1、-1-3.4 基本不等式:+2-2-第1课时 基本不等式-3-第1课时 基本不等式 ZHISHI SHULI知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO重难聚焦 DIANLI TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 1.理解并掌握基本不等式及其推导过程,明确基本不等式成立的条件.2.能利用基本不等式求代数式的最值.-4-第1课时 基本不等式 ZHISHI SHULI知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO重难聚焦 DIANLI TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 1 2 1.重要不等式 一般地,对于任意实数a,b,我们有a2+b22ab,当且仅当a=b时,等号成
2、立.归纳总结 1.公式中a,b的取值是任意的,a和b代表的是实数,它们既可以是具体的数字,也可以是比较复杂的代数式,因此其应用范围比较广泛.今后有不少不等式的证明就是根据条件进行转化,使之可以利用该公式来证明.2.公式中a2+b22ab常变形为a2+b2+2ab4ab或2(a2+b2)(a+b)2等形式,要注意灵活掌握.ab2+22或-5-第1课时 基本不等式 ZHISHI SHULI知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO重难聚焦 DIANLI TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 1 2【做一做1】已知x2+y2=4,则xy的最大值是().答案:C A.12 B.1 C.
3、2 D.4-6-第1课时 基本不等式 ZHISHI SHULI知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO重难聚焦 DIANLI TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 1 2 2.基本不等式(1)有关概念:当 a,b 均为正数时,把+2 叫做正数a,b 的算术平均数,把 叫做正数a,b 的几何平均数.(2)不等式:当 a,b 是任意正实数时,a,b 的几何平均数不大于它们的算术平均数,即 +2,当且仅当a=b 时,等号成立.(3)几何意义:弦长的一半不大于半径.如图所示,AC=a,CB=b,则OD=+2,DC=12,则DCOD.(4)变形:ab+2 2,a+b2(其中a0,b0,
4、当且仅当 a=b 时等号成立).-7-第1课时 基本不等式 ZHISHI SHULI知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO重难聚焦 DIANLI TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 1 2 名师点拨 从数列的角度看,a,b的算术平均数是a,b的等差中项,几何平均数是a,b的正的等比中项,则基本不等式可表示为:a与b的正的等比中项不大于它们的等差中项.【做一做2】已知ab=16,a0,b0,则a+b的最小值为 .答案:8-8-第1课时 基本不等式 ZHISHI SHULI知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO重难聚焦 DIANLI TOUXI典例透析 MUBIAODAOH
5、ANG目标导航 1 2 1.应用基本不等式 +2 求最值的条件剖析:应用基本不等式 +2求最值的条件是“一正二定三相等”,具体如下:一正:a,b 都是正实数,即所求最值的代数式中的各项必须都是正数,否则就会得出错误的答案.例如,当 x0 时,函数 f(x)=x+1 2 1=2,所以函数f(x)的最小值是 2.由于 f(-2)=-2+1-2=52 2,那么显然这是一个错误的答案.其原因是当 x0时,1 0,不符合基本不等式中a,b 均为正数这个条件.因此,利用基本不等式求最值时,首先确定所求最值的代数式中的各项是否都是正数.其实,当 x0,则 f(-x)=(-x)+1-2(-)1-=2,此时有f
6、(x)-2.由此看来,所求最值的代数式中的各项都是负数时,经过变形,先转化为各项都是正数的代数式,再求最值.-9-第1课时 基本不等式 ZHISHI SHULI知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO重难聚焦 DIANLI TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 1 2 二定:ab 与 a+b 有一个是定值.即当 ab 是定值时,可以求 a+b 的最值;当 a+b 是定值时,可以求 ab 的最值.如果 ab 和 a+b 都不是定值,那么就会得出错误的答案.例如,当 x1 时,函数 f(x)=x+1-1 2-1,所以函数f(x)的最小值是 2-1.由于 2-1 是一个与x 有关的
7、代数式,显然这是一个错误的答案.其原因是忽视了基本不等式中 ab 与a+b 有一个是定值.其实,当 x1 时,有 x-10,则函数 f(x)=x+1-1=(-1)+1-1+1 2(-1)1-1+1=3.由此看来,当 ab 与 a+b 没有一个是定值时,通常要把所求最值的代数式采用配凑的方法化为和或积为定值的形式.-10-第1课时 基本不等式 ZHISHI SHULI知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO重难聚焦 DIANLI TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 1 2 三相等:等号能够成立,即存在正数 a,b 使基本不等式两边相等.如果忽视这一点,就会得出错误的答案.例如
8、,当 x2 时,函数f(x)=x+1 2 1=2,所以函数f(x)的最小值是 2.很明显 x+1中的各项都是正数,积也是定值,但是等号成立的条件是当且仅当x=1,即x=1,而函数的定义域是2,+),所以这是一个错误的答案.其原因是基本不等式中的等号不成立.其实,根据解题经验,遇到这种情况时,一般就不再用基本不等式求最值了,此时该函数的单调性是确定的,可以利用函数的单调性求得最值.利用函数单调性的定义可以证明,当 x2 时,函数 f(x)=x+1 是增函数,所以函数 f(x)的最小值是f(2)=2+12=52.-11-第1课时 基本不等式 ZHISHI SHULI知识梳理 ZHONGNAN JV
9、JIAO重难聚焦 DIANLI TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 1 2 2.与基本不等式有关的常用结论剖析:(1)已知 x,yR,若 x2+y2=S(平方和为定值),则 xy2,当且仅当x=y 时,积 xy取得最大值 2;若 xy=P(积为定值),则 x2+y22P,当且仅当 x=y 时,平方和x2+y2 取得最小值 2P.(2)已知 x0,y0,若 x+y=S(和为定值),则 xy24,当且仅当x=y 时,积 xy 取得最大值 24;若 xy=P(积为定值),则 x+y2 ,当且仅当x=y 时,和 x+y 取得最小值 2 .-12-第1课时 基本不等式 ZHISHI
10、SHULI知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO重难聚焦 DIANLI TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 题型一 题型二 题型三 题型一 比较大小【例 1】当 a,b 为两个不相等的正实数时,下列各式中最小的是().A.+2 B.C.2+22 D.2+-13-第1课时 基本不等式 ZHISHI SHULI知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO重难聚焦 DIANLI TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 题型一 题型二 题型三 解析:a0,b0,ab,+2 .a2+b22ab,2+22 .选项 A,B,C中,最小.又 a+b2 0,2+0,两边同乘,得
11、2 +,2+0,b0.(2)若问题中一端出现“和式”而另一端出现“积式”,这便是应用基本不等式的“题眼”,不妨运用基本不等式求解.-15-第1课时 基本不等式 ZHISHI SHULI知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO重难聚焦 DIANLI TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 题型一 题型二 题型三【变式训练 1】如果 0abQMB.QPMC.QMPD.MQP-16-第1课时 基本不等式 ZHISHI SHULI知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO重难聚焦 DIANLI TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 题型一 题型二 题型三 解析:因为 P
12、=log12+2,Q=12(log12+log12)=log12,M=12 log12(a+b)=log12 +,所以只需比较+2,+的大小即可.显然+2 .又因为+2 +2 .而y=log12在(0,+)上为减函数,故 QPM.答案:B -17-第1课时 基本不等式 ZHISHI SHULI知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO重难聚焦 DIANLI TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 题型一 题型二 题型三 题型二 利用基本不等式求最值【例 2】已知 a3,求 4-3+的最小值.分析:直接使用基本不等式无法约掉参数 a,而 4-3+=4-3+(a-3)+3.这样变形后
13、,再用基本不等式可得答案.解:a3,a-30.由基本不等式,得 4-3+=4-3+3+32 4-3(-3)+3=2 4+3=7.当且仅当 4-3=3,即a=5 时,等号成立.4-3+的最小值是7.-18-第1课时 基本不等式 ZHISHI SHULI知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO重难聚焦 DIANLI TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 题型一 题型二 题型三 反思求形如 f(x)=+的最值时,若满足 x+b0,则可考虑将 f(x)变形为 f(x)=+(d-b),借助于基本不等式求最值.在利用基本不等式求函数或代数式的最值时,有时不一定恰好能用上基本不等式,因此还
14、必须对所给的函数或代数式进行变形整理,通过凑项的方法(一般是凑和或积为定值)构造出基本不等式的形式再进行求解.-19-第1课时 基本不等式 ZHISHI SHULI知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO重难聚焦 DIANLI TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 题型一 题型二 题型三【变式训练 2】(1)已知 x0,求 f(x)=12+3x 的最小值;(2)设 0 x0,y0,lg x+lg y=1,求 2+5 的最小值.解:(1)x0,f(x)=12+3x2 12 3=12,当且仅当 3x=12,即x=2 时,等号成立.f(x)的最小值为 12.-20-第1课时 基本不
15、等式 ZHISHI SHULI知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO重难聚焦 DIANLI TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 题型一 题型二 题型三(2)0 x0.y=4x(3-2x)=22x(3-2x)2 2+(3-2)2 2=92.当且仅当 2x=3-2x,即 x=34 时,等号成立.函数 y=4x(3-2x)的最大值为 92.(3)lg x+lg y=1,xy=10,2+5 2 10=2,当且仅当 2=5,即x=2,y=5 时,等号成立.2+5 的最小值为2.-21-第1课时 基本不等式 ZHISHI SHULI知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO重难聚焦 D
16、IANLI TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 题型一 题型二 题型三【例 3】已知 x,y 均为正数,且 1+9=1,求x+y 的最小值.分析:由于已知条件右边是一定值1,且左边各项均为正数,所以可以用整体换元、代入消元、“1”的代换等方法求解.解:x,y 均为正数,且 1+9=1,显然x1,y=9-1.x+y=x+9-1 =2+8-1=(-1)2+10(-1)+9-1=(x-1)+9-1+1023+10=16.当且仅当 x=4 时,等号成立,即(x+y)min=16.-22-第1课时 基本不等式 ZHISHI SHULI知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO重难聚焦
17、DIANLI TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 题型一 题型二 题型三 反思1.本题易错解为:由1+9=1,得1+9 2 1 9=6,xy36.x+y2 =12.这显然是错误的,因为两个不等式中,不能同时取得“等号”,即不存在满足题设条件的 x,y,使(x+y)min=12.2.已知“和式”求“和式”的最值时,常利用整体代入的思想,使用基本不等式求出最值.-23-第1课时 基本不等式 ZHISHI SHULI知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO重难聚焦 DIANLI TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 题型一 题型二 题型三【变式训练3】设x0,y
18、0,且2x+8y=xy,求x+y的最小值.解:x0,y0,且 2x+8y=xy,8+2=1.x+y=(x+y)8+2=10+8+2 10+2 8 2=18,当且仅当 8=2,即x=2y=12 时,等号成立.x+y 的最小值是 18.-24-第1课时 基本不等式 ZHISHI SHULI知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO重难聚焦 DIANLI TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 题型一 题型二 题型三 题型三 易错辨析 易错点:忽略基本不等式成立的条件致错【例 4】求函数 y=x+1 的值域.错解:x+1 2 1=2,函数值域为2,+).错因分析:上述解题过程中应用了基
19、本不等式,却忽略了应用基本不等式的条件两个数应大于零,因而导致错误.因为函数y=x+1 的定义域为(-,0)(0,+),所以需对 x 的符号加以讨论.-25-第1课时 基本不等式 ZHISHI SHULI知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO重难聚焦 DIANLI TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 题型一 题型二 题型三 正解:函数定义域是(-,0)(0,+).当 x0 时,由基本不等式,得 y=x+12,当且仅当 x=1 时,等号成立;当 x0,(-x)+1(-)2,当且仅当 x=-1 时,等号成立,y=x+1-2.综上可知,函数 y=x+1 的值域为(-,-22,+).