）求点P的轨迹方程；（2）若过点A的直线l与点P的轨迹相交于E，F两点，M（2，0），则是否存在直线l，使取得最大值，若存在，求出此时直线l的方程；若不存在，请说明理由中原名校20222023学年上期第二次联考高二数学参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）题号123456789101112答案CBABCBBBCBCD1【解析】斜率，故选C2【解析】由点A，B的坐标可得
7、，因为，则，所以，故选B3【解析】圆C的标准方程为，圆心为，因为弦AB的中点为，由垂径定理可知，故，因此，直线l的方程为，即故选A4【解析】“直线与直线平行”的充要条件是，解得或，所以是必要不充分条件故选B5【解析】由圆，可知其圆心坐标为，半径为2，圆心到直线的距离，所以可知有3个，故选C6【解析】如图，以鼻尖所在位置为原点O，中庭下边界为x轴，垂直中庭下边界为y轴，建立平面直角坐标系，则，直线，整理为，原点O到直线距离为，故选B7【解析】以点P为坐标原点，以，方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，令PA2，则，则，设异面直线PN和BM所成角为，则故选B8【解析】由于直线
8、l在x轴、y轴上的截距相等，设直线为：或由于直线l与圆相切，故圆心（2，0）到直线的距离等于半径或故直线的方程为：，故选B9【解析】在基底下的坐标为（4，2，3）设在基底下的坐标为，则，对照系数，可得：，解得：，在基底下的坐标为（3，1，3），故选C10【解析】由题意可得，为等边三角形，故的垂心是的中心，又等边的高为，故中心为，故垂心到原点的距离故选B11【解析】设，则P的轨迹方程为，令，则曲线C与交于，令，则曲线C与交于，易知：故选C12【解析】如图，以点D为原点建立空间直角坐标系，设，则，则，故，又，于是，设平面APC的法向量，则有，可取，则点B到平面APC的距离为，当时，点B到平面APC
9、的距离为0，当时，当且仅当时，取等号，所以点B到平面APC的最大距离为，故选D二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13或1441516或13【解析】若截距相等且不为0，可以设直线方程为：将点（1，2）代入直线方程后可得：，解得：a3此时，直线方程为：；若截距为0，则直线过原点，此时，直线的方程为：综上：直线l的方程是或14【解析】因为，故，即，故，故15【解析】如图，以D为原点建立空间直角坐标系，由题可得，所以，所以，所以异面直线PQ与MN所成角的余弦值是16【解析】由圆，可得圆心坐标为，半径为r2，因为的面积为，可得，解得，所以或；可得或，又由圆的弦长公式可得d1或，由点到直线
10、的距离公式：或，解得或三、解答题（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17【解析】（1）由题，可化为，由于，所以，解得，即直线l恒过定点（2）由（1）知，不妨设，则，满足，解得，代入直线l方程得18【解析】（1）由题设，可知直线l的方程为因为l与C交于两点，所以，解得，所以k的取值范围为（2）设，将代入方程，整理得，所以，由题设可得，解得，所以l的方程为yx1故圆心在直线l上，所以19【解析】（1）由图形知：（2）由题设条件，20【解析】（1）因为，所以，因为，所以，又，解得（2）设直线，则，所以，因为，所以因为直线l和圆，圆均相切，所以，所以，所以或，即或，当时，
11、得；当时，得，总之，将代入得；将代入得，故k的值为或21【解析】（1）由题意AB，AC，两两垂直所以以，分别作为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，如图，则，M是的中点，N是BC的中点，设，则，则，所以（2）设，则，设平面PMN的法向量为，则，即，令x3，则，又平面ABC的一个法向量为，平面PMN与平面ABC所成的锐二面角为45时，即，解得，此时，如图位置，设E为AB的中点，连接PE，交于点Q，由且所以与全等，则Q为中点连接QM，EN，由Q，M分别为，中点，则又E，N分别为AB，BC中点，则，所以所以点E，N，M，Q共面，又所以E，N，M，Q，P共面，即面MNP与面NMPQE重合所以平面PMN与侧面的交线为QM，所以交线长度为QMACl22【解析】（1）由已知，设，则，平方整理得：，即，所以点P的轨迹方程是（2）由题意知直线l的斜率一定存在，设直线l的斜率为k，且，则，联立方程：，又直线l不过点，点到直线l的距离，当时，取得最大值2，此时，直线l得方程为或