1、天水一中2020届20192020学年度第一学期第二次考试数学文科试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】首先解得集合，再根据补集的定义求解即可.【详解】解：，故选A【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，指数不等式的解法以及补集的运算，属于基础题.2.下列说法错误的是（ ）A. 命题“若，则”的逆否命题是“若，则”B. “”是“”的充分不必要条件C. 若为假命题，则、均为假命题D. 命题：“，使得”，则非：“，”【答案】C【解析】【分析】由命题的逆否
2、命题为将条件、结论互换,再同时进行否定,可得A正确；由“”的充要条件为“”,可得B正确；由“且”命题的真假可得C错误；由特称命题的否定为全称命题可得D正确，得解.【详解】解:对于选项A,命题的逆否命题为将条件、结论互换,再同时进行否定,可得命题“若，则”的逆否命题是“若，则”,即A正确；对于选项B, “”的充要条件为“”,又“”是“”的充分不必要条件,即B正确；对于选项C, 为假命题，则、至少有1个为假命题,即C错误；对于选项D,由特称命题的否定为全称命题可得命题：“，使得”，则非：“，”,即D正确,故选.【点睛】本题考查了四种命题的关系、充分必要条件及特称命题与全称命题，重点考查了简单的逻辑
3、推理，属基础题.3.已知，为两条不同的直线，为两个不同的平面，对于下列四个命题：， ， ，其中正确命题的个数有（ ）A. 个B. 个C. 个D. 个【答案】A【解析】，则与可能相交，错；，则可能在平面内，错；，则与可能异面，错；，则与可能异面，错，故所有命题均不正确，故选【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定与性质、面面平行判定与性质，属于中档题. 空间直线、平面平行或垂直等位置关系命题的真假判断，常采用画图（尤其是画长方体）、现实实物判断法（如墙角、桌面等）、排除筛选法等；另外，若原命题不太容易判断真假，可以考虑它的逆否命题，判断它的逆否命题真假，原命题与逆否命题等价.4.若，则的值为( )
4、A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用二倍角公式求出的值，再利用诱导公式求出的值【详解】解：，故选：【点睛】本题考查了余弦二倍角公式与诱导公式的应用问题，属于基础题5.已知等差数列的前项为，且，则使得取最小值时的为（ ）A. 1B. 6C. 7D. 6或7【答案】B【解析】试题分析：由等差数列的性质，可得，又，所以，所以数列的通项公式为，令，解得，所以数列的前六项为负数，从第七项开始为正数，所以使得取最小值时的为，故选B考点：等差数列的性质.6.若直线被圆截得弦长为4，则的最小值是（ ）A. 9B. 4C. D. 【答案】A【解析】【分析】圆方程配方后求出圆心坐标和半径，知圆心
5、在已知直线上，代入圆心坐标得满足的关系，用“1”的代换结合基本不等式求得的最小值【详解】圆标准方程为，圆心为，半径为，直线被圆截得弦长4，则圆心在直线上，又，当且仅当，即时等号成立的最小值是9故选A【点睛】本题考查用基本不等式求最值，解题时需根据直线与圆的位置关系求得的关系，然后用“1”的代换法把凑配出可用基本不等式的形式，从而可求得最值7.已知一个简单几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A. B. C. D. 【答案】A【解析】由三视图知，该几何体有四分之一圆锥与三棱锥构成，故体积为，故选A.8.函数的图象大致为（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】当时，函数，由函数的
6、单调性，排除；当时，函数，此时，代入特殊值验证，排除，只有正确.【详解】当时，函数，由函数在上递减，可得在上递减，排除；当时，函数，此时，而选项的最小值为2 ，故可排除，只有正确，故选B.【点睛】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.9.满足约束条件若取得最大值的最优解不唯一，则实数的值为（ ）A. 或B. 或C. 或D. 或【答案】B【解
7、析】试题分析:由得，作出可行域如下图所示，当或时，即或时，取得最大值的最优解不唯一，故选B.考点：线性规划.10.已知函数，若对任意，总存在，使得成立，则实数的取值范围为A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】分别求出在的值域，以及在的值域，令在的最大值不小于在的最大值，得到的关系式，解出即可.【详解】对于函数，当时，由，可得，当时，由，可得，对任意，对于函数，对于，使得，对任意，总存在，使得成立，解得，实数的取值范围为，故选B【点睛】本题主要考查函数的最值、全称量词与存在量词的应用.属于难题.解决这类问题的关键是理解题意、正确把问题转化为最值和解不等式问题，全称量词与存在量词的应用
8、共分四种情况：（1） 只需；（2） ，只需 ；（3）， 只需 ；（4）， .11.已知是平面上一个定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，则点的轨迹一定通过的（ ）A. 外心B. 内心C. 重心D. 垂心【答案】C【解析】【分析】根据可得，从而，其中，从而可判断点的轨迹通过的重心.【详解】因为，故，如图：设边上的高为，则，所以.取的中点为，则，所以，故的轨迹为射线（除点），故的轨迹一定通过的重心，故选：C.【点睛】本题考查向量的线性运算，注意根据向量的形式进行合理的转化，如题设中可转化为边的高，又如表示与的平分线共线的向量.本题属于中档题.12.定义上的减函数，其导函数满足，则下列结论正确的是
9、（ ）A 当且仅当B. 当且仅当，C. 对于D. 对于,【答案】D【解析】【分析】f（x）是定义在R上的减函数，f（x）0，（f（x）0）则，化为f（x）+f（x）xf（x），可得（x1）f（x）0，因此函数y（x1）f（x）在R上单调递增，对x分类讨论即可得出【详解】解：f（x）是定义在R上的减函数，f（x）0，（f（x）0），化为f（x）+f（x）xf（x），f（x）+f（x）（x1）0，（x1）f（x）0，函数y（x1）f（x）在R上单调递增，而x1时，y0，则x1时，y0，当x（1，+）时，x10，故f（x）0，又f（x）是定义在R上的减函数，x1时，f（x）0也成立，f（x）0对任意
10、xR成立故选：D【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性、不等式的性质与解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.若命题“p：,”是假命题,则实数a的取值范围是_【答案】【解析】【分析】若命题“p：xR，ax2+2x+10”是假命题，则a0，或a0，或，进而得到实数a的取值范围【详解】若命题“p：xR，ax2+2x+10”是假命题，则xR，ax2+2x+10，当a0时，y2x+1为一次函数，满足条件；当a0时，yax2+2x+1是开口朝下的二次函数，满足条件；当a0时，yax2+2x+1是开口朝上的二次函数，则函数图象与x轴有交点，即4
11、4a0，解得：0a1综上可得：实数a的取值范围是：故答案为：【点睛】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了二次函数的图象和性质，难度中档14.等差数列，的前项和分别为，且，则_【答案】【解析】【分析】根据等差数列的性质可得，结合题中条件，即可求出结果.【详解】因为等差数列，的前n项和分别为，由等差数列的性质，可得，又，所以.故答案为【点睛】本题主要考查等差数列性质，以及等差数列的前项和，熟记等差数列的性质与前项和公式，即可得出结果.15.已知为单位向量且夹角为 ，设，在方向上的投影为_ 【答案】【解析】【分析】可知这样即可求出 及值，从而得出在方向上的投影的值【详解】由题可知 故，在方向上的
12、投影为即答案为.【点睛】考查单位向量及投影的定义，数量积的运算及计算公式16.如图，在正三角形中，分别为各边的中点，分别为的中点，将沿折成正四面体，则四面体中异面直线与所成的角的余弦值为 【答案】【解析】折成的四面体是正四面体，画出立体图形，根据中点找平行线，把所求的异面直线所成角转化为一个三角形的内角如图所示，联结HE，取HE的中点K，联结GK，PK，则GKDH，故PGK即为所求的异面直线所成角或其补角设这个正四面体的棱长为2，在PGK中，PG，GK，PK，故cosPGK，即异面直线PG与DH所成的角的余弦值是.三、解答题：共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.等比数
13、列的各项均为正数，成等差数列，且满足求数列的通项公式；设，求数列的前n项和【答案】（）an=（nN*）（）1-【解析】【分析】根据条件列关于公比与首项的方程组，解得结果代入等比数列通项公式即可，先化简，再根据裂项相消法求结果.【详解】解：（）设公比为，则因为，成等差数列， 所以2=+，即因为，所以（）bn=-，nN*，数列bn的前n项和Sn=+=1-，nN*【点睛】本题考查等比数列通项公式以及裂项相消法求和，考查基本分析求解能力，属中档题.18.已知函数（1）求函数的单调区间.（2）若把向右平移个单位得到函数，求在区间上的最小值和最大值.【答案】（）增区间是：减区间是：；（）-2，1.【解析】
14、【分析】（）利用二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角和与差的正弦公式将函数化为，利用正弦函数的单调性解不等式，可得到函数的递增区间；（）若把向右平移个单位得到函数的解析式，求得的范围，结合正弦函数的单调性可得结果.【详解】（） ， 由 得，增区间是：，由 得减区间是：（）由（）可得把向右平移个单位得到函数，因为，所以，故所在区间上的最大值为1，最小值为.【点睛】本题主要考查辅助角公式的应用以及正弦函数的单调性、值域，属于中档题.形如，的函数求值域，分两步：（1）求出的范围；（2）由的范围结合正弦函数的单调性求出，从而可求出函数的值域.19.中，角的对边分别是，已知（1）求的大小；（2）若
15、，求周长最大值【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理化角为边可得，再结合余弦定理可得，再求C即可；（2）由正弦定理化边为角可得，再由辅助角公式可得，再由利用三角函数值域的求法即可得解.【详解】解：（1）中，角，的对边分别是，.由已知，得，即，由，.（2），.设的周长为，则，故周长的最大值为.【点睛】本题考查了正弦定理及辅助角公式，主要考查了三角函数的值域，重点考查了三角函数的有界性及运算能力，属中档题.20.在三棱锥中，是边长为的正三角形，平面平面，M、N分别为、的中点.（1）证明：；（2）求三棱锥的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）取 中点，连接，
16、证明平面，由线面垂直的性质可得；（2）由，即可求得三棱锥的体积【详解】解：（1）证明：取中点D，连接，.因为，所以且，因为，平面，平面，所以平面.又平面，所以；（2）解：因为平面，平面，所以平面平面，过N作于E，则平面，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，又因为平面，所以，由于，所以所以，所以.【点睛】本题考查线面垂直，考查三棱锥体积的计算，解题的关键是掌握线面垂直的判定与性质，属于中档题21.已知函数为R上的偶函数，为R上的奇函数，且.（1）求，的解析式；（2）若函数（）在R上只有一个零点，求实数a的取值范围.【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）利用函数的奇偶性列出方程组求解
17、即可得到函数的解析式（2）利用函数只有一个零点，通过换元法，对讨论，结合二次函数的性质求解即可【详解】（1）因为，且函数为上的偶函数，为上的奇函数，由得，（2）由.得：，令，则，即方程（*）只有一个大于0的根，当时，满足条件；当方程（*）有一正一负两根时，满足条件，则，当方程（*）有两个相等的且为正的实根时，则，（舍）时，综上：或.【点睛】本题考查函数的零点的求法，分类讨论思想的应用，函数的奇偶性的应用，考查计算能力，属于中档题22.已知函数（1）讨论函数的单调性；（2）若函数在定义域内恒有，求实数的取值范围；【答案】(1)见解析(2) 0，2【解析】分析：第一问对函数求导，结合函数的定义域，对的范围进行讨论，确定出函数在哪个区间上单调增，在哪个区间上单调减，最后确定出结果；第二问函数f(x)在定义域内恒有f(x)0，转化为函数的最大值小于等于零即可，最后转化为求函数最值问题来解决.详解：（1）当上递减； 当时，令，得（负根舍去）.当得，;令，得，上递增，在（上递减(2) 当,符合题意. 当时， 当时，在（）上递减， 且的图象在（）上只有一个交点，设此交点为（）， 则当x时，故当时，不满足 综上，a的取值范围0，2点睛：该题属于应用导数研究函数的性质的综合题，考查了含有参数的函数的单调性的讨论问题，需要对参数的范围进行讨论，第二问恒成立问题转化为最值问题来处理即可得结果.
