1、焦作市普通高中2019-2020学年（下）高二年级学业质量测试数学（理科）考生注意：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回，一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（ ）A.B.C.D.2.已知复数满足，则的实部与虚部的和是（ ）A.2B.0
2、C.D.3.已知向量，若，则与的夹角的余弦值是（ ）A.B.C.D.4.2020年4月8日武汉解除封城，某社区为预防新冠肺炎疫情反弹，决定从本社区的5男3女骨干干部中，选派2男1女组成一个督查巡视小组，对本社区的后续工作每天进行巡视督导，则不同的选法共有（ ）A.12种B.20种C.30种D.36种5.函数的部分图像大致为（ ）A.B.C.D.6.已知角，则（ ）A.B.或C.D.或7.新中国成立70周年以来，党中央、国务院高度重视改善人民生活，始终把脱贫致富和提高人民生活水平作为一切工作的出发点和落脚点新疆某地区为了带动当地经济发展，大力发展旅游业，如图是20152019年到该地区旅游的游客
3、数量（单位：万人次）的变化情况，则下列结论错误的是（ ）A.20152019年到该地区旅游的人数与年份成正相关B.2019年到该地区旅游的人数是2015年的12倍C.20162019年到该地区旅游的人数平均值超过了220万人次D.从2016年开始，与上一年相比，2019年到该地区旅游的人数增加得最多8.若直线与不等式组，表示的平面区域有公共点，则实数的取值范围是（ ）A.B.C.D.9.若函数在上仅有两个零点，则的取值范围是（ ）A.B.C.D.10.在三棱锥中，平面，是的中点，则与平面所成的角为（ ）A.30B.45C.60D.7511.已知抛物线的焦点为，为该抛物线上一点，若以为圆心的圆与
4、的准线相切于点，过且与轴垂直的直线与交于，两点，为的准线上的一点，则的面积为（ ）A.1B.2C.3D.812.若函数，有且仅有3个不同的零点，则实数的最大值为（ ）A.B.C.D.0二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知函数，为的导函数，则_.14.已知双曲线的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，点是双曲线上不同于，的任意一点，若与的面积之比为，则双曲线的离心率为_.15.若命题“对任意实数，且，不等式恒成立”为假命题，则的取值范围为_.16.已知三棱锥的侧棱两两互相垂直，且该三棱锥的外接球的体积为，则该三棱锥的侧面积的最大值为_.三、解答题：共70分，解答应写出文字说明
5、，证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.（10分）已知数列的前项和为，且.（）求的通项公式；（）若，求的前项和.18.（12分）设的内角，的对边分别为，.（）求角的大小；（）若，求面积的最大值.19.（12分）如图，在四棱锥中，且，平面，点是的中点.（）证明：平面；（）求二面角的余弦值.20.（12分）已知椭圆，点，分别为椭圆的左焦点、右顶点和下顶点，的面积为，且椭圆的离心率为.（）求椭圆的标准方程；（）若点为椭圆上一点，直线与椭圆交于不同的两点，且（点为坐标原点），求的值.21.（12分）为了
6、促进我国人口均衡发展，从2016年1月1日起，全国统一实施全面放开二孩政策，这也是为了重建大国人口观，重新认识人口价值、人口规律、人口问题，某研究机构为了了解人们对全面放开生育二孩政策的态度，随机调查了200人，得到的统计数据如下面的不完整的22列联表所示（单位：人）：支持生育二孩不支持生育二孩合计男性30女性60100合计70（）完成22列联表，并求是否有90%的把握认为是否“支持生育二孩”与性别有关？（）该研究机构从样本中筛选出4名男性和3名女性共7人作为代表，这7个代表中有2名男性和2名女性支持生育二孩现从这7名代表中任选3名男性和2名女性参加座谈会，记为参加会议的持生育二孩的人数，求的
7、分布列及数学期望.参考公式：，其中.参考数据：0.150.100.050.0250.0102.0722.7063.8415.0246.63522.（12分）已知函数.（）讨论的单调性；（）若，不等式恒成立，求的取值范围.焦作市普通高中20192020学年（下）高二年级学业质量测试数学（理科）答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.1.【答案】D【命题意图】本题考查集合的补集和交集问题.【解析】，.2.【答案】A【命题意图】本题考查复数的运算与复数的实部和虚部的概念.【解析】由题意可得，则，故的实部与虚部的和为2.3.【答案】C【命题意图】本题考查向量的基本运算以及向量的夹角.【解
8、析】设与的夹角为.，.4.【答案】C【命题意图】本题考查排列、组合及分步乘法计数原理.【解析】从5名男干部中选出2名男干部，有种选法，从3名女干部中选出1名女干部，有种选法，则共有103=30种不同的选法.5.【答案】A【命题意图】本题考查函数的图像及奇偶性.【解析】为偶函数，故排除C；，可排除B，D，故选A.6.【答案】A【命题意图】本题考查三角恒等变换、二倍角公式的应用、正切函数的性质.【解析】将左右两边平方可得.由，解得或.，.7.【答案】C【命题意图】本题考查条形统计图及平均数的计算等.【解析】对于A，观察统计图可知，选项A正确；对于B，2019年到该地区旅游的人数是2015年的363
9、0=12倍，所以选项B正确；对于C，2016-2019年到该地区旅游的人数平均值为万人次，所以选项C错误；对于D，由图可知，与上一年相比，2019年到该地区旅游的人数增加得最多，所以选项D正确.故选C.8.【答案】B【命题意图】本题考查线性规划问题.【解析】不等式组表示的平面区域如图所示，由，解得，直线过定点，又直线经过不等式组表示的平面区域，由图可知最小为0，最大为.9.【答案】C【命题意图】本题考查三角函数的单调性、函数零点的应用.【解析】因为，所以，又在上仅有两个零点，所以且，解得，所以的取值范围是.10.【答案】B【命题意图】本题考查空间几何体中的线面角问题.【解析】如图，连接.设，由
10、题易知，与平面所成的角的正切值为，.11.【答案】C【命题意图】本题考查抛物线的方程及性质.【解析】过点作轴于，由题可知，.，解得，抛物线方程为.由抛物线的方程可得焦点，准线方程为，根据题意可得直线的方程为，所以.12.【答案】B【命题意图】本题考查函数零点和导数问题、函数图像交点问题.【解析】当时，令，得；当时，令，得.设，在同一坐标系中作出与的图像，如图所示，“函数有且仅有3个不同的零点”等价于“函数的图像与的图像有且仅有3个不同的公共点”.当直线与相切时，两图像恰有两个公共点，设切点为，由，解得，.故当直线经过点时，最大，此时.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.【答案
11、】1【命题意图】本题主要考查三角函数求导及三角函数求值.【解析】由已知可得，.14.【答案】【命题意图】本题考查双曲线的性质.【解析】设双曲线的半焦距为.与的面积之比为，即，即，即，所以双曲线的离心率.15.【答案】【命题意图】本题考查命题真假以及基本不等式.【解析】若对于任意实数，且恒成立，因为，当且仅当时取等号，故，所以所求的的取值范围为.16.【答案】18【命题意图】本题考查几何体的外接球以及基本不等式的应用等.【解析】以该三棱锥的三条侧棱为长、宽、高，将该三棱锥补成一个长方体，长方体的体对角线就是外接球的直径.令，根据三棱锥外接球的体积为，可得球的半径，则，故该三棱锥的侧面积的最大值为
12、18.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.【命题意图】本题考查等比数列的通项公式以及裂项相消法求解前项和.【解析】（）由，可得，当时，两式相减可得，（3分）即，可得是公比为2的等比数列，又，.（5分）（）由（）知，.（6分）.（8分）（10分）18.【命题意图】本题考查三角恒等变换、余弦定理等.【解析】（），（2分），（4分）.（5分）又为的内角，.（6分）（），由余弦定理可得，（8分）变形可得（等号当且仅当时取到），.（10分）.的面积的最大值为.（12分）19.【命题意图】本题考查线面垂直的判定、二面角的余弦值的求法.【解析】（），点是的中点，.（1分）平面
13、，平面，.（3分）.平面.（4分）（）如图，连接.由题易知可以为坐标原点，分别以，所在直线为，轴建立空间直角坐标系，则，.，.（6分）设平面的一个法向量为，由，取，得.（8分）设平面的一个法向量为，由，取，得.（10分），（11分）由图可知二面角为钝角，二面角的余弦值为.（12分）20.【命题意图】本题考查椭圆方程的求解以及直线和椭圆的位置关系.【解析】（）设椭圆的半焦距为，由题意可知，解得（3分）椭圆的标准方程为.（5分）（）设，.联立方程得，消去得，（7分）（*），.（9分），点的坐标为，代入椭圆的方程得，化简得，（11分）解得，满足（*）式，的值为.（12分）21.【命题意图】本题考查独
14、立性检验、离散型随机变量的分布列和数学期望.【解析】（）补充完整的22列联表如下：支持生育二孩不支持生育二孩合计男性7030100女性6040100合计13070200（2分），（4分）所以没有90%的把握认为是否“支持生育二孩”与性别有关.（6分）（）设参加座谈会的男性中支持生育二孩的人数为，女性中支持生育二孩的人数为，则，且的可能取值为2，3，4.（7分），（8分），（9分），（10分）所以的分布列为234（11分）则.（12分）22.【命题意图】本题考查利用导数研究函数的单调性及不等式恒成立求解参数范围问题.【解析】（）由题可知的定义域为，.（1分）若，则恒成立，在上单调递增；（2分）若，令，得（负值舍去），当时，单调递增，当时，单调递减.（4分）综上所述，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.（5分）（）根据题意可得：当时，不等式恒成立.令，求导可得.（6分）令，则.（7分）（i）当时，恒成立，在上单调递增，即，故在上单调递增，不合题意；（8分）（ii）当时，易知在上单调递增，此时在上单调递增，所以，不合题意；（9分）（iii）当时，在上单调递减，所以，故，所以在上单调递减，所以，所以恒成立.（11分）综上可知，的取值范围为.（12分）