1、-1-第2课时 对数的运算-2-第2课时 对数的运算 ZHONGNAN JVJIAO重难聚焦 DIANLI TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 1.掌握对数的运算性质,并能运用运算性质化简、求值.2.了解对数的换底公式及其应用.3.初步掌握对数在生活中的应用.-3-第2课时 对数的运算 ZHONGNAN JVJIAO重难聚焦 DIANLI TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 对数的运算性质 剖析:(1)对数的运算性质是我们进行化简、求值及证明的依据,要灵活掌握,达到正用、逆用及变形用.(2)使用对数运算性质的前提条件是M0,N0,a0,且a1,没有上述条
2、件,公式就不一定成立.如log2(-2)(-7)是存在的,但log2(-2)与log2(-7)不存在,故log2(-2)(-7)log2(-2)+log2(-7).(3)对数的运算性质与指数的运算性质的关系如下表(表中M0,N0,a0,且a1).-4-第2课时 对数的运算 ZHONGNAN JVJIAO重难聚焦 DIANLI TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 式子ab=NlogaN=b名称a幂的底数b幂的指数N幂a对数的底数b以 a 为底 N 的对数N真数运算性质aman=am+naman=(am)n=amnloga(MN)=logaM+logaNlogMN=logaM-
3、logaNlogaMn=nlogaM-5-第2课时 对数的运算 ZHONGNAN JVJIAO重难聚焦 DIANLI TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一化简、求值【例 1】计算下列各式的值:(1)log2 748+log212 12log242;(2)lg 52+23 lg 8+lg 5lg 20+(lg 2)2.分析:利用对数的运算性质进行计算.-6-第2课时 对数的运算 ZHONGNAN JVJIAO重难聚焦 DIANLI TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 题型一 题型二 题型三 题型四 解:(1)方法一:原
4、式=log2 712 48 42=log2 1 2=12.方法二:原式=12 log2 748+log2(223)12 log2(237)=12 log27 12 log2(243)+2+log23 12 12 log23 12log27=12 4 12 log23+32+12 log23=-2+32=12.(2)原式=2lg 5+2lg 2+lg 5(1+lg 2)+(lg 2)2=2(lg 5+lg 2)+lg 5+lg 2(lg 5+lg 2)=2+lg 5+lg 2=2+1=3.-7-第2课时 对数的运算 ZHONGNAN JVJIAO重难聚焦 DIANLI TOUXI典例透析 MUB
5、IAODAOHANG目标导航 题型一 题型二 题型三 题型四 反思对于同底的对数的化简,常用方法是:(1)“收”:将同底的两个对数的和(差)收成积(商)的对数;(2)“拆”:将积(商)的对数拆成对数的和(差);(3)“收”和“拆”相结合,如本题(2).-8-第2课时 对数的运算 ZHONGNAN JVJIAO重难聚焦 DIANLI TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 题型一 题型二 题型三 题型四【变式训练 1】计算下列各式的值:(1)12 lg 3249 43 lg 8+lg 245;(2)2log32-log3 329+log38 5log53.-9-第2课时 对数的运
6、算 ZHONGNAN JVJIAO重难聚焦 DIANLI TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 题型一 题型二 题型三 题型四 解:(1)(方法一)原式=12(5lg 2-2lg 7)43 32 lg 2+12(2lg 7+lg5)=52 lg 2-lg 7-2lg 2+lg 7+12 lg 5=12 lg 2+12 lg 5=12(lg 2+lg 5)=12 lg 10=12.(方法二)原式=lg 4 27 lg 4+lg 7 5=lg 4 27 574=lg(2 5)=lg 10=12.(2)原式=2log32-(log332-log39)+3log32-3=5log32
7、-(5log32-2log33)-3=-1.-10-第2课时 对数的运算 ZHONGNAN JVJIAO重难聚焦 DIANLI TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 题型一 题型二 题型三 题型四 题型二换底公式的应用【例2】已知log189=a,18b=5,求log3645.(用a,b表示)分析:先利用指数式和对数式的互化公式,将18b=5化成log185=b,再利用换底公式将log3645化成以18为底的对数,最后进行对数运算.-11-第2课时 对数的运算 ZHONGNAN JVJIAO重难聚焦 DIANLI TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 题型一
8、 题型二 题型三 题型四 解:18b=5,b=log185.log3645=log1845log1836=log18(59)log18(218)=log185+log189log182+log1818=+1+log182=+1+log18 189=+2-log189=+2-.反思1.利用换底公式可以把不同底的对数化成同底的对数,要注意换底公式的正用、逆用以及变形应用.2.题目中有指数式和对数式时,要注意将指数式与对数式统一成一种形式.-12-第2课时 对数的运算 ZHONGNAN JVJIAO重难聚焦 DIANLI TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 题型一 题型二 题型三
9、 题型四【变式训练 2】计算下列各式的值:(1)log89log2732;(2)(log43+log83)log32.解:(1)原式=lg9lg8 lg32lg27=2lg33lg2 5lg23lg3=109.(2)原式=lg3lg4+lg3lg8 lg2lg3=lg32lg2+lg33lg2 lg2lg3=12+13=56.-13-第2课时 对数的运算 ZHONGNAN JVJIAO重难聚焦 DIANLI TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 题型一 题型二 题型三 题型四 题型三对数的实际应用【例3】一种放射性物质不断变化为其他物质,每经过一年剩余的质量约是原来的84%,
10、估计经过多少年,该物质的剩余量是原来的一半?(结果保留整数)分析:归纳出剩余量关于时间的关系式,利用计算器求解.-14-第2课时 对数的运算 ZHONGNAN JVJIAO重难聚焦 DIANLI TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 题型一 题型二 题型三 题型四 解:设最初的质量是1,经过x年,剩余量是y,则 经过1年,剩余量是y=0.84;经过2年,剩余量是y=0.842;经过x年,剩余量是y=0.84x.依题意,得0.84x=0.5,解得x=log0.840.5.故约经过4年,该物质的剩余量是原来的一半.用计算器求得 log0.840.5=lg0.5lg0.844.-1
11、5-第2课时 对数的运算 ZHONGNAN JVJIAO重难聚焦 DIANLI TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 题型一 题型二 题型三 题型四 反思解有关对数应用问题的步骤:(1)审清题意,弄清各数据的含义;(2)恰当地设未知数,建立数学模型,即已知ax=N(a,N是常数,且a0,a1),求x;(3)利用换底公式借助计算器来解数学模型;(4)还原为实际问题,归纳结论,注意有时要检验结论是否符合实际意义.-16-第2课时 对数的运算 ZHONGNAN JVJIAO重难聚焦 DIANLI TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 题型一 题型二 题型三 题型四
12、【变式训练3】抽气机每次抽出容器内空气的60%,要使容器内的空气少于原来的0.1%,则至少要抽几次?(lg 20.301 0)解:设至少抽n次可使容器内空气少于原来的0.1%,原来容器中的空气体积为a,则a(1-60%)n0.1%a,即0.4n0.001,两边取常用对数得nlg 0.4 lg0.001lg0.4=-32lg2-17.5.-17-第2课时 对数的运算 ZHONGNAN JVJIAO重难聚焦 DIANLI TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 题型一 题型二 题型三 题型四 题型四易混易错题易错点 忽略真数大于 0 致错【例 4】已知 lg x+lg y=2lg(
13、x-2y),求 的值.错解:因为 lg x+lg y=2lg(x-2y),所以 xy=(x-2y)2,即 x2-5xy+4y2=0.所以(x-y)(x-4y)=0,解得 x=y 或 x=4y,所以 =1 或 =4.错因分析:错解中,lg x+lg y=2lg(x-2y)与xy=(x-2y)2对x,y的取值范围的要求是不相同的,即求解过程不等价,因此,得出解后要代入原方程验证,这是求解过程中最易忽略的地方.-18-第2课时 对数的运算 ZHONGNAN JVJIAO重难聚焦 DIANLI TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 题型一 题型二 题型三 题型四 正解:同错解,得到 =1 或 =4.由题意知,x0,y0,所以当 =1 时,x-2y 0,0,(+1)=6,+1 0,0,