1、2015-2016学年江苏省泰州中学高二（上）第二次质检数学试卷（文科）一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上.1命题“xR，x2+x+10”的否定是2复数的共轭复数是3若复数（其中i为虚数单位）的实部与虚部相等，则实数a=4命题“若a=0，则ab=0”的逆命题是命题（在“真”或“假”中选一个填空）5用反证法证明命题：“如果a，bN，ab可被3整除，那么a，b中至少有一个能被3整除”时，假设的内容应为6曲线y=x2 在（1，1）处的切线方程是7如果p：x=2，q：x2=4，那么p是q的（在“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“
2、充要条件”、“既不充分也不必要”中选择一个填空）8设x，y，z都是正数，则三个数的值说法正确的是都小于2 至少有一个不大于2 至少有一个不小于2 都大于29已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，焦点在直线3x4y12=0上，则该抛物线的方程为10若双曲线E： =1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|=3，则|PF2|等于11已知点 P和Q的横坐标相同，P的纵坐标是Q的纵坐标的2倍，P和Q的轨迹分别为双曲线C1和C2若C1的渐近线方程为y=x，则C2的渐近线方程为12一个圆经过椭圆=1的三个顶点且圆心在x轴的正半轴上则该圆标准方程为13设函数f（x）=ex（2x1）ax+
3、a，其中a1，若存在唯一的整数x0，使得f（x0）0，则a的取值范围是14已知点A（1，1），B，C是抛物线y2=x上三点，若ABC=90，则AC的最小值为二、解答题：本大题共6小题，计90分解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内15已知p：|x+1|2，q：（x+1）（xm）0（1）若m=4，命题“p且q”为真，求实数x的取值范围；（2）若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围16已知复数z=+（a25a6）i（aR），实数a取什么值时，z是（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？17椭圆C1： =1（ab0）过点，离心率e=，A为椭圆C1上一点，B为
4、抛物线y2=x上一点，且A为线段OB的中点（1）求椭圆C1的方程；（2）求直线AB的方程18已知ABC的三边长为a、b、c，且其中任意两边长均不相等若，成等差数列（）比较与的大小，并证明你的结论（）求证：B不可能是钝角19已知椭圆： +=1（ab0）的离心率为，连接椭圆的四个顶点的菱形面积为4，斜率为k1的直线l1与椭圆交于不同的两点A、B，其中A点坐标为（a，0）（1）求椭圆的方程；（2）若线段AB的垂直平分线与y轴交于点M，当k1=0时，求的最大值；（3）设P为椭圆上任意一点，又设过点C（a，0），且斜率为k2的直线l2与直线l1相交于点N，若=4，求线段PN的最小值20已知函数f（x）=
5、2（x+a）lnx+x22ax2a2+a，其中a0（）设g（x）是f（x）的导函数，讨论g（x）的单调性；（）证明：存在a（0，1），使得f（x）0在区间（1，+）内恒成立，且f（x）=0在区间（1，+）内有唯一解2015-2016学年江苏省泰州中学高二（上）第二次质检数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上.1命题“xR，x2+x+10”的否定是xR，x2+x+10【考点】命题的否定【专题】简易逻辑【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命
6、题“xR，x2+x+10”的否定是：xR，x2+x+10；故答案为：xR，x2+x+10【点评】本题考查命题的否定特称命题与全称命题的关系，基本知识的考查2复数的共轭复数是2+i【考点】复数代数形式的乘除运算【专题】计算题；规律型；数系的扩充和复数【分析】利用复数的除法的运算法则化简复数，求出共轭复数即可【解答】解：复数=2i复数的共轭复数为2+i故答案为：2+i【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的基本概念的应用，是基础题3若复数（其中i为虚数单位）的实部与虚部相等，则实数a=1【考点】复数代数形式的乘除运算【专题】数系的扩充和复数【分析】利用复数的运算法则、实部与虚部的定义即可得
7、出【解答】解：复数=ai+1，Z的实部与虚部相等，a=1，解得a=1故答案为：1【点评】本题考查了复数的运算法则、实部与虚部的定义，属于基础题4命题“若a=0，则ab=0”的逆命题是假命题（在“真”或“假”中选一个填空）【考点】四种命题【专题】计算题；简易逻辑【分析】写出命题的逆命题，再判断其真假即可【解答】解：命题“若a=0，则ab=0”的逆命题是如果ab=0，那么a=0，是假命题故答案为：假【点评】本题主要考查了逆命题的定义以及真假命题的判定，要求学生对基础知识牢固掌握5用反证法证明命题：“如果a，bN，ab可被3整除，那么a，b中至少有一个能被3整除”时，假设的内容应为a，b都不能被3整
8、除【考点】反证法的应用【专题】证明题【分析】根据用反证法证明数学命题的方法和步骤，把要证的结论进行否定，得到要证的结论的反面再由命题：“a，b中至少有一个能被3整除”的否定是：a，b都不能被3整除，从而得到答案【解答】解：根据用反证法证明数学命题的方法和步骤，把要证的结论进行否定命题：“a，b中至少有一个能被3整除”的否定是：“a，b都不能被3整除”，故答案为 a，b都不能被3整除【点评】本题主要考查用反证法证明数学命题的方法和步骤，求一个命题的否定，属于中档题6曲线y=x2 在（1，1）处的切线方程是2xy1=0【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【专题】计算题【分析】求出导函数，令x=1
9、求出切线的斜率；利用点斜式写出直线的方程【解答】解：y=2x当x=1得f（1）=2所以切线方程为y1=2（x1）即2xy1=0故答案为2xy1=0【点评】本题考查导数的几何意义：在切点处的导数值是切线的斜率7如果p：x=2，q：x2=4，那么p是q的充分不必要条件（在“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要”中选择一个填空）【考点】复合命题的真假【专题】简易逻辑【分析】根据充分必要条件的定义，分别证明充分性，必要性，从而得到答案【解答】解：由p：x=2能推出q：x2=4，是充分条件，由q：x2=4推不出p：x=2，不是必要条件，故答案为：充分不必要条件【点评】本
10、题考查了充分必要条件，是一道基础题8设x，y，z都是正数，则三个数的值说法正确的是都小于2 至少有一个不大于2 至少有一个不小于2 都大于2【考点】不等式比较大小【专题】应用题；转化思想；定义法；不等式的解法及应用【分析】根据基本不等式得到x+y+z+2+2+2=6，问题得以解决【解答】解：因为x，y，z都是正数，所以x+y+z+2+2+2=6，当且仅当x=y=1时取等号，故至少有一个不小于2，故答案为：【点评】本题考查了基本不等式的应用，属于基础题9已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，焦点在直线3x4y12=0上，则该抛物线的方程为y2=16x【考点】抛物线的标准方程【专题】计算题；圆锥曲
11、线的定义、性质与方程【分析】求出直线3x4y12=0与x轴、y轴的交点分别为（4，0）、（0，3），可得抛物线开口向右，由此设出抛物线的标准方程并解出焦参数p的值，即可得到所求抛物线的方程【解答】解：直线3x4y12=0交x轴于点（4，0），交y轴于点（0，3），抛物线的焦点为（4，0）或（0，3），可得抛物线开口向右或开口向下当抛物线的开口向右时，设抛物线方程为y2=2px（p0），=4，解得p=8，2p=16，此时抛物线的方程为y2=16x；故答案为：y2=16x【点评】本题给出抛物线满足的条件，求抛物线的方程着重考查了双曲线的标准方程与基本概念、抛物线的标准方程及其简单几何性质等知识，属
12、于基础题10若双曲线E： =1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|=3，则|PF2|等于9【考点】双曲线的简单性质【专题】计算题；方程思想；定义法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】设|PF2|=x，由双曲线的定义及性质得|x3|=6，由此能求出|PF2|【解答】解：设|PF2|=x，双曲线E： =1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|=3，a=3，b=4c=5，|x3|=6，解得x=9或x=3（舍）|PF2|=9故答案为：9【点评】本题考查双曲线中线段长的求法，是基础题，解题时要注意双曲线定义及简单性质的合理运用11已知点 P和Q的横坐标相同，
13、P的纵坐标是Q的纵坐标的2倍，P和Q的轨迹分别为双曲线C1和C2若C1的渐近线方程为y=x，则C2的渐近线方程为【考点】双曲线的简单性质【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】设C1的方程为y23x2=，利用坐标间的关系，求出Q的轨迹方程，即可求出C2的渐近线方程【解答】解：设C1的方程为y23x2=，设Q（x，y），则P（x，2y），代入y23x2=，可得4y23x2=，C2的渐近线方程为4y23x2=0，即故答案为：【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础12一个圆经过椭圆=1的三个顶点且圆心在x轴的正半轴上则该圆标准方程为（x）2+y2=【考点】椭圆的标
14、准方程【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】利用椭圆的方程求出顶点坐标，然后求出圆心坐标，求出半径即可得到圆的方程【解答】解：一个圆经过椭圆=1的三个顶点且圆心在x轴的正半轴上可知椭圆的右顶点坐标（4，0），上下顶点坐标（0，2），设圆的圆心（a，0），则，解得a=，圆的半径为：，所求圆的方程为：（x）2+y2=故答案为：（x）2+y2=【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，圆的方程的求法，考查计算能力13设函数f（x）=ex（2x1）ax+a，其中a1，若存在唯一的整数x0，使得f（x0）0，则a的取值范围是，1）【考点】函数恒成立问题【专题】计算题；数形结合；数形结合法；函数的性质及应
15、用【分析】设g（x）=ex（2x1），y=axa，则存在唯一的整数x0，使得g（x0）在直线y=axa的下方，由此利用导数性质能求出a的取值范围【解答】解：函数f（x）=ex（2x1）ax+a，其中a1，设g（x）=ex（2x1），y=axa，存在唯一的整数x0，使得f（x0）0，存在唯一的整数x0，使得g（x0）在直线y=axa的下方，g（x）=ex（2x+1），当x时，g（x）0，当x=时，g（x）min=g（）=2e当x=0时，g（0）=1，g（1）=e0，直线y=axa恒过（1，0），斜率为a，故ag（0）=1，且g（1）=3e1aa，解得a的取值范围是，1）故答案为：，1）【点评】本
16、题考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用14已知点A（1，1），B，C是抛物线y2=x上三点，若ABC=90，则AC的最小值为2【考点】抛物线的简单性质【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】设出B，C的坐标，求出AB，BC的斜率，由斜率乘积等于1求得B，C两点纵坐标间的关系，由两点间的距离公式得到|AC|，转化为B的纵坐标的函数，借助于基本不等式求最值【解答】解：设B（），C（），则，由ABC=90，得kABkBC=1，即（y1+1）（y2+y1）=1，=，|AC|=不妨设y1+10，当且仅当，即y1=0时上式等号成立，此时取最小值1，AC的最小值为2
17、故答案为：2【点评】本题考查了抛物线的简单几何性质，考查了直线垂直的条件，训练了利用基本不等式求最值，考查了计算能力，是中档题二、解答题：本大题共6小题，计90分解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内15已知p：|x+1|2，q：（x+1）（xm）0（1）若m=4，命题“p且q”为真，求实数x的取值范围；（2）若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围【考点】复合命题的真假【专题】简易逻辑【分析】（1）分别求出关于p，q的不等式，从而得到答案；（2）通过讨论m的范围，结合集合之间的关系，从而得到答案【解答】解：（1）m=4时，p：3x1，q：1x4，若p
18、且q为真，则p为真，q为真，x的范围是：x|1x1；（2）p：x|3x1，若m1，则q：x|mx1，又p是q的必要不充分条件，即qb，3m1，若m1，则q：x|1xm，1m1，综上：m的范围是3，1【点评】本题考查了复合命题的真假，考查了集合之间的关系，是一道基础题16已知复数z=+（a25a6）i（aR），实数a取什么值时，z是（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？【考点】复数的基本概念【专题】数系的扩充和复数【分析】根据复数的有关概念建立条件关系即可【解答】解：（1）若复数是实数则，即，即a=6（2）若复数是虚数，则，即，即a1且a6（3）若复数是纯虚数，则，即，此时无解【点评】本题主要考
19、查复数的有关概念，根据实部和虚部的对应关系是解决本题的关键17椭圆C1： =1（ab0）过点，离心率e=，A为椭圆C1上一点，B为抛物线y2=x上一点，且A为线段OB的中点（1）求椭圆C1的方程；（2）求直线AB的方程【考点】椭圆的简单性质【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（1）据题意得：又a2=b2+c2，解出a，b即可得到椭圆方程；（2）设A点坐标为（x0，y0），则B点坐标为（2x0，2y0），分别代入椭圆和抛物线方程，解出A点坐标，即可得到AB方程【解答】解：（1）据题意得：又a2=b2+c2，解得，所以椭圆方程为（2）设A点坐标为（x0，y0），则B点坐标为（2x0，
20、2y0），分别代入椭圆和抛物线方程得，消去y0并整理得：，所以或当时，；当时，y0无解所以直线AB的方程为【点评】本题考查椭圆的方程和性质及运用，考查抛物线方程的运用，考查直线方程的求法，考查运算能力，属于基础题18已知ABC的三边长为a、b、c，且其中任意两边长均不相等若，成等差数列（）比较与的大小，并证明你的结论（）求证：B不可能是钝角【考点】反证法与放缩法；不等式比较大小【专题】综合题；推理和证明【分析】（）由条件可得=+2，可得（2）由条件得到b2ac，利用基本不等式变形，可得出cosB的范围，利用余弦函数的图象与性质，以及特殊角的三角函数值，根据B为三角形的内角，即可求出B的范围【解
21、答】（）解：ABC的三边长为a、b、c，且其中任意两边长均不相等，成等差数列，=+2b2ac，（）证明：b2ac，cosB=，B0，B不可能是钝角【点评】此题考查了余弦定理，等差、等比数列的性质，以及基本不等式的运用，熟练掌握定理及性质是解本题的关键，属于中档题19已知椭圆： +=1（ab0）的离心率为，连接椭圆的四个顶点的菱形面积为4，斜率为k1的直线l1与椭圆交于不同的两点A、B，其中A点坐标为（a，0）（1）求椭圆的方程；（2）若线段AB的垂直平分线与y轴交于点M，当k1=0时，求的最大值；（3）设P为椭圆上任意一点，又设过点C（a，0），且斜率为k2的直线l2与直线l1相交于点N，若=
22、4，求线段PN的最小值【考点】直线与圆锥曲线的综合问题【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（1）由椭圆的离心率结合菱形面积求得a，b的值，则椭圆方程可求；（2）设l1：y=k1（x+2），代入，利用根与系数关系得到AB的中点坐标，求出AB的垂直平分线方程，得到M的坐标，利用向量数量积公式得到数量积关于k1的关系，换元后利用基本不等式求得的最大值；（3）设l2：y=k2（x2），联立y=k1（x+2），得N的坐标，由=4，得4k1k2=k25k1，进一步得到=3说明点N在直线x+y=3上运动，求出和x+y=3平行且与相切的直线方程，由两点间的距离公式得答案【解答】解：（1）由e=，得3a2
23、=4c2，再由c2=a2b2，解得a=2b由题意可知2a2b=4，即ab=2解方程组，得a=2，b=1椭圆的方程为；（2）设l1：y=k1（x+2），代入得，解得：x=2或x=，则B（，），AB的中点为（），k10，则AB的垂直平分线方程为设M（0，y0），令x=0，得则=（2，y0）（xB，yBy0）=令，则故当t=，即时，取最大值；（3）设l2：y=k2（x2），联立y=k1（x+2），得N（），由=4，得4k1k2=k25k1，=3故点N在直线x+y=3上运动，设与x+y=3平行的直线为y=x+b，代入，得5x28bx+4b24=0，由=0，得b=则PN的最小值为y=x+与x+y=3的距
24、离，等于【点评】本题是直线与圆锥曲线的综合题，涉及直线与圆锥曲线关系问题，常用直线与曲线联立，根据方程的根与系数的关系求解，但圆锥曲线的特点是计算量比较大，要求考生具备较强的运算推理的能力，是压轴题20已知函数f（x）=2（x+a）lnx+x22ax2a2+a，其中a0（）设g（x）是f（x）的导函数，讨论g（x）的单调性；（）证明：存在a（0，1），使得f（x）0在区间（1，+）内恒成立，且f（x）=0在区间（1，+）内有唯一解【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值【专题】创新题型；导数的综合应用【分析】（）求出函数f（x）的定义域，把函数f（x）求导得到g（x）再对
25、g（x）求导，得到其导函数的零点，然后根据导函数在各区间段内的符号得到函数g（x）的单调期间；（）由f（x）的导函数等于0把a用含有x的代数式表示，然后构造函数（x）=x2，由函数零点存在定理得到x0（1，e），使得（x0）=0令，u（x）=x1lnx（x1），利用导数求得a0（0，1），然后进一步利用导数说明当a=a0时，若x（1，+），有f（x）0，即可得到存在a（0，1），使得f（x）0在区间（1，+）内恒成立，且f（x）=0在区间（1，+）内有唯一解【解答】解：（）由已知，函数f（x）的定义域为（0，+），g（x）=，当0a时，g（x）在上单调递增，在区间上单调递减；当a时，g（x）在
26、（0，+）上单调递增（）由=0，解得，令（x）=x2，则（1）=10，（e）=故存在x0（1，e），使得（x0）=0令，u（x）=x1lnx（x1），由知，函数u（x）在（1，+）上单调递增即a0（0，1），当a=a0时，有f（x0）=0，f（x0）=（x0）=0由（）知，f（x）在（1，+）上单调递增，故当x（1，x0）时，f（x）0，从而f（x）f（x0）=0；当x（x0，+）时，f（x）0，从而f（x）f（x0）=0当x（1，+）时，f（x）0综上所述，存在a（0，1），使得f（x）0在区间（1，+）内恒成立，且f（x）=0在区间（1，+）内有唯一解【点评】本题主要考查导数的运算、导数在研究函数中的应用、函数零点等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新知识，考查了函数与方程、数形结合、分类与整合、化归与转化等数学思想方法，是压轴题