1、江苏省无锡一中2012-2013学年高二下学期期中考试数学理试题一、填空题（共14小题，每小题5分，共70分）1已知（为虚数单位），则复数的共轭复数是 2从5名男生和4名女生中选出3名代表，代表中必须有女生，则不同的选法有 种（用数字作答） 3若，则 4由1、2、3、4、5组成个位数字不是3的没有重复数字的五位奇数共有 个（用数字作答）5设为奇数，则除以9的余数为 6已知复数乘法（，为虚数单位）的几何意义是将复数在复平面内对应的点绕原点逆时针方向旋转角，则将点绕原点逆时针方向旋转得到的点的坐标为 7 的展开式中有理项共有 项8已知一个关于正整数的命题满足“若时命题成立，则时命题也成立”有下列判
2、断：（1）当时命题不成立，则时命题不成立；（2）当时命题不成立，则时命题不成立；（3）当时命题成立，则时命题成立；（4）当时命题成立，则时命题成立其中正确判断的序号是 （写出所有正确判断的序号） 9已知复数满足，则（为虚数单位）的最大值是 10已知扇形，点为弧上异于的任意一点，当为弧的中点时， 的值最大现有半径为的半圆，在圆弧上依次取点（异于），则的最大值为 11从红桃2、3、4、5和梅花2、3、4、5这8张扑克牌中取出4张排成一排，如果取出的4张扑克牌所标的数字之和等于14，则不同的排法共有 种（用数字作答）12若，则的值为 . 13数列满足，其中，设，则等于 14我们常用构造等式对同一个量
3、算两次的方法来证明组合恒等式，如由等式可得，左边的系数为，而右边，的系数为，由恒成立，可得利用上述方法，化简 二、解答题（共6大题，共90分）15（本题满分15分）设实部为正数的复数，满足，且复数在复平面上对应的点在第一、三象限的角平分线上（1）求复数；（2）若为纯虚数， 求实数的值16（本题满分15分）4个男同学，3个女同学站成一排（1）男生甲必须排在正中间，有多少种不同的排法？（2）3个女同学必须排在一起，有多少种不同的排法？（3）任何两个女同学彼此不相邻，有多少种不同的排法？（4）其中甲、乙两名同学之间必须有3人，有多少种不同的排法？ （用数字作答）17（本题满分15分）已知（是正实数）
4、的展开式的二项式系数之和为256，展开式中含项的系数为112（1）求的值；（2）求展开式中奇数项的二项式系数之和；（3）求的展开式中含项的系数 （用数字作答）18（本题满分15分）已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球现从甲、乙两个盒内各任取2个球（1）求取出的4个球均为黑球的概率；（2）求取出的4个球中恰有1个红球的概率；（3）设为取出的4个球中红球的个数，求的分布列19（本题满分15分）已知，考查；归纳出对都成立的类似不等式，并用数学归纳法加以证明 20（本题满分15分）试用两种方法证明：（1）；（2）一、填空题（共14小题，每小题5分，共70分）1
5、. ； 2. ； 3. ； 4. ； 5. ； 6. ； 7. ； 8. （2）（3）； 9. ； 10. ； 11. ； 12. ； 13. ； 14. 二、解答题（共6大题，共90分）15（本题满分15分）解：（1）设，1分由题意：.3分，得5分联立，解得7分得.8分 （2）11分所以且，13分解得.15分16（本题满分15分）解：（1）；3分（2）（捆绑法）7分（3）（插空法）；11分（4）.15分17（本题满分15分）解：（1），2分解得；3分含项的系数为，5分解得（舍负）.6分（2）；9分（3），11分所以含的系数为.15分18（本题满分15分）解：（1）设“取出的4个球均为黑球”为
6、事件，；答： 3分（没有设或答扣一分）（2）设“取出的4个球恰有1个红球”为事件，；答： 6分（没有设或答扣一分）（3）所有可能的值为0，1，2，3，4， 8分，10分，12分14分所以的分布列为123415分19（本题满分15分）结论 ：3分证明：当时，显然成立；5分假设当时，不等式成立，即，7分则时，14分由，不等式对任意正整数成立.15分20（本题满分15分）（1）证明：方法1 由令，得. 3分 方法2 数学归纳法 当时，显然成立； 假设当时，则当时，由所以，由，等式对于任意恒成立. 7分方法3 含个元素的集合的子集个数按两种方式计算可证（方法1给4分，其他方法6分）（2）方法1先证. ，（注意），所以。 9分所以11分方法2 由，两边求导，得，14分令，得. 15分