1、2.2.2双曲线的简单几何性质双基达标（限时20分钟）1双曲线mx2y21的虚轴长是实轴长的2倍，则m的值为()A B4 C4 D.解析由双曲线方程mx2y21，知m0，则双曲线方程可化为y21，则a21，a1，又虚轴长是实轴长的2倍，b2，b24，m，故选A.答案A2双曲线3x2y23的渐近线方程是()Ay3x ByxCyx Dyx解析令x20，则yx.答案C3已知中心在原点，对称轴为坐标轴且经过点P(1，3)，离心率为的双曲线的标准方程为()A.1 B.1C.1 D.1解析由离心率为，e212，即ab，双曲线为等轴双曲线，故设所求双曲线的标准方程为x2y2(0)，又点P(1，3)在双曲线上
2、，则198，所求双曲线的标准方程为1.故选D.答案D4与双曲线x21有共同的渐近线，且过点(2，2)的双曲线的标准方程是_解析依题意，设双曲线的方程x2(0)，将点(2，2)代入求得3，所以所求双曲线的标准方程为1.答案15双曲线1的离心率e(1，2)，则k的取值范围是_解析双曲线方程可变为1，则a24，b2k，c24k，e，又e(1，2)，则12，解得12k0.答案(12，0)6求双曲线x21的顶点坐标、焦点坐标、实半轴长、虚半轴长与渐近线方程解把方程化为标准方程为1，由此可知实半轴长a1，虚半轴长b2，顶点坐标是(1，0)，(1，0)，c，焦点的坐标是(，0)，(，0)，渐近线方程为0，即
3、y2x.综合提高（限时25分钟）7在平面直角坐标系xOy中，双曲线的中心在坐标原点，焦点在y轴上， 一条渐近线的方程为x2y0，则它的离心率为()A. B. C. D2解析由题意知，这条渐近线的斜率为，即，而e，故选A.答案A8若0k0，b2k0，所以a2kb2ka2b2c2.所以两双曲线有相同的焦点答案D9若双曲线中心在原点，焦点在y轴，离心率e，则其渐近线方程为_解析由已知设双曲线方程为1(a0，b0)由e，得e21.，则，渐近线方程为yxx.答案yx10过双曲线的一个焦点F2作垂直于实轴的弦PQ，点F1是另一个焦点，若PF1Q90，则双曲线的离心率等于_解析设F1、F2分别是双曲线的左、
4、右焦点，由题意，知在焦点三角形F1PF2中，|PF1|2c，|PF2|2c，又|PF1|PF2|2a，故有e1.答案111已知双曲线3x2y23，过P(2，1)点作一直线交双曲线于A、B两点若P为AB的中点，(1)求直线AB的方程；(2)求弦AB的长解(1)易知直线AB的斜率存在设A(x1，y1)、B(x2，y2)，代入双曲线方程3x2y23，得3xy3，3xy3，两式相减得：3(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)，即3.所以直线AB的斜率kAB6.所以直线AB的方程为6xy110.(2)将y6x11代入3x2y23，得33x2132x1240.由弦长公式|AB|x1x2|得：|A
5、B|，所以|AB|.12(创新拓展)已知点N(1，2)，过点N的直线交双曲线x21于A、B两点，且()(1)求直线AB的方程；(2)若过点N的直线交双曲线于C、D两点，且0，那么A、B、C、D四点是否共圆？为什么？解(1)由题意知，直线AB的斜率存在设直线AB：yk(x1)2，代入x21得(2k2)x22k(2k)x(2k)220.(*)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1、x2是方程(*)的两根，2k20.且x1x2.()，N是AB的中点，1，k(2k)k22，k1，直线AB的方程为yx1.(2)共圆将k1代入方程(*)得x22x30，解得x1或x3， A(1，0)，B(3，4)0，CD垂直AB，CD所在直线方程为y(x1)2，即y3x，代入双曲线方程整理得x26x110，令C(x3，y3)，D(x4，y4)及CD中点M(x0，y0)则x3x46，x3x411，x03，y06，即M(3，6)|CD|x3x4|4，|MC|MD|CD|2，|MA|MB|2，即A、B、C、D到M的距离相等，A、B、C、D四点共圆