1、浙江省五校2020届高三数学上学期联考试题（含解析）1.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】分别计算出集合后可得两个集合的交集.【详解】，故，故选B.【点睛】本题考查集合的交运算，属于基础题.2.已知向量，且与的夹角为，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】逐项采用向量数量积的公式进行验证即可【详解】解析：对A：，故不垂直，A错；对B：，故不垂直，B错；对C：，故垂直，C对；对D：，故不垂直，D错；故选C【点睛】本题考查向量数量积的运算和向量垂直的判断，是基础题型3.函数的值域为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】需要先对
2、函数式进行化简，化简成形式，再进行值域求解【详解】，故选D【点睛】本题考查复合函数值域求解，一般复合函数值域求解需要先求内层函数的值域，形如，先求的值域再求的取值范围4.已知数列是公差为的等差数列，其前项和为，则（ ）A. 时，一定存在最大值B. 时，一定存在最大值C. 存在最大值时，D. 存在最大值时，【答案】A【解析】【分析】根据等差数列的特点来判断与的关系即可【详解】对A：因为，所以数列单调递减，故一定存在最大值，A正确；对B：因为，所以数列单调递增，故不存在最大值，B错；对C：因为当，时，存在最大值，C错；对D：由C的解析知，D错；故选A【点睛】本题考查等差数列与的关系，我们可以通过来
3、加强理解，当公差，数列为常数列，当时，有最小值，时，有最大值；当公差时，有最小值，有最大值5.已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】将不等式化为，讨论、和时，分别求出不等式成立时的取值范围即可【详解】时，不等式可化为；当时，不等式为，满足题意；当时，不等式化为，则，当且仅当时取等号，所以，即；当时，恒成立；综上所述，实数的取值范围是答案选A【点睛】本题考查不等式与对应函数的关系问题，含参不等式分类讨论是求解时常用方法6.已知，为实数，则，是的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案
4、】A【解析】【分析】通过正向与反向推导来验证充分与必要条件是否成立即可【详解】若，则， ，显然，充分条件成立但时，比如说时，却推不出，必要条件不成立所以是的充分不必要条件【点睛】本题考查充分与必要条件的判断，推理能力与计算能力，由于参数的不确定性，故需要对参数进行讨论7.定义，则关于实数的不等式组所表示的平面区域的面积是（ ）A. 4B. 6C. 8D. 12【答案】D【解析】【分析】通过对新定义的解读，需要先求解，即，再通过分类讨论形式表示不等式组，画出对应的线性规划区域，再求解对应面积即可【详解】解析：，即由图像可得：平面区域面积：，故选D【点睛】本题考查根据新定义表示线性规划区域，对可行
5、域面积的求解，难点在于通过分类讨论合理表示出符合条件的区域8.函数，则（ ）A. 在上递增B. 在上递减C. 在上递减D. 在上递增【答案】C【解析】【分析】由于常规方法无法进行化简，故需要对进行求导，根据导数来研究函数的增减性【详解】，故，故在和单调递增，即在上递减答案选C【点睛】本题考查根据导数来研究三角函数增减性问题，根据导数正负对应的区间来确定原函数的增减性，既考查了导数在函数中的应用，又考查了三角函数图像的基本性质9.三角形中，已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先将化简，得到，此时需要用到进行代换，化简得到关于与的正切公式，由于题中求的是角，故需将代换成
6、，进而化简求值【详解】解析：，故选D.【点睛】本题考查三角函数的化简求值，由于前期不能锁定解题方向，所以需要进行解题方向预判，大体是弦化切，故整体思路都围绕弦化切展开，中间遇到两次三角函数的整体代换，对基本功要求较高，这就要求平时强化基础，苦练基本功10.若不等式对上恒成立，则（ ）A. B. C. 1D. 2【答案】B【解析】【分析】将不等式看作两个因式，和，先讨论的正负，确定对应区间，再对的正负进行判断，确定在交汇处取到等号，进而求解【详解】解析：法一：由题意可知：当，当，故当，当，即有，故选B；法二：由右图像可得：显然有， 故选B【点睛】本题考查双变量不等式中参数的求解问题，通过分段讨论
7、确定交汇点是解题关键，方法二采用数形结合的方式进一步对方法一作了补充说明，建议将两种方法对比研究11.已知集合， ，若，则_；若，则_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】先化简集合，根据题设条件，画出数轴图，根据交并补关系进行求解即可【详解】，因为，所以，如图所示，所以.如图：【点睛】本题考查根据集合的交并补的结果求解参数，最好的方式是结合数轴图加以理解，更具体，更直观12.已知，若，则_；_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】将右式的“1”化成“”，再化简求值【详解】；所以，【点睛】本题考查三角函数的化简求值，“1”的代换很关键，为万能公式的使用，应当熟记13.不等式
8、解集是_；不等式的解集是_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】将化简成，再利用指数函数性质解不等式；同理对于化简成，但要注意，再进行求解即可【详解】，所以不等式的解集是不等式的解集是【点睛】本题考查指数不等式与对数不等式的求解，化成同底数再根据函数的增减性求解是常规方法，同时还需注意定义域必须符合对数函数性质14.设数列的前项和为，满足，则_，_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】再写一个下标减一的递推式，两式作差，表示出的关系式，再根据为奇数和偶数求解具体数值即可【详解】当时，；当时，当为偶数时，即为奇数时，所以；，.【点睛】本题考查根据递推数列求解具体通项和的方法，
9、涉及题设包含这种形式时，一定要分类讨论奇偶性15.定义，已知，.若对恒成立，则的最小值是_.【答案】5【解析】【分析】画出的图像，根据题意，表示出的表达式，再根据与的位置关系，进行求解【详解】如图：若对恒成立，此时，则，在上恒成立，所以当且仅当，时等号成立.即图中的红色直线为临界状态.则的最小值是5【点睛】本题考查根据新定义写出表达式，根据函数图像求不等式的最值，准确画出函数图像并从临界点切入是解题关键16.已知向量，其中，与夹角为，且.则的最大值为_.【答案】【解析】【分析】可设，则，则，进而可求出与夹角，根据几何关系能得出四点共圆，再根据正弦定理求得圆的半径即可【详解】设，则，所以,即与的
10、夹角为，而与的夹角为,所以四点共圆，于是为圆的直径时最大，则的最大值为【点睛】本题考查向量模长的求法，通过构造向量的形式表示，是解题关键，借助几何图形能帮助我们快速解题17.已知实数满足：，则的最小值为_.【答案】2【解析】【分析】本题解法较多，具体可考虑采用距离问题、柯西不等式法，判别式法，整体换元法，三角换元法进行求解，具体求解过程见解析【详解】方法一：距离问题问题理解为：由对称性，我们研究“双曲线上的点到直线的距离的倍”问题若相切，则有唯一解，两平行线与的距离所以方法二：柯西不等式法补充知识：二元柯西不等式已知两组数；，则已知两组数；，则所以，所以.方法三：判别式法设，将其代入，下面仿照
11、方法一即可.方法四：整体换元根据对称性，不妨设，设，则，且方法五：三角换元由对称性，不妨设（为锐角）所以所以的最小值为2【点睛】本题考查不等式中最值的求解问题，解法较为多样，方法一通过点到直线距离公式进行求解，方法二通过柯西不等式，方法三通过判别式法，方法四通过整体换元法，方法五通过三角换元，每种解法都各有妙处，这也提醒我们平时要学会从多元化方向解题，培养一题多解的能力，学会探查知识点的联系，横向拓宽学科知识面18.已知，中，角所对的边为.（1）若，求的值域；（2）若，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）将表达式先展开再合并，化简求值即可（2）将化简求得，通过数值进一步锁定，求出
12、，采用拼凑法求出，再用正弦定理求解【详解】解析：（1），即（2），因为，所以，或者，即或者（舍去），故；，由正弦定理得：【点睛】本题考查复合三角函数值域的求法，三角恒等变换中关于具体角的求解问题，正弦定理在解三角形中的应用，对于角的拼凑问题是解题过程中经常会遇到的问题，如本题中，常见的还有，等19.已知多面体中，为中点.（1）求证：；（2）求直线与平面所成角的正弦.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）可通过线面垂直的判定定理来证线线垂直，即设法证明 直线所在平面（2）过点作，连接，则为直线与平面所成角的平面角，再采用等体积法求出 ，即可求得也可采用建系法直接求解【详解】法一：（
13、1）由得：；如图：取中点，连接，得：，；故：；（2）过点作；连接，则为直线与平面所成角的平面角，即有，不妨设，即有：，所以法二：由得：；如图建系得：，,，（1）,则（2）设面的法向量为，即有：，故【点睛】本题考查利用线面垂直证线线垂直，求线面角的正弦值，相对来说，立体图形比较规整，也可采用建系法进行求解，属于中档题20.设数列是等比数列，数列是等差数列，若，.（1）若，数列中的最大项是第项，求的值（2）设，求数列的前项和【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据题设已知条件利用通项公式直接表示出，的关系式，求解出与的通项公式，表示出的通项公式，利用进行判断（2）采用错位相减法进行求解即可【
14、详解】解析：（1）设公差为，公比为则，所以，；，当时，于是；当时，于是；综上所述：，于是，（2）错位相减求和法，【点睛】本题考查等差等比数列基本量的求解，数列前项和最大值和对应项的辨析，错位相减法求前项和，错位相减法关键在于第二个式子一般乘以公比，跟第一个式子对应时，依次向后错一位，两式相减时，第二个式子多出的末项符号正负要书写正确21.过椭圆的左焦点作斜率为的直线交椭圆于，两点，为弦的中点，直线交椭圆于，两点.（1）设直线的斜率为，求的值；（2）若，分别在直线的两侧，求的面积.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）设直线方程为，代入椭圆方程，根据方程的根与系数关系求弦中点的坐标为，代入可
15、得，进行求解（法二）（利用点差法）设点，中点，由与，作差得再进行求解（2）设直线方程为，联立椭圆方程得出，点的横坐标为，用焦点弦公式表示出，同理联立方程，用弦长公式表示出，结合题干求出，再用点到直线距离公式求得到距离，进而求得面积【详解】（1）解法一：设直线方程为，代入椭圆方程并整理得：，又中点在直线上，所以，从而可得弦中点的坐标为，所以 解法二：设点，中点， 则，又与，作差得所以（2）设， ，点的横坐标为于是联立方程所以，所以从而有，结合，从而得，不妨设，此时，此时，【点睛】本题考查直线与曲线相交问题的具体应用，要求考生具有较强的运算能力和逻辑推理能力，用点差法解决弦的中点问题可大大减小运算
16、22.设函数（1）当时，若是函数的极值点，求证：；（2）（i）求证：当时，；（ii）若不等式对任意恒成立，求实数取值范围.注：e=2.71828为自然对数的底数.【答案】（1）证明见解析（2）（i）证明见解析 （i i）【解析】【分析】（1）先求导，得，再令，求得，可判断单调递增恒成立，再根据零点存在定理计算两端点值，即可求证（2）（i）要证，只需证，只需证，通过求导证明，求得，即可求证（ii）先通过必要性进行探路，当时，一定成立，推出 ，当时，化简得，进一步求导得，结合（i）中放缩可得，再对和分类讨论，进而求证【详解】解析：（1）， 令即恒增，又，所以在上有一根，即为的极值点，且；（2）（i）要证，只需证，只需证，即在，即，所以恒成立，即在单调递增，又有，所以恒成立，即.（i i）必要性探路：当，有，当时，设（1）当时，所以函数（2）当时，所以函数综上所述：实数的取值范围为.【点睛】本题考查导数零点区间的证明，零点存在定理的应用，利用导数证明不等式恒成立，利用利用放缩法证明不等式，利用导数研究恒成立问题求解参数，难度系数比较大，对考生综合素质要求较高