1、河北正定中学2021届高三年级第一次半月考数学试题(考试时间:120分钟 分值:150分)一选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分，1-8为单选题，9-12为多选题)1.已知，是两条不同的直线，是两个不同的平面，给出下列命题：若，则； 若，则；若，则； 若，则其中所有正确命题的序号是ABCD2.在空间四边形的各边，上依次取点，若、所在直线相交于点，则A点必在直线上 B点必在直线上C点必在平面外 D点必在平面内3.若正四面体的每条棱长均为2，则二面角的余弦值为ABCD4.如图，四边形中，将四边形沿对角线折成四面体，使平面平面，则下列结论正确的是ABC与平面所成的角为D四面体的体积为5.在等
2、差数列中，前项和为，若，且，则在数列中A最大值是B最小值是C最大值是D最小值是6.直三棱柱中，为的中点异面直线与所成角的余弦值是ABCD7如图，二面角的大小是，线段，与所成的角为直线与平面所成的角的正弦值是A B C D8已知数列满足，则的最小值是A0BC1D9（多选题）已知数列的前项和为，数列的前项和为，则下列选项正确的为A数列是等差数列 B数列是等比数列C数列的通项公式为 D10（多选题）如图，正方体的棱长为，线段上有两个动点，且，以下结论正确的有AB点到平面的距离为定值C三棱锥的体积是正方体体积的D异面直线，所成的角为定值11（多选题）如图，在四棱锥中，底面，四边形是直角梯形，是的中点，
3、是上的一点，则下列正确的是A若，则平面B若，则四棱锥的体积是三棱锥体积的6倍C三棱锥中有且只有三个面是直角三角形 D平面平面12（多选题）如图，菱形ABCD中，AB2，DAB60，E是AB的中点，将ADE沿直线DE翻折至A1DE的位置后，连接A1C，A1B若F是A1C的中点，则在翻折过程中，下列说法错误的是（）A异面直线A1E与DC所成的角不断变大B二面角A1DCE的平面角恒为45C点F到平面A1EB的距离恒为D当A1在平面EBCD的投影为E点时，直线A1C与平面EBCD所成角最大二填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13已知数列满足，则 14.设等比数列的前项和为，若，则 15如图，
4、在长方体中，分别为，的中点点在平面内，若直线平面，则线段长度的最小值是 16.已知三棱锥的棱长均为6，其内有个小球，球与三棱锥的四个面都相切，球与三棱锥的三个面和球都相切，如此类推，球与三棱锥的三个面和球都相切，则球的体积等于 ，球的表面积等于 三解答题（本题共6小题，共70分）17（本小题10分）在，这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并加以解答设等差数列的前项和为，数列为等比数列，_，求数列的前项和18（本小题12分）如图，在多面体中，四边形是边长为2的正方形，平面，平面，且，与交于点（1）在棱上找一点，使平面，给出证明并求的长；（2）求三棱锥的体积19 （本小题12分）如图，在矩形中
5、，是的中点，以为折痕将向上折起，使为，且平面平面（）求证：；（）求直线与平面所成角的正弦值20 （本小题12分）已知各项均为正数的数列的前项和为，且满足，各项均为正数的等比数列满足，（1）求数列，的通项公式；（2）若，数列的前项和；求；若对任意，均有恒成立，求实数的取值范围21 （本小题12分）如图，四棱锥的底面为矩形，点在底面上的射影在上，是的中点（1）证明：平面（2）若，且与面所成的角的正弦值为，求二面角的余弦值22 （本小题12分）如图，是以为直径的圆上异于，的点，平面平面，分别是，的中点，记平面与平面的交线为直线（）求证：直线平面；（）直线上是否存在点，使直线分别与平面、直线所成的角互
6、余？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由河北正定中学2021届高三年级第一次半月考答案1【解答】解：由，是两条不同的直线，是两个不同的平面，知：对于，若，则由线面垂直的性质和线面平行的性质得，故正确；对于，若，则或，故错误；对于，若，则与相交、平行或异面，故错误；对于，若，则由面面垂直的性质定理得，故正确故选：2【解答】解：如图：连接、，、所在直线相交于点，且，平面，平面，平面，且平面，由平面平面，故选：3.【解答】解：在正四面体中，取的中点，连接，如图所示由于和都为等边三角形，为的中点，所以，所以为两项邻面和平面的平面角，由于四面体的各棱长为2，故利用勾股定理得到，故在中，故选：4【解答】
7、解：若成立可得，产生矛盾，故不正确；由题设知：为等腰，平面，得平面，于是正确；由与平面所成的角为知不正确；，不正确故选：5.【解答】解：，即整理得，数列的前7项为负，故数列中最小值是故选：6.【解答】解：直三棱柱中，为的中点以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，设，则，0，2，0，0，2，0，设异面直线与所成角为，则异面直线与所成角的余弦值为故选：7【解答】解：过点作平面的垂线，垂足为，在内过作的垂线垂足为连接，有三垂线定理可知，故为二面角的平面角，为又由已知，连接，则为与平面所成的角设，则，直线与平面所成的角的正弦值故选：8【解答】解：，两边同时除以，得，故，故最小值为时，的最小值
8、是1故选：9【解答】解：由即为，可化为，由，可得数列是首项为2，公比为2的等比数列，则，即，又，可得，故错误，正确故选：10.【解答】解：对于，根据题意，平面，所以，所以正确；对于，到平面的距离是定值，所以点到的距离为定值，则正确；对于，三棱锥的体积为，三棱锥的体积是正方体体积的，正确；对于，异面直线，所成的角为定值，命题错误；故选：11.【解答】解：在中，是的中点，是上的一点，若，则，又平面，平面，平面，故正确；在中，若，则四棱锥的体积，三棱锥体积为：，四棱锥的体积是三棱锥体积的3倍，故错误；在中，三棱锥中，是直角三角形，故错误；在中，平面，平面，平面，平面平面，故正确故选：12.【解答】解
9、：对于A，因为 DCEB，所以异面直线 A1E 与 DC 所成角即为A1EB 或其补角，在翻折过中，异面直线A1E与DC 所成角是先增大后减小，所以A不正确；对于B，二面角A1DCE 的平面角不是定值，所以B不正确；对于C，因为F是AC 的中点，所以点 F 到平面A1EB 的距离是点C 到平面A1EB的距离的，因为 DCEB，DC平面A1EB，EB平面A1EB，所以DC平面A1EB，所以点C到平面A1EB 的距离与点D 到平面A1EB 的距离相等，又DEEB，DEEA1，EAEBE，所以DE平面A1EB，易知 DE，所以点F到平面 A1EB 的距离为，所以C正确；对于D，因在平面 A1EB 中
10、，作 A1HEB，垂足为H，则A1H平面DEBC，直线A1C与平面DEBC 所成角为A1CH，在平面 A1EB 中，点A1的运动轨迹在以E为圆心，半径为A1E的圆上，当且仅当A1EA1B时此时直线A1C与平面DEBC所成角最大，所以D不正确；故选：ABD13【解答】解：当时，由，得，两式作差得，则，当时，不满足，14.【解答】解：为等比数列，则，也成等比数列，由，令则，则由，也成等比数列，可得，则15【解答】解：如图，连结，分别为，的中点，平面，平面，平面，平面，平面，平面，平面平面，平面，点在直线上，在中，当时，线段的长度最小，最小值为故答案为：16.【解答】解：如图，设球半径为，球的半径为
11、，为中点，球与平面、切于、，球与平面切于，作截面，设正四面体的棱长为由平面几何知识可得，解得，同时，解得，把代入的，由平面几何知识可得数列是以为首项，公比为的等比数列，所以，故球的体积；球的表面积，故答案为；17【解答】解：选：当时，当时，又满足，所以设的公比为，又因为，得，所以；由数列的前项和为，又可知，数列的前项和为，故选：设公差为，由解得所以设的公比为，又因为，得，所以由数列的前项和为，又可知，数列的前项和为，故选：由，所以，所以设的公比为，又因为，得由数列的前项和为，又可知，数列的前项和为，故18【解答】解：（1）当时，有平面证明如下：平面，平面，又，在中，又平面，平面，平面又，（2）
12、由（1）得，三棱锥的体积为19.解（）在中，在中，平面平面，且交线为，平面平面，（）设与相交于点，由（）知，平面，平面，平面平面，且交线为，如图62，作，垂足为，则平面，连结，则是直线与平面所成的角由平面几何的知识可知，在中，在中，可求得直线与平面所成的角的正弦值为20【解答】解：（）因为，所以，两式相减得：，即，又因为数列的各项均为正数，所以，又因为，即，所以当时上式成立，即数列是首项为1、公差为3的等差数列，所以；因为，所以；（）由可知，两式相减，得：，所以；由可知若对任意，均有恒成立，等价于恒成立，所以，即恒成立，设，则，所以当时，当时，所以当的最大值为，故，即实数的取值范围是：，21.
13、【解答】解：（1）在矩形中，且是的中点，（1分），即（3分）由题可知面面，且交线为，面（5分）（2）：令与交于点，且是的中点，面面，面取中点，连接，因为底面为矩形，所以建立如图所示的空间直角标系：，0，（6分）设面的法向量为，由，令，面的法向量为由与面所成的角的正弦值为，设平面的法向量为，由 令设平面的法向量为，由，令 （10分） 二面角的余弦值为 （12分）22.【解答】（）证明：，分别是，的中点，又平面，不包含于平面，面，又面，面面，又，面面，面面，面，面（2）解：以为坐标原点，为轴，为轴，过垂直于面的直线为轴，建立空间直角坐标系，0，4，0，设，面的法向量为，则，取，得，依题意，得，直线上存在点，使直线分别与平面、直线所成的角互余，
