1、专题3.6 对数与对数函数【考纲解读与核心素养】1. 理解对数的概念，掌握对数的运算，会用换底公式.2理解对数函数的概念，掌握对数函数的图象、性质及应用.3.了解对数函数的变化特征.4培养学生的数学抽象、数学运算、数学建模、逻辑推理、直观想象、数据分析等核心数学素养.5. 高考预测：（1）对数运算；（2）对数函数的图象和性质及其应用；（3）除单独考查外，在大题中考查对数运算、对数函数的图象和性质的应用是热点.6.备考重点：（1）对数运算（2）对数函数单调性的应用，如比较函数值的大小；（3）图象过定点；（4）底数分类讨论问题.【知识清单】1对数及其运算1.对数的概念（1）如果axN(a0，且a1
2、)，那么x叫做以a为底N的对数，记作xlogaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.（2）对数的性质：负数和零没对数；（3）对数恒等式alogaNN2.对数的运算法则如果a0且a1，M0，N0，那么loga(MN)logaMlogaN；logalogaMlogaN；logaMnnlogaM(nR)；logamMnlogaM(m，nR，且m0).(3)对数的重要公式换底公式：logbN(a，b均大于零且不等于1)；logab，推广logablogbclogcdlogad.logaabb(a0，且a1)2对数函数及其性质(1)概念：函数ylogax(a0，且a1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数
3、的定义域是(0，).(2)对数函数的图象与性质a10a1时，y0；当0x1时，y1时，y0；当0x0在(0，)上是增函数在(0，)上是减函数3.反函数对数函数ylogax(a0，且a1)和指数函数yax(a0，且a1)互为反函数，它们的图象关于直线yx对称【典例剖析】高频考点一 ：对数的化简、求值【典例1】（2020全国高考真题（理）已知5584，13485设a=log53，b=log85，c=log138，则（ ）AabcBbacCbcaDcab【答案】A【解析】由题意可知、，；由，得，由，得，可得；由，得，由，得，可得.综上所述，.故选：A.【典例2】（2019山东高考模拟（文）设函数，则
4、（）A9B11C13D15【答案】B【解析】函数，=2+9=11故选：B【规律方法】1.对数性质在计算中的应用(1)对数运算时的常用性质：logaa1，loga10.(2)使用对数的性质时，有时需要将底数或真数进行变形后才能运用；对于多重对数符号的，可以先把内层视为整体，逐层使用对数的性质2.对数运算的一般思路(1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并(2)合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算【变式探究】1.（2018届安徽省宿州市第三次检测）已知，则（ ）
5、A. -2 B. 2 C. D. 【答案】C【解析】由题意，设，则，据此有：，则：，即，据此可得：或，其中：，据此可得：，则.本题选择C选项.2.则 ， .【答案】4，2.【解析】设，因为，因此【易错提醒】 (1)对数的运算性质以及有关公式都是在式子中所有的对数符号有意义的前提下才成立的，不能出现log212log2(3)(4)log2(3)log2(4)的错误(2)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用高频考点二 ：对数函数的概念与图象【典例3】（2019浙江高三高考真题）在同一直角坐标系中，函数且的图象可能是（ ）ABCD【答案】D【解析】当时
6、，函数过定点且单调递减，则函数过定点且单调递增，函数过定点且单调递减，D选项符合；当时，函数过定点且单调递增，则函数过定点且单调递减，函数过定点且单调递增，各选项均不符合.综上，选D.【典例4】（2020上海高一课时练习）函数与函数在同一坐标系的图像只可能是（ ）ABCD【答案】C【解析】当时，对数函数为增函数，当时函数的值为负.无满足条件的图像.当时，对数函数为减函数，当时函数的值为正.C满足.故选：C【典例5】已知图中曲线C1，C2，C3，C4分别是函数yloga1x，yloga2x，yloga3x，yloga4x的图象，则a1，a2，a3，a4的大小关系是 ()Aa4a3a2a1Ba3a
7、4a1a2Ca2a1a3a4Da3a4a2a1【答案】B 【解析】思路分析由图象来判断参数的大小情况，需要抓住图象的本质特征和关键点根据图中的四条曲线底数不同及图象的位置关系，利用logaa1，结合图象判断解析在图中作一条直线y1.由得loga3x1，所以xa3.所以直线y1与曲线C3：yloga3x的交点坐标为(a3,1)同理可得直线y1与曲线C4，C1，C2的交点坐标分别为(a4,1)，(a1,1)，(a2,1)由图象可知a3a4a11还是0a0，a0且a1)规律：“同正异负”(1)当0x1,0a1，a1时，logax0，即当真数x和底数a同大于(或小于)1时，对数logax0，即对数值为
8、正数，简称为“同正”；(2)当0x1或x1,0a1时，logax0，即当真数x和底数a中一个大于1，而另一个小于1时，也就是说真数x和底数a的取值范围“相异”时，对数logax0，即对数值为负数，简称为“异负”因此对数的符号简称为“同正异负”5指数型、对数型函数的图象与性质的讨论，常常要转化为相应指数函数，对数函数的图象与性质的问题【变式探究】1（2019四川省眉山第一中学高三月考（文）函数与 在同一直角坐标系中的图象可能是（）A B C D【答案】D【解析】对于A、B两图， ，而ax2+bx=0的两根为0和 ，且两根之和为，由图知01得-10，矛盾，对于C、D两图，01，在C图中两根之和-1
9、，即1矛盾，C错，D正确故选：D2（2018届四川省南充市三诊）在同一坐标系中，函数与的图象都正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】因为，.所以函数单调递减，排除B，D.与的图象关于轴对称.排除A.故选A.3（2019江西高三高考模拟（文）已知函数，若，则实数的取值范围是（ ）ABCD【答案】A【解析】由函数的解析式可得函数为奇函数，绘制函数图像如图所示，则不等式即，即，观察函数图像可得实数的取值范围是.故选：A.【总结提升】应用对数型函数的图象可求解的问题(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合
10、思想(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解高频考点三 ：对数函数的性质及应用【典例6】（2020全国高考真题（理）若，则（ ）ABCD【答案】B【解析】设，则为增函数，因为所以，所以，所以.，当时，此时，有当时，此时，有，所以C、D错误.故选：B.【典例7】（2018全国高考真题（理）设，则（ ）ABCD【答案】B【解析】求出，得到的范围，进而可得结果.详解：.,即又即故选B.【典例8】（2019北京高考模拟（理）若函数 则函数的值域是（ ）ABCD【答案】A【解析】画出函数的图像如下图所示，由图可知，函数的值域为，故选A.【典例9】满足，且在单调递减，
11、若，则，的大小关系为（ ）ABCD【答案】C【解析】为偶函数.，.在单调递减，即.故选：.【典例10】【2018届河南省南阳市第一中学第十四次考】函数，则使得成立的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由题意知函数的定义域为，当时，在上单调递减，是偶函数，在上单调递增，两边平方后化简得且，解得或，故使不等式成立的取值范围是故选B【典例11】（2020上海高三专题练习）函数的定义域为 【答案】【解析】由题意可知，解得【典例12】（2020河北新乐市第一中学高二月考）函数的单调递增区间是_【答案】或【解析】由题意，令，由，解得，即函数的定义域为又根据二次函数的图象与性质可知，函
12、数在区间上单调递增，在区间上单调递减，又由函数为单调递减函数，根据复合函数同增异减可得，函数的单调递增区间为.故答案为：或【易错提醒】解答对数函数型问题，易忽视函数的定义域而导致错误.【变式探究】1.【2017天津，理6】已知奇函数在R上是增函数，.若，则a，b，c的大小关系为（A）（B）（C）（D）【答案】 【解析】因为是奇函数且在上是增函数，所以在时，从而是上的偶函数，且在上是增函数，又，则，所以即，所以，故选C2.（2019山东高考模拟（文）已知，若正实数满足，则的取值范围为（ ）AB或C或D【答案】C【解析】因为与都是上的增函数，所以是上的增函数，又因为所以等价于，由，知,当时，在上单
13、调递减，故，从而；当时，在上单调递增，故，从而，综上所述， 的取值范围是或，故选C.3.（2019山东高考模拟（文）已知定义在R上的函数在区间上单调递增，且的图象关于对称，若实数a满足，则a的取值范围是（ ）ABCD【答案】C【解析】根据题意，的图象关于对称，则函数的图象关于轴对称，即函数为偶函数，又由函数在区间上单调递增，则，即，解得：，即a的取值范围为；故选：C4.(2019宜春中学、新余四中联考)已知函数f(x)若f(x)的值域为R，则实数a的取值范围是()A(1,2 B(，2C(0,2 D2，)【答案】B【解析】当x1时，f(x)1log2x1，当x1时，f(x)(a1)x42a必须是增函数，且最大值大于或等于1，才能满足f(x)的值域为R，可得解得a(1,2【总结提升】1.解对数不等式的类型及方法（1）形如logaxlogab的不等式，借助ylogax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a1与0a1两种情况讨论（2）形如logaxb的不等式，需先将b化为以a为底的对数式的形式2.应用对数函数的图象和性质，解答与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性等问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的使用
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