1、宁夏长庆高级中学2021届高三数学上学期第三次月考试题 理（含解析）一选择题：1. 已知全集，集合，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据图像判断出阴影部分表示，由此求得正确选项.【详解】根据图像可知，阴影部分表示，所以.故选：A【点睛】本小题主要考查集合交集与补集的概念和运算，考查韦恩图，属于基础题.2. 一个圆锥的表面积为，它的侧面展开图是圆心角为的扇形，则该圆锥的高长为（ ）A. B. 2C. D. 【答案】D【解析】【分析】设出圆锥的底面半径以及母线长，由圆锥的表面积以及圆心角公式求出半径和母线，根据勾股定理即可求出圆锥的高.【详解】解
2、：设圆锥底面半径是，母线长，即根据圆心角公式得：，即由解得：，高.故选：D.3. 如图，在平行四边形中，对角线与交于点，且，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】画出图形，以为基底将向量进行分解后可得结果【详解】画出图形，如下图选取为基底，则，故选C【点睛】应用平面向量基本定理应注意的问题（1）只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，基底可以有无穷多组，在解决具体问题时，合理选择基底会给解题带来方便（2）利用已知向量表示未知向量，实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算或数乘运算4. 在等差数列an中，已知a4a816，则该数列前11项和S11（ ）A
3、. 58B. 88C. 143D. 176【答案】B【解析】试题分析：等差数列前n项和公式，考点：数列前n项和公式5. 已知平面向量满足，若，则向量的夹角为（ ）A. 30B. 45C. 60D. 120【答案】C【解析】【分析】利用向量数量积公式知代入，化简可得，然后再代入，即可求出向量的夹角.【详解】， ，故向量的夹角为故选：C.【点睛】本题考查向量数量积的应用，以及向量夹角的计算，考查学生的运算求解能力，属于基础题6. 若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用，结合二倍角公式可求得结果.【详解】由得：.故选：A.7. 函数在的图像大致为A. B. C. D. 【
4、答案】B【解析】【分析】由分子、分母的奇偶性，易于确定函数为奇函数，由的近似值即可得出结果【详解】设，则，所以是奇函数，图象关于原点成中心对称，排除选项C又排除选项D；，排除选项A，故选B【点睛】本题通过判断函数的奇偶性，缩小考察范围，通过计算特殊函数值，最后做出选择本题较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查8. 如图所示，四面体的四个顶点是长方体的四个顶点（长方体是虚拟图形，起辅助作用），则四面体的三视图是（用代表图形）A B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：经观察可得正视图为、侧视图为、俯视图为，故选B.考点：三视图.【方法点晴】本题主要考查三视图，属于中等题型.应注意把握三个
5、视图的尺寸关系：主视图与俯视图长应对正（简称长对正）,主视图与左视图高度保持平齐（简称高平齐）,左视图与俯视图宽度应相等（简称宽相等）,若不按顺序放置和不全时，则应注意三个视图名称此外本题应注意掌握虚线和实线的正确使用，方能正确求解.9. 在中，角所对的边分别为，且，则的面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用正弦定理边角互化，结合同角三角函数关系可求得，利用余弦定理构造方程可求得，代入三角形面积公式即可求得结果.【详解】由正弦定理得：，由正弦定理得：，.由余弦定理得：，解得：，.故选：A.【点睛】思路点睛：本题考查解三角形中的正余弦定理和三角形面积公式的应用。求解此
6、类问题时，当所给边角关系式中边齐次时，通常采用正弦定理边化角，结合三角恒等变换公式化简整理得到所需等量关系.10. 若将函数()的图象向左平移个单位长度后，与函数的图象重合，则的最小值为（ ）A. 1B. C. 2D. 3【答案】D【解析】【分析】先得到平移后的解析式，再由题中条件，列出等式，求出，即可得出结果.【详解】将函数()的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，又平移后的图象与函数的图象重合，而，所以（），则（），又，所以为使取得最小值，只需，此时.故选：D.11. 在中,已知为线段AB上的一点,且，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】建立直角坐标系
7、，确定坐标和线段AB方程，得出的关系,利用基本不等式,即可求得结果.【详解】以所在的直线分别为轴建立直角坐标系,则,=点坐标为,线段方程为,当且仅当,等号成立.故选:C【点睛】本题考查了平面向量坐标运算,以及基本不等式求最值,考查了推理能力和计算能力,属于中档题,12. 已知函数在定义域内有个零点，则实数的取值范围为A. B. C. D. 【答案】B【解析】令，即直线与的图象有两个不同的交点，,在上单调递减，在上单调递增，最小值为即故选B点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分
8、离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解二、填空题：13. 复平面内与复数所对应的点关于实轴对称的点为，则对应的复数为_【答案】【解析】试题分析：因为，在复平面内对应点的坐标为，它关于实轴对称的点为为，对应的复数为.考点：复数的运算及对称性.14. 一个三棱锥的三视图如图所示，则其外接球的表面积是_.【答案】【解析】【分析】由三视图还原几何体，可知所求外接球即为长宽高分别为的长方体的外接球，可知外接球半径为长方体体对角线一半，结合球的表面积公式可求得结果.【详解】由三视图还原几何体可得如下图所示三棱锥，则三棱锥
9、的外接球即为如图所示的长方体的外接球，又长方体外接球半径，三棱锥的外接球表面积.故答案为：.【点睛】思路点睛：本题考查多面体的外接球问题的求解，根据本题中的几何体特征，可补全为长方体，利用长方体外接球半径为其体对角线长的一半可求得外接球半径.15. 已知函数是定义在上的周期为2的奇函数，当时，则 _.【答案】-2【解析】【分析】根据题意，由函数的周期性与奇偶性可得f（1）=f（1）且f（1）=f（1），分析可得f（1）的值，进而分析可得f（）=f（）=f（），由函数的解析式计算可得答案【详解】根据题意，函数f（x）是定义在R上的周期为2的奇函数，则有f（1）=f（1）且f（1）=f（1），即f
10、（1）=f（1），则f（1）=0，f（）=f（）=f（）=（）=2，则f（）+f（1）=2+0=2；故答案为2【点睛】本题考查函数的奇偶性与周期性，注意求出f（1）的值,属于中档题16. 已知数列的前项和为，若，()，则_.【答案】【解析】【分析】当时求得，当时，利用与的关系可证得数列从第二项开始为等比数列，由等比数列通项公式求得时的通项公式，综合可得结果.【详解】当时，；当时，数列从第二项开始为等比数列，；经检验：不满足.综上所述：.故答案为：.【点睛】易错点睛：在利用与关系求解数列通项公式时，需注意验证首项是否满足时所求解的通项公式，若不满足，则通项公式为分段数列的形式.三、解答题：解答应
11、写出文字说明证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第2223题为选考题，考生根据要求作答.17. 已知是定义在上的奇函数，当时，（1）求的解析式；（2）求不等式的解集【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）当时，利用和可得分段函数解析式；（2）分别在、和三种情况下解不等式求得结果.【详解】（1）当时，则，为上的奇函数，且，；（2）当时，解得：；当时，成立；当时，解得：，；综上所述：的解集为.18. 已知函数.（1）求的最小正周期；（2）求在区间上的最小值及单调减区间.【答案】（1）最小正周期为；（2）；的单调递减区间为.【解析】【分析】(1)利用降幂公式、诱导
12、公式及逆用正弦二倍角公式将函数化为一个角的正弦函数，再利用周期公式，即可求出的最小正周期；(2)先求出内层函数的值域，再结合正弦函数的图象和性质，即可求出结果.【详解】(1).所以的最小正周期为.(2)因为，所以，所以当，即时，函数取得最小值.由，得，所以函数的单调递减区间为.【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据式子结构，将函数化为的形式.19. 在中，角的对边分别为，已知.（1）求角；（2）若，求最小值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换知识可求得，由此求得；（2）根据平面向量数量积的定义可构造方程求得，利用余弦定理构造方程，利用基本不等式可求
13、得最小值.【详解】（1）由正弦定理得：，又，.（2），.由余弦定理得：（当且仅当时取等号），（当且仅当时取等号），即的最小值为.【点睛】方法点睛：解三角形中与边长有关的最值问题，通常利用余弦定理构造等量关系，利用或可得到不等关系求得最值.20. 已知数列的前项和是，且.数列是公差不等于的等差数列，且满足：，成等比数列.（1）求数列、的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）【解析】分析：第一问利用题中的条件，类比着写出，两式相减求得相邻两项的关系，从而确定出数列是等比数列，再令求得首项，利用等比数列的通项公式求得结果，对于，利用题中条件求得首项，建立关于公差的等量关系式，从而
14、求得结果，第二问涉及到等差数列和等比数列对应项积构成新数列的求和方法-错位相减法.详解：（1）时，时，（）是以为首项，为公比的等比数列，又得：，因为解得，（2）点睛：该题考查的是有关数列的通项公式以及求和问题，在求解的过程中，要明确递推公式的利用，要铭记等差数列和等比数列的通项公式的求法，第二问应用错位相减法求和，在求和的过程中，一定要明确整理之后的括号里的只有项.21. 已知函数（1）求曲线在点处的切线方程；（2）讨论的单调性；（3）设，当时，对任意的，存在，使得，求实数 b的取值范围【答案】（）； （）见解析； （）.【解析】【分析】()由题意可得，据此确定切线的斜率，结合切点坐标确定切线
15、方程即可；()由可得，据此分类讨论确定函数的单调性即可；()由题意可得，则原问题等价于，据此求解实数b的取值范围即可.【详解】()，因为,且，所以曲线在点处的切线方程为：.()令，所以，当时,，此时在上单调递减,在上单调递增；当时,，此时在上单调递增,在上单调递减.()当时,在上单调递减,在上单调递增，所以对任意,有，又已知存在，使,所以，即存在,使，即，即因为当，所以,即实数取值范围是.所以实数的取值范围是.【点睛】本题主要考查导数研究函数的单调性，利用导数求解切线方程，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.22. 在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），在极坐
16、标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴）中，圆的方程为.（1）求圆的直角坐标方程；（2）设圆与直线交于点、，若点的坐标为，求.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据极坐标与直角坐标方程的转化，可直接求解，并将圆的一般方程化为标准方程即可.（2）将直线参数方程代入圆的方程，可得关于的一元二次方程，根据参数方程的几何意义，即可求得.详解】解：（1），即圆的标准方程为.（2）设直线圆的两个交点、分别对应参数，则将方程，代入得：，由参数的几何意义知：，.【点睛】本题考查了极坐标与直角坐标方程的转化，直线参数方程的几何意义及线段关系求法，属于中档题.23. 已知a0，b0，c0，求证：【答案】见解析【解析】【分析】利用基本不等式，借助叠加法和不等式的传递性，即可作出证明.【详解】得：又：得：得：；所以【点睛】本题主要考查了不等式的证明问题，其中解答中正确分析题意，合理利用基本不等式，借助叠加法和不等式的传递性是解答的关键，着重考查了推理与论证能力.