1、高考资源网（） 您身边的高考专家4.3指数函数与对数函数的关系素养目标定方向课程标准学法解读1理解反函数的概念，了解存在反函数的条件，会求简单函数的反函数2理解互为反函数图像间的关系3知道指数函数yax与对数函数ylogax互为反函数(a0且a1)1通过学习反函数的概念，提升数学抽象素养2通过求反函数，提升数学运算素养3通过互为反函数图像间关系的应用，提升直观想象素养必备知识探新知知识点反函数的概念 (1)一般地，如果在函数yf(x)中，给定值域中_任意一个y_的值，只有_唯一_的x与之对应，那么x是y的函数，这个函数称为yf(x)的反函数此时，称yf(x)存在反函数，可以记作xf1(y)(2
2、)一般地，对于函数yf(x)的反函数xf1(y)，习惯上反函数的自变量仍用x表示，因变量仍用y表示，则函数yf(x)的反函数记作yf1(x)思考：函数f(x)x2有反函数吗？为什么？提示：没有若令yf(x)1，则x1，即x值不唯一，不符合反函数的定义知识点求反函数的两种方法 (1)可以通过对调yf(x)中的x与y，然后从xf(y)中求出y得到反函数yf1(x)(2)从yf(x)反解得到xf1(y)，然后把xf1(y)中的x，y对调得到yf1(x)知识点互为反函数的图像与性质 (1)图像yf(x)与yf1(x)的图像关于直线_yx_对称(2)性质yf(x)的定义域与yf1(x)的_值域_相同，y
3、f(x)的值域与yf1(x)的_定义域_相同如果yf(x)是单调函数，那么它的反函数yf1(x)一定存在此时，如果yf(x)是增函数，则yf1(x)也是_增函数_；如果yf(x)是_减函数_，则yf1(x)也是减函数关键能力攻重难题型探究题型判断函数是否有反函数典例剖析_典例1(1)下列函数中，存在反函数的是(D)Axx0x0x0f(x)101Bxx是有理数x是无理数g(x)10Cx12345h(x)12042Dx12345l(x)21034(2)判断下列函数是否有反函数f(x)；g(x)x22x分析根据反函数的定义进行判断解析(1)因为f(x)1时，x为任意的正实数，即对应的x不唯一，因此f
4、(x)的反函数不存在；因为g(x)1时，x为任意的有理数，即对应的x不唯一，因此g(x)的反函数不存在；因为h(x)2时，x2或x5，即对应的x不唯一，因此h(x)的反函数不存在；因为l(x)的值域2，1,0,3,4中任意一个值，都只有唯一的x与之对应，因此l(x)的反函数存在(2)令yf(x)，因为y1，是由反比例函数y向右平移一个单位，向上平移一个单位得到，在(，1)，(1，)上都是减函数，因此任意给定值域中的一个值，只有唯一的x与之对应，所以f(x)存在反函数令g(x)3，即x22x30，解得x1或x3，即对应的x不唯一，因此g(x)的反函数不存在规律方法：判定函数存在反函数的方法(1)
5、逐一考查值域中函数值对应的自变量的取值，如果都是唯一的，则函数的反函数存在(2)确定函数在定义域上的单调性，如果函数是单调函数，则函数的反函数存在(3)利用原函数的解析式，解出自变量x，如果x是唯一的，则函数的反函数存在对点训练_1判断下列函数是否存在反函数(1)y2；(2)y2x24x，x(1，)解析(1)y2是由函数y向左平移1个单位，向下平移2个单位得到，在(，1)，(1，)上是减函数，因此任意给定值域中的一个值，只有唯一的x值与之对应，所以函数存在反函数(2)y2x24x2(x1)22，对称轴为x1，在(1，)上是减函数，因此任意给定值域中的一个值，只有唯一的x值与之对应，所以函数存在
6、反函数题型求反函数典例剖析_典例2求下列函数的反函数(1)y2x1(xR)；(2)y1ln(x1)(x1)；(3)y(xR且x1)分析按照求反函数的步骤求反函数解析(1)函数y2x1，当xR时，y0方法一：x1log2y，x1log2y，x，y互换得反函数为y1log2x(x0)方法二：对y2x1中的x，y互换得x2y1，y1log2x，即反函数为y1log2 x(x0)(2)由y1ln(x1)，得xey11，又由x1，知yR，反函数为yex11(xR)(3)y1(xR且x1)，yR且y1对y，x，y互换得x，反函数为y(xR且x1)规律方法：1.求反函数时，要先确定原函数的值域2两种方法：x
7、，y先互换，再求y与先求x，再x，y互换3最后要注明反函数的定义域对点训练_2求下列函数的反函数(1)y(1x2)；(2)yx21(x0)；(3)ylog2(x0)解析(1)1x2，02xx21，y0,1y，y22xx2，(x1)2y21，(x1)21y2，x1,2，x1，反函数为y1(0x1)(2)yx21(x0)，y1x，x，y互换得反函数为y(x1)(3)x0，11，ylog20，12y，即x，x，y互换得反函数为y(x0)题型互为反函数的图像间的关系典例剖析_典例3已知函数yaxb(a0，a1)的图像过点(1,4)，其反函数的图像过点(2,0)，求a、b的值解析函数yaxb(a0，a1
8、)的反函数的图像过点(2,0)，函数yaxb的图像过点(0,2)，2a0b，b1yax1又函数yax1(a0，a1)的图像过点(1,4)，4a1，a3a3，b1规律方法：1.定义域、值域关系的应用原函数的定义域是反函数的值域，值域是反函数的定义域，在求值的过程中，可以利用这一关系，转化已知函数的求值，不必求出反函数或原函数2图像的应用原函数的图像与反函数的图像关于直线yx对称，点P(x，y)关于yx的对称点是P1(y，x)，利用这一关系可以将已知一条曲线上的点转化到另一条曲线上，直接求点或求值对点训练_3(1)设函数f(x)2lg (2x1)，则f1(0)的值为(B)A0B1C10D不存在(2
9、)设函数f(x)loga(xb)(a0，a1)的图像过点(2,1)，其反函数的图像过点(2,8)，则ab等于(C)A6B5C4D3解析(1)令f(x)0得：2lg (2x1)0x1，所以f1(0)1(2)函数f(x)loga(xb)(a0，a1)的图像过点(2,1)，其反函数的图像过点(2,8)则所以a3或a2(舍)，b1，所以ab4易错警示典例剖析_典例4函数ylog2x(x1)的反函数的定义域为_0，)_错解R函数ylog2x的反函数为y2x，xR辨析误解中忽视了反函数的定义域是原函数的值域正解函数ylog2x的反函数的定义域为原函数ylog2x的值域又x1，log2x0，反函数的定义域为0，)- 6 - 版权所有高考资源网
