1、甘肃省兰州市西北师范大学附属中学2021届高三数学上学期期中试题（含解析）一、选择题1. 命题“”的否定是A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可【详解】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“，”的否定是，故选D【点睛】本题主要考查了全称命题的否定是特称命题，属于基础题.2. 已知集合，集合中至少有3个元素，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：因为中到少有个元素，即集合中一定有三个元素，所以，故选C.考点：1.集合运算；2.对数函数的性质.3. 已知命题，命题，则下列判断正确的是（ ）A. 是假命题B. 是真命题C.
2、 是假命题D. 是真命题【答案】D【解析】试题分析：，所以命题为真；，当且仅当时取等号，所以命题为假；因此是真命题，是假命题 ，是真命题 ，是真命题，选D,考点：命题真假【名师点睛】若要判断一个含有逻辑联结词命题的真假，需先判断构成这个命题的每个简单命题的真假，再依据“或”：一真即真，“且”：一假即假，“非”：真假相反，做出判断即可.以命题真假为依据求参数的取值范围时，首先要对两个简单命题进行化简，然后依据“pq”“pq”“非p”形式命题的真假，列出含有参数的不等式(组)求解即可.4. 设，则“”是“”的（ ）A. 充要条件B. 充分而不必要条件C. 必要而不充分条件D. 既不充分也不必要条件
3、【答案】C【解析】不能推出，反过来，若则成立，故为必要不充分条件.5. 函数y1x的部分图象大致为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由题意比较函数的性质及函数图象的特征，逐项判断即可得解.【详解】当x1时，y11sin12sin12，排除A、C；当x时，y，排除B.故选：D.【点睛】本题考查了函数图象的识别，抓住函数图象的差异是解题关键，属于基础题.6. 若（，且），则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】把不等式两边化为同底数的对数，讨论底数与1的关系，确定函数的单调性，根据函数的单调性整理出关于的不等式，得到结果，把两种情况求并集得到
4、结果【详解】解：且当时，函数是一个增函数，不等式恒成立，当时，函数是一个减函数，根据函数的单调性有，即综上可知的取值是，故选：【点睛】本题主要考查对数函数单调性的应用、不等式的解法等基础知识，本题解题的关键是对于底数与1的关系，这里应用分类讨论思想来解题7. 已知奇函数 在上是增函数，若，则的大小关系为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先根据奇函数性质得，再比较自变量大小得，最后根据函数单调性即可比较大小.【详解】解：根据题意，为奇函数，则，又由，又由在上是增函数，则有.故选：D.【点睛】本题考查函数单调性比较大小问题，是中档题.方法总结：比较大小的方法（1）作差法，其步
5、骤：作差变形判断差与0的大小得出结论（2）作商法，其步骤：作商变形判断商与1的大小得出结论（3）构造函数法：构造函数，利用函数单调性比较大小8. 函数在单调递增，且关于对称，若，则的的取值范围（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用关于对称，可得关于轴对称，结合在单调递增，可得，即可求解.【详解】因为关于对称，所以关于轴对称，所以，又在单调递增，由可得，解得：，故选：D【点睛】关键点点睛：本题的关键点是利用关于对称，可得关于轴对称，利用函数的单调性和对称性可得即可.9. 函数(其中，)的图象如图所示.为了得到的图象，只需把的图象上所有的点（ ）A. 向右平移个单位长度B.
6、向右平移个单位长度C. 向左平移个单位长度D. 向左平移个单位长度【答案】B【解析】【分析】先根据图象求出的值即可得和的解析式，再利用函数图象的平移变换即可得正确选项.【详解】由图知：，所以，当时，有最小值，所以，所以，又因为，所以，所以，所以只需要把图象上所有的点向右平移个单位长度得，故选：B【点睛】关键点点睛：本题的关键点是由函数的部分图象求出的值，进而求出和的解析式，由平移变换的规律求解，注意左右平移指一个变化多少，此点容易出错，属于中档题.10. 已知函数的最大值为，若存在实数，使得对任意实数总有成立，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据三角函数的两
7、角和差公式得到，进而可以得到函数的最值，区间(m,n)长度要大于等于半个周期，最终得到结果.【详解】函数 则函数的最大值为2，存在实数，使得对任意实数总有成立，则区间(m,n)长度要大于等于半个周期，即 故答案为B.【点睛】这个题目考查了三角函数的两角和差的正余弦公式的应用，以及三角函数的图像的性质的应用，题目比较综合.11. 已知的定义域为，为的导函数，且满足，则不等式的解集是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】构造函数，再根据单调性解不等式，即得结果.【详解】令，则，所以在上单调递减，故选：B【点睛】本题考查利用导数解不等式，考查基本分析求解能力，属中档题.12. 已知
8、函数的导函数为，且对任意的实数都有(是自然对数的底数)，且，若关于的不等式的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由题意得即求出解析式，利用导数研究其单调性和极值与最值，结合图象即可求解.【详解】即，所以，则，所以，因为，所以，所以，由得，此时单调递增，由得或，此时单调递减，所以时，取得极大值，当时，取得极小值，又因为，且时，的解集中恰有两个整数等价于在下方的图象只有2个横坐标为整数的点，结合函数图象可得：则，解得，所以时，的解集中恰有两个整数，故实数的取值范围是故选：C【点睛】关键点点睛：的解集中恰有两个整数，需求出解析式，所以对已知条
9、件变形可得即结合可求出，的解集中恰有两个整数等价于在下方的图象只有2个横坐标为整数的点，对求导数形结合即可求出实数的取值范围，属于难题.二、填空题13. 计算：_【答案】【解析】【分析】根据定积分的几何意义，表示以为圆心，以2为半径的圆的面积的四分之一.【详解】表示直线与曲线和轴围成的图形的面积.如图.图形中阴影部分的面积是以为圆心，以2为半径的圆的面积的四分之一.所以故答案为：【点睛】本题考查了定积分的几何意义，属于基础题14. _【答案】【解析】【分析】利用诱导公式和两角和正切公式进行求值.【详解】因为.故答案.【点睛】本题考查诱导公式和两角和正切公式的运用，考查运算求解能力，属于容易题.
10、15. 田忌赛马是中国古代对策论与运筹思想的著名范例，故事中齐将田忌与齐王赛马，孙膑献策以下马对齐王上马，以上马对齐王中马，以中马对齐王下马，结果田忌一负两胜从而获胜，该故事中以局部的牺牲换取全局的胜利成为军事上一条重要的用兵规律，在比大小游戏中(大者为胜)，已知我方的三个数为，对方的三个数以及排序如表：第一局第二局第三局对方当时，则我方必胜的排序是_.【答案】，【解析】【分析】由三角函数值的大小比较得：当时，结合田忌赛马的事例进行简单的推理，即可得答案.【详解】因为当时，.故答案为：，【点睛】关键点点睛：本题的关键点是当时，比较出，以及、的大小关系，利用田忌赛马的事例进行推理即可.16. 若
11、关于的方程有且只有三个不相等的实根，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】可知不满足方程，将方程变形为，令，利用导数分析函数的单调性与极值，作出函数的图象，由题意得出方程的两根分别满足，数形结合可得出实数的取值范围.【详解】显然不满足方程；当且时，由得，令，对函数求导得，令得，列表如下：单调递增单调递增极大值单调递减所以，函数在处取得极大值，即，如下图所示：由于关于的方程有且只有三个不相等的实根，则关于的方程要有两个根、，且，如下图所示：所以，.综上所述，实数的取值范围是.故答案为：.【点睛】本题考查利用导数研究函数的零点问题，将问题转化复合函数的零点个数问题是解题的关键，考查分析问题
12、和解决问题的能力，属于难题.三解答题17. 设命题p：实数x满足，其中，命题q：实数x满足（1）若，且为真，求实数x的取值范围；（2）若是的充分不必要条件，求实数a的取值范围【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）转化条件为命题、均为真命题，结合一元二次不等式即可得解；（2）设或，或，转化条件为，即可得解.【详解】（1）由得又，所以，当时，若p为真命题，则；由，解得，所以q为真时，若为真，则，解得，所以实数x的取值范围是；（2）设或，或，因为是的充分不必要条件，所以，所以，解得所以实数a的取值范围是【点睛】本题考查了由复合命题的真假求参数，考查了由必要条件、充分条件求参数，属于基础题.18
13、. 已知函数.（1）求函数在上的最大值和最小值.（2）过点作曲线的切线，求此切线的方程.【答案】（1），；（2）或.【解析】【分析】（1）求出导数，根据导数求出函数的单调区间，即可求出函数的最值；（2）设切点为，表示出切线方程，代入点，求出，即可得出切线方程.【详解】（1），当或时，为函数的单调增区间当时，为函数的单调减区间又因为，所以当时，当时，（2）设切点为，则切线斜率，则所求切线方程为，由于切线过点，解得或所以切线方程为或,即或.【点睛】本题考查利用导数求函数最值，考查利用导数求切线方程，属于中档题.19. 在中，角所对的边分别为，已知（1）求角的大小；（2）若，求的取值范围【答案】（1
14、）；（2）【解析】【分析】（1）根据三角形角的关系，代入化简三角函数式，即可求得，进而得角的大小；（2）根据余弦定理，由基本不等式即可求得，再结合三角形边关系求得的取值范围.【详解】（1），即，（2）由余弦定理可知，代入可得，当且仅当时取等号，又，的取值范围是【点睛】本题考查了三角恒等变形的应用，由余弦定理及基本不等式求边的范围，属于中档题.20. 在中，对边分别为，若，.（1）求；（2）已知在边上，且，求的面积.【答案】(1) (2) 【解析】【分析】（1）由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinA的值，利用二倍角的正弦函数公式可求sinB的值，由正弦定理可得a的值（2）利用二倍角的余弦函
15、数公式可求cosB，利用两角和的正弦函数公式可求sinC的值，利用三角形的面积公式可求SABC，由，可求SCMASABC的值【详解】解：（1）由知，由正弦定理可知，（2），三角形的面积，而.【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式，正弦定理，二倍角的余弦函数公式，两角和的正弦函数公式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题21. 已知函数.(1)求曲线在点处的切线方程；(2)若在区间上恒成立，求的取值范围.【答案】（1）yx（2）a【解析】【详解】（1）因为f(x)exsinxax2，所以f(x)ex(cosxsinx)2ax，故f(0)1又f(0)0，故所求切线方程为y x（2）当x0时，f(0)0在区间上恒成立当0x时，由得在上恒成立令g(x)，x(0，则g(x)令G(x)x(sinxcosx)2sinx，x(0，则G(x)(cosxsinx)(x1)，故当0x时，G(x)0，G(x)单调递减；当x1时，G(x)0，G(x)单调递增；当1x时，G(x)0，G(x)单调递减，又G(0)0，G(1)cos1sin10，所以G(x)0，所以g(x)0，所以g(x)在(0，上单调递减，所以g(x)g()，故a综上实数的取值范围为