1、2015-2016学年江苏省泰州市泰兴中学高一（下）5月段考数学试卷一、填空题（共14小题，每小题5分，满70分）1不等式x21的解集为2在ABC中，已知b=4，c=2，A=120，则a等于3等差数列an中，a1+a5=10，a4=7，则数列an的公差为4若a，b 是异面直线，直线c与a相交，则c与b的位置关系是5若直线l1：ax+2y+6=0与直线l2：x+（a1）y+（a21）=0平行则实数a=6已知数列an的前n项和为Sn=5n2+kn，且a2=18，则k=7设z=x+y，其中x，y满足，若z的最大值为12，则z的最小值为8以直线3x4y+12=0夹在两坐标轴间的线段为直径的圆的方程为9
2、设关于x的不等式：x2x2nx（nN*）的解集中整数的个数为an，数列an的前n项的和为Sn，则S100=10在ABC中，已知acosA=bcosB，则ABC的形状是11已知圆O：x2+y2=1，由直线l：x+y+k=0上一点P作圆O的两条切线，切点为A，B，若在直线l上至少存在一点P，使APB=60，则k的取值范围是12已知tan（+）=3，tan（）=2，则的值为13已知数列an为正项等差数列，满足+1（其中kN*，且k2），则ak的最小值为14在平面直角坐标系xOy中，若与点A（2，2）的距离为1且与点B（m，0）的距离为3的直线恰有两条，则实数m的取值范围为二、解答题：（共70分）15
3、如图，ABCD是一个不透明的三棱锥木块，点E，F，G分别在AB，BC，CD上，且F，G是BC，CD的中点，BE：EA=1：2，（1）求证：FG平面BAD；（2）设过点E，F，G的平面交平面ABD于直线l请作出直线l，写出作法，并说明理由16在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知acos2+ccos2=b（1）求证：a，b，c成等差数列；（2）若b=2，B=，求ABC的面积17已知f（x）=ax2+xa，aR（1）若a=1，解不等式f（x）1；（2）若不等式f（x）2x23x+12a对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围；（3）若a0，解不等式f（x）118扬州某地区要建造一条防
4、洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边成角为60（如图），考虑到防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面要求面积为平方米，且高度不低于米记防洪堤横断面的腰长为x（米），外周长（梯形的上底线段BC与两腰长的和）为y（米）（1）求y关于x的函数关系式，并指出其定义域；（2）要使防洪堤横断面的外周长不超过10.5米，则其腰长x应在什么范围内？（3）当防洪堤的腰长x为多少米时，堤的上面与两侧面的水泥用料最省（即断面的外周长最小）？求此时外周长的值19已知圆O的方程为x2+y2=13，直线l：x0x+y0y=13，设点A（x0，y0）（1）若点A在圆O外，试判断直线l与圆O的位置关系；（2）若点A在圆O上
5、，且x0=2，y00，过点A作直线AM，AN分别交圆O于M，N两点，且直线AM和AN的斜率互为相反数若直线AM过点O，求tanMAN的值；试问：不论直线AM的斜率怎么变化，直线MN的斜率是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由20已知an=2n+3n，bn=an+1+kan，（1）若bn是等比数列，求k的值；（2）若Cn=log3（an2n），且数列Cn的前和为Sn，证明： 2；（=+）（3）若k=2，集合A=nN*|，求集合A中所有元素之和2015-2016学年江苏省泰州市泰兴中学高一（下）5月段考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每小题5分，满70分）1不等式x21的
6、解集为x|1x1【考点】一元二次不等式的解法【分析】由不等式x21，通过因式分解可得（x+1）（x1）0，即可求得解集【解答】解：由不等式x21，化为（x+1）（x1）0，解得1x1不等式x21的解集为x|1x1故答案为：x|1x1【点评】本题考查了一元二次不等式的解法，属于基础题2在ABC中，已知b=4，c=2，A=120，则a等于2【考点】余弦定理【分析】由b，c以及cosA的值，利用余弦定理即可求出a的值【解答】解：在ABC中，b=4，c=2，A=120，由余弦定理得：a2=b2+c22bccosA=16+4+8=28，则a=2故答案为：2【点评】此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数
7、值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键3等差数列an中，a1+a5=10，a4=7，则数列an的公差为2【考点】等差数列的性质【分析】由等差数列的性质，结合a1+a5=10求出a3，由等差数列的定义求得公差【解答】解：在等差数列an中，由a1+a5=10，得2a3=10，a3=5又a4=7，数列an的公差d为a4a3=75=2故答案为：2【点评】本题考查了等差数列的性质，考查了等差中项的概念，是基础题4若a，b 是异面直线，直线c与a相交，则c与b的位置关系是平行、相交、异面【考点】空间中直线与直线之间的位置关系【分析】若a，b是异面直线，直线c与a相交，所以c与b可能平行、相交、异面【解答】解：
8、由a、b是异面直线，直线c与a相交，知c与b的位置关系是平行、相交、异面，故答案为：平行、相交、异面【点评】此题考查学生的空间想象能力，考查对异面直线的理解和掌握5若直线l1：ax+2y+6=0与直线l2：x+（a1）y+（a21）=0平行则实数a=1【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系【分析】由直线的平行关系可得a的方程，解方程验证可得【解答】解：直线l1：ax+2y+6=0与直线l2：x+（a1）y+（a21）=0平行，a（a1）21=0，解得a=1或a=2，经验证当a=2时，直线重合，a=1符合题意，故答案为：1【点评】本题考查直线的一般式方程和直线的平行关系，属基础题6已知数列an
9、的前n项和为Sn=5n2+kn，且a2=18，则k=3【考点】等差数列的前n项和【分析】由数列an的前n项和求出a1和S2，然后利用a2=S2a1列式计算k的值【解答】解：数列an的前n项和为，a1=S1=5+k，由a2=S2a1，得18=20+2k（5+k）=15+k，k=3故答案为：3【点评】本题考查了等差数列的前n项和，考查了数列的前n项和与项之间的关系，是基础的计算题7设z=x+y，其中x，y满足，若z的最大值为12，则z的最小值为6【考点】简单线性规划【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，先求出最优解，利用数形结合即可得到结论【解答】解：作出不等式组对应的平面区
10、域如图：由z=x+y得y=x+z，则直线截距最大时，z也最大平移直线y=x+z由图象可知当直线y=x+z经过点B时，直线y=x+z的截距最大，此时z最大为12，即x+y=12，由，得，即B（6，6），此时B也在直线y=k上，k=6，当直线y=x+z经过点A时，直线y=x+z的截距最小，此时z最小，由，即，即A（12，6），此时z=x+y=12+6=6，故答案为：6【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，结合数形结合是解决本题的关键8以直线3x4y+12=0夹在两坐标轴间的线段为直径的圆的方程为（x+2）2+（y）2=【考点】圆的标准方程【分析】根据直线3x4y+12=0方程求出它
11、与x轴、y轴交点A、B的坐标，从而得到AB中点为C（2，），即为所求圆的圆心再用两点的距离公式，算出半径r=|AB|=，最后根据圆的标准方程列式即可得到所求圆的方程【解答】解：对直线3x4y+12=0令x=0，得y=3；令y=0，得x=4直线3x4y+12=0交x轴于A（4，0），交y轴于B（0，3）所求的圆以AB为直径该圆以AB中点C为圆心，半径长为|AB|AB中点C坐标为（，），即C（2，）|AB|=圆C的方程为（x+2）2+（y）2=，即（x+2）2+（y）2=故答案为：（x+2）2+（y）2=【点评】本题给出已知直线，求以直线被两坐标轴截得线段为直径的圆方程，着重考查了中点坐标公式、圆
12、的标准方程和两点间的距离公式等知识，属于基础题9设关于x的不等式：x2x2nx（nN*）的解集中整数的个数为an，数列an的前n项的和为Sn，则S100=10100【考点】数列的求和；一元二次不等式的解法【分析】先整理条件中的不等式，表示出x的解集，进而得出数列an通项公式和求和公式代入100即可求得S100【解答】解：x2x2nx整理得x（x2n1）0，解得0x2n+1则an=2nSn=n（n+1）S100=10100故答案为10100【点评】本题主要考查了数列的求和问题属基础题10在ABC中，已知acosA=bcosB，则ABC的形状是ABC为等腰或直角三角形【考点】正弦定理的应用；两角和
13、与差的余弦函数【分析】根据正弦定理把等式acosA=bcosB的边换成角的正弦，再利用倍角公式化简整理得sin2A=sin2B，进而推断A=B，或A+B=90答案可得【解答】解：根据正弦定理可知acosA=bcosB，sinAcosA=sinBcosBsin2A=sin2BA=B，或2A+2B=180即A+B=90，所以ABC为等腰或直角三角形故答案为ABC为等腰或直角三角形【点评】本题主要考查了正弦定理的应用，属基础题11已知圆O：x2+y2=1，由直线l：x+y+k=0上一点P作圆O的两条切线，切点为A，B，若在直线l上至少存在一点P，使APB=60，则k的取值范围是2，2【考点】圆的切线
14、方程【分析】由题意，APB=60，OP=2，可得P的轨迹方程为x2+y2=4，在直线l上至少存在一点P，使APB=60，可以转化为直线l：x+y+k=0与x2+y2=4至少存在一个交点，利用圆心到直线的距离d=2，即可确定k的取值范围【解答】解：由题意，APB=60，OP=2，P的轨迹方程为x2+y2=4，在直线l上至少存在一点P，使APB=60，直线l：x+y+k=0与x2+y2=4至少存在一个交点，圆心到直线的距离d=2，2k2，k的取值范围是2，2故答案为：2，2【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查圆的方程，在直线l上至少存在一点P，使APB=60，可以转化为直线l：x+y+k=0与
15、x2+y2=4至少存在一个交点，是解题的关键12已知tan（+）=3，tan（）=2，则的值为【考点】两角和与差的正切函数【分析】利用同角三角函数的基本关系，两角差的三角公式，求得要求式子的值【解答】解：tan（+）=3，tan（）=2，则=，故答案为：【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角差的三角公式的应用，属于基础题13已知数列an为正项等差数列，满足+1（其中kN*，且k2），则ak的最小值为【考点】数列递推式【分析】由等差数列的性质得，结合+1利用基本不等式求得ak的最小值【解答】解：数列an为正项等差数列，且+1，（+）=当且仅当+=1，且，即a1=3，a2k1=6时上式等
16、号成立ak的最小值为故答案为：【点评】本题考查数列递推式，考查了等差数列的性质，训练了利用基本不等式求最值，是中档题14在平面直角坐标系xOy中，若与点A（2，2）的距离为1且与点B（m，0）的距离为3的直线恰有两条，则实数m的取值范围为【考点】点到直线的距离公式【分析】根据题意可把点到线的距离转化为圆，进而利用两个圆的位置关系解决问题【解答】解：由题意可得：与点A（2，2）的距离为1的点确定了一个圆O1，与点B（m，0）的距离为3的点确定了一个圆O2，所以根据题意可得：题中所要求的直线也就是两个圆的公切线，并且这样的公切线只有两条，所以根据两圆位置关系可得：这两个圆必然相交，即有|r1r2|
17、O1O2|r1+r2，即：24，解得：故答案为【点评】解决此类问题的关键是熟练掌握两个圆的位置关系，以及进行正确的计算二、解答题：（共70分）15如图，ABCD是一个不透明的三棱锥木块，点E，F，G分别在AB，BC，CD上，且F，G是BC，CD的中点，BE：EA=1：2，（1）求证：FG平面BAD；（2）设过点E，F，G的平面交平面ABD于直线l请作出直线l，写出作法，并说明理由【考点】直线与平面平行的判定【分析】（1）由中位线定理可知FGBD，故而FG平面BAD；（2）取线段AD靠近D的三等分点P，则PE为所求直线l【解答】解：（1）F，G是BC，CD的中点，FGBD，又FG平面BAD，BD
18、平面BAD，FG平面BAD（2）在AD上取一点P，使得DP：PA=1：2，连接EP，则直线PE为平面EFG与平面ABD的交线l理由如下：，EPBD，又FGBD，PEFGP平面EFG，又P平面ABD，P为平面EFG和平面ABD的公共点，又E为平面EFG和平面ABD的公共点，平面EFG平面ABD=PE，即PE为所求的交线l【点评】本题考查了线面平行的判定，平面的基本性质，属于基础题16在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知acos2+ccos2=b（1）求证：a，b，c成等差数列；（2）若b=2，B=，求ABC的面积【考点】正弦定理【分析】（1）已知等式利用正弦定理化简，再利用二倍
19、角的余弦函数公式及两角和与差的正弦函数公式变形，整理后再利用正弦定理化简，利用等差数列的性质判断即可得证；（2）利用三角形面积公式进行解答【解答】（1）证明：，由正弦定理得，化简得，sinA+sinC+sinAcosC+sinCcosA=3sinB，sinA+sinC+sin（A+C）=3sinB，sin（A+C）=sinB，sinA+sinC=2sinB，由正弦定理化简得：a+c=2b，a，b，c成等差数列；（2）由（1）得：a+c=2b，b=2，B=，a+c=2b，b2=a2+c22accosB=a2+c2ac=（2b）23ac，ac=b2=8，S=acsinB=8sin=4=2即ABC的
20、面积是2【点评】此题考查了正弦、余弦定理，二倍角的余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，诱导公式，等差数列的性质，以及三角形面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键17已知f（x）=ax2+xa，aR（1）若a=1，解不等式f（x）1；（2）若不等式f（x）2x23x+12a对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围；（3）若a0，解不等式f（x）1【考点】其他不等式的解法；函数恒成立问题；一元二次不等式的解法【分析】（1）当a=1，不等式即（x+2）（x1）0，解此一元二次不等式求得它的解集（2）由题意可得（a+2）x2+4x+a10恒成立，当a=2 时，显然不满足条件，故有，由此求得a的范
21、围（3）若a0，不等式为 ax2+xa10，即（x1）（x+）0再根据1和的大小关系，求得此不等式的解集【解答】解：（1）当a=1，不等式f（x）1即 x2+x11，即（x+2）（x1）0，解得 x2，或 x1，故不等式的解集为x|x2，或 x1（2）由题意可得 （a+2）x2+4x+a10恒成立，当a=2 时，显然不满足条件，解得 a2，故a的范围为（2，+）（3）若a0，不等式为 ax2+xa10，即 （x1）（x+）01（）=，当a0时，1，不等式的解集为 x|1x； 当 a=时，1=，不等式即（x1）20，它的解集为；当a时，1，不等式的解集为 x|x1【点评】本题主要考查一元二次不等
22、式的解法，函数的恒成立问题，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题18扬州某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边成角为60（如图），考虑到防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面要求面积为平方米，且高度不低于米记防洪堤横断面的腰长为x（米），外周长（梯形的上底线段BC与两腰长的和）为y（米）（1）求y关于x的函数关系式，并指出其定义域；（2）要使防洪堤横断面的外周长不超过10.5米，则其腰长x应在什么范围内？（3）当防洪堤的腰长x为多少米时，堤的上面与两侧面的水泥用料最省（即断面的外周长最小）？求此时外周长的值【考点】函数模型的选择与应用；基本不等式在最值问题中的应用【分析】（1
23、）先由横断面积用x表示BC，从建立y关于x的函数关系式，定义域由线段必须大于零和高度不低于米求解；（2）解y10.5分式不等式；（3）求函数y的最小值，根据函数特点及条件可选用不等式解决【解答】解：（1），其中，得，由，得2x6；（2）得3x43，42，6）腰长x的范围是3，4（3），当并且仅当，即时等号成立外周长的最小值为米，此时腰长为米【点评】本题主要考查利用平面图形建立函数模型以及解模的能力，属于中档题19已知圆O的方程为x2+y2=13，直线l：x0x+y0y=13，设点A（x0，y0）（1）若点A在圆O外，试判断直线l与圆O的位置关系；（2）若点A在圆O上，且x0=2，y00，过点A
24、作直线AM，AN分别交圆O于M，N两点，且直线AM和AN的斜率互为相反数若直线AM过点O，求tanMAN的值；试问：不论直线AM的斜率怎么变化，直线MN的斜率是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由【考点】直线与圆的位置关系；直线的斜率【分析】（1）由点A在圆O外，可得x02+y02 13，求得圆心到直线的距离d小于半径，可得直线和圆相交（2）由条件求得点A（2，3）若直线AM过点O，求得AM的斜率，可得AN的斜率KAN=，再利用两条直线的夹角公式求得tanMAN=|的值记直线AM的斜率为k，把直线AM的方程为：y=kx+32k代入圆O的方程化简，由2是方程的一个根，利用韦达定理求得M的
25、横坐标xM的值，同理可得，xN 的值，再根据MN的斜率为，计算结果为，可得结论【解答】解：（1）点A在圆O外，x02+y02 13，由于圆心（0，0）到直线l：x0x+y0y=13的距离d=r，故直线和圆相交（2）点A在圆O上，且x0=2，y00，可得y0=3，点A（2，3）若直线AM过点O，则AM的斜率为 KAM=，KAN=，tanMAN=|=|=记直线AM的斜率为k，则直线AM的方程为：y=kx+32k将y=kx+32k代入圆O的方程得：x2+（kx+32k）2=13，化简得：（k2+1）x2+2k（32k）x+（32k）213=0，2是方程的一个根，2xM=，xM=，由题意知：kAN=k
26、，同理可得，xN=，kMN=k=k=，不论直线AM的斜率怎样变化，直线MN的斜率总为定值【点评】本题主要考查点和圆的位置关系，直线和圆的位置关系，直线的倾斜角和斜率，两条直线的夹角公式的应用，属于中档题20已知an=2n+3n，bn=an+1+kan，（1）若bn是等比数列，求k的值；（2）若Cn=log3（an2n），且数列Cn的前和为Sn，证明： 2；（=+）（3）若k=2，集合A=nN*|，求集合A中所有元素之和【考点】数列的求和；等比数列的通项公式【分析】（1）运用等比数列的性质，可得b22=b1b3，解k的方程可得k的值；（2）求得Cn=n，Sn=，可得=2（），运用裂项相消求和，即
27、可得证；（3）求得bn=3n，令dn=，作差，判断单调性，可得集合A中的元素，求和可得【解答】解：（1）由a1=5，a2=13，a3=35，a4=97，又bn是等比数列，可得b22=b1b3，则（35+13k）2=（13+5k）（97+35k），解得k=2或k=3，经检验均符合；（2）证明：由题可得Cn=log3（an2n）=n，则Sn=，可得=2（），则=2（1+）=2（1）2；（3）由题可得bn=3n，令dn=，则dn+1dn=，当n=1时，d1=d2=，当n2时，dn+1dn，又d3=，d4=，则A=1，2，3，所以A中所有元素之和为6【点评】本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的求和方法：裂项相消求和，以及数列的单调性和运用，属于中档题