1、5.1.2数据的数字特征素养目标定方向课程标准学法解读1.理解数据的最值、平均数、中位数、百分位数、众数、极差、方差和标准差的意义和作用2会计算数据的这些数字特征，并能解决有关实际问题1.通过本节课的学习，提高学生的数据分析和数学运算素养2通过极差、方差和标准差的求解及应用，提高学生的数据分析、逻辑推理和数学运算素养必备知识探新知知识点最值一组数据的最值指的是其中的最大值与最小值，最值反映的是这组数最极端的情况一般地，最大值用max表示，最小值用min表示知识点平均数1定义：如果给定的一组数是x1，x2，xn，则这组数的平均数为(x1x2xn)这一公式在数学中常简记为i2求和符号具有的性质(1
2、)(xiyi)ii(2)(kxi)ki(3)nt3如果x1，x2，xn的平均数为，且a，b为常数，则ax1b，ax2b，axnb的平均数是aB思考1：(1)x5x6x15如何用符号表示？(2)如何证明(kxi)ki?提示：(1)x5x6x15i(2)(kxi)kx1kx2kxnk(x1x2xn)ki知识点中位数1如果一组数有奇数个数，并按照从小到大排列后为x1，x2，x2n1，则称xn1为这组数的中位数2如果一组数有偶数个数，且按照从小到大排列后为x1，x2，x2n，则称为这组数的中位数知识点百分位数1定义：一组数的p%(p(0,100)分位数指的是满足下列条件的一个数值：至少有p%的数据不大
3、于该值，且至少有(100p)%的数据不小于该值2计算方法：设一组数按照从小到大排列后为x1，x2，xn，计算inp%的值，如果i不是整数，设i0为大于i的最小整数，取xi0为p%分位数；如果i是整数，取为p%分位数规定：0分位数是x1(即最小值)，100%分位数是xn(即最大值)思考2：中位数和百分位数的关系是什么？提示：中位数是50%分位数知识点众数一组数据中，某个数据出现的次数称为这个数据的频数，出现次数最多的数据称为这组数据的众数知识点极差一组数的极差指的是这组数的最大值减去最小值所得的差知识点方差与标准差 (1)如果x1，x2，xn的平均数为，则方差s2(xi)2，方差的算术平方根称为
4、标准差(2)如果x1，x2，xn的方差为s2，且a，b为常数，则ax1b，ax2b，axnb的方差是a2s2思考2：(1)方差和标准差的取值范围是什么？方差、标准差为0的含义是什么？(2)方差和标准差是如何反映一组数据的离散程度的？提示：(1)标准差、方差的取值范围：0，)标准差、方差为0时，样本各数据全相等，表明数据没有波动幅度(2)标准差、方差越大，数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小关键能力攻重难题型探究题型最值、平均数、众数的确定典例剖析_典例1某公司员工的月工资情况如表所示：月工资/元8 0005 0004 0002 0001 000800700员工/人12582
5、0122(1)分别计算该公司员工月工资的最值、平均数、和众数；(2)你认为用哪个数来代表该公司员工的月工资更合理？解析(1)该公司员工月工资的最大值为8 000元，最小值为700元，众数为1 000元平均数为(8 00015 00024 00052 00081 00020800127002)1 700(元)(2)用众数，因为最大值为8 000元且只有一个，无法代表该公司员工的月工资，平均数受到最大值的影响，也无法代表该公司员工的月工资，每月拿1 000元的员工最多，众数代表该公司员工的月工资最合理规律方法：1.把数据从小到大排列，根据定义即可确定最值和众数2平均数的求法(1)用定义式；(2)用
6、平均数的性质；(3)在容量为n的一组数据中，若数据x1有n1个，x2有n2个，xk有nk个，且nn1n2nk，则这组数据的平均数为(n1x1n2x2nkxk)x1x2xk对点训练_1某校在一次考试中，甲、乙两班学生的数学成绩统计如下：分数5060708090100人数甲班161211155乙班351531311选用平均数与众数评估这两个班的成绩解析甲班平均数为(5016067012801190151005)79.6(分)，乙班平均数为(5036057015803901310011)80.2(分)，从平均分看成绩较好的是乙班；甲班众数为90分，乙班众数为70分，从众数看成绩较好的是甲班题型中位数
7、、百分位数的计算典例剖析_典例2(1)已知一组数据8,6,4,7,11,6,8,9,10,5，则该组数据的中位数是_7.5_；(2)甲、乙两名篮球运动员在随机抽取的12场比赛中的得分情况如下：甲运动员得分：12,15,20,25,31,31,36,36,37,39,44,49乙运动员得分：8,13,14,16,23,26,28,29,31,38,39,51求甲、乙两名运动员得分的25%分位数，75%分位数和90%分位数解析(1)已知数据从小到大排列为：4,5,6,6,7,8,8,9,10,11，共10个数，所以中位数是7.5(2)两组数据都是12个数，而且1225%3,1275%9,1290%
8、10.8，因此，甲运动员得分的25%分位数为22.5，甲运动员得分的75%分位数为38，甲运动员得分的90%分位数为x1144乙运动员得分的25%分位数为15，乙运动员得分的75%分位数为34.5，乙运动员得分的90%分位数为x1139规律方法：1.求中位数的一般步骤(1)把数据按大小顺序排列(2)找出排列后位于中间位置的数据，即为中位数若中间位置有两个数据，则求出这两个数据的平均数作为中位数2求百分位数的一般步骤(1)排序：按照从小到大排列：x1，x2，xn(2)计算：求inp%的值(3)求值：分数p%分位数i不是整数xi0，其中i0为大于i的最小整数i是整数对点训练_2确定数据0,0,0,
9、0,1,1,2,3,4,5,6,6,7,7,10,14,14,14,14,15的28%分位数和75%分位数解析因为数据已从小到大排列，共有20个而且i12028%5.6，不为整数，i22075%15是整数，因此，此数据的28%分位数为x61,75%分位数为12题型极差、方差、标准差的计算典例剖析_典例3已知一组数据：2,2,2,3,3,3,3,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,6,6(1)求极差；(2)求方差；(3)求标准差解析(1)最大值为6，最小值为2，极差为4(2)可将数据整理为x23456频数34562每一个数都减去4可得x421012频数34562这组数的平均数与方差分别为
10、(2)3(1)40516220，(2)23(1)24025126222因此，所求平均值为4，方差为(3)由(2)知标准差为规律方法：求方差的基本方法(1)先求平均值，再代入公式s2(xi)2，或s22(2)用性质(3)当一组数据重复数据较多时，可先整理出频数表，再计算s2对点训练_3(1)有一笔统计资料，共有11个数据如下(不完全以大小排列)：2,4,4,5,5,6,7,8,9,11，x，已知这组数据的平均数为6，则这组数据的方差为(A)A6BC66D6.5(2)若样本数据x1，x2，x10的标准差为8，则数据2x11,2x21，2x101的标准差为(C)A8B15C16D32解析(1)因为(
11、24455678911x)(61x)6，所以x5方差为s26(2)样本数据x1，x2，x10的标准差s8，则而样本数据2x11,2x21，2x101的标准差s2816题型分层抽样的方差典例剖析_典例4甲、乙两班学生参加了同一考试，其中甲班50人，乙班40人甲班的平均成绩为80.5分，方差为500；乙班的平均成绩为85分，方差为360.那么甲、乙两班全部90名学生的平均成绩和方差分别是多少？解析设甲班50名学生的成绩分别是a1，a2，a50，那么甲班的平均成绩和方差分别为甲80.5(分)，s500设乙班40名学生的成绩分别是b1，b2，b40，那么乙班的平均成绩和方差分别为乙85(分)，s360
12、如果不知道a1，a2，a50和b1，b2，b40，只知道甲、乙两班的平均成绩、方差及甲、乙两班的人数，那么根据前面的分析，全部90名学生的平均成绩应为82.5(分)，方差s2442.78规律方法：若样本中有两层，第一层有m个数，分别为x1，x2，xm，平均数为，方差为s2；第二层有n个数，分别为y1，y2，yn，平均数为，方差为t2，则样本的均值为，方差为对点训练_4在考察某中学学生身高时，采用分层抽样的方法得到了20名男生身高的平均值为170，方差为16；15名女生的身高的平均值为165，方差为25，试计算这35名学生的方差解析由题意知男170，s16，女165，s25，则167.86，s2
13、25.98易错警示典例剖析_典例5下面是某赛季甲、乙两名篮球队员每场比赛得分情况：甲：4 14 14 24 25 31 32 35 36 36 39 45 49乙：8 12 15 18 23 27 25 32 33 34 41则甲、乙得分的中位数之和是(B)A56分B57分C58分D59分错解D因为甲的中位数是32，乙的中位数是27，所以甲、乙得分的中位数之和是59辨析本题易忽视求乙得分的中位数时，没有将数据从小到大排列起来，将原始数据中的中间一个数误认为就是乙得分的中位数而导致错误因此理解样本的数字特征的含义较为重要正解由题可知甲得分的中位数为32分，乙得分的数据从小到大排列为：8,12,15,18,23,25,27,32,33,34,41，故乙得分的中位数为25分，因此甲、乙两人得分的中位数之和为57分