1、2016-2017学年江西省南昌实验中学高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的代号用2B铅笔填涂在答卷的相应表格内）1巳知集合，是虚数单位，设Z为整数集，则集合ZN中的元素个数是（）A3个B2个C1个D0个2曲线的极坐标方程为=2cos，则曲线的直角坐标方程为（）A（x1）2+y2=1Bx2+（y1）2=1C（x2）2+y2=1Dx2+（y2）2=13已知f（x）为偶函数且f（x）dx=8，则f（x）dx等于（）A0B4C8D164曲线y=x3+2x+1在点P（1，4）处的切线与y轴交点
2、的纵坐标是（）A9B3C1D35已知复数z1=1+i，z2=1+bi，i为虚数单位，若为纯虚数，则实数b的值是（）A1B1C2D26设曲线l极坐标方程为cossin+1=0，曲线C的参数方程为，A，B为曲线l与曲线C的两个交点，则|AB|=（）A1BCD7假设行列式的计算公式： =adbc，若f（x）=，则函数f（x）的单调减区间为（）AB（1，1）CD（2，2）8函数y=2x33x212x+5在区间0，3上最大值与最小值分别是（）A5，15B5，4C4，15D5，169已知为非零向量，函数，则使f（x）的图象为关于y轴对称的抛物线的一个必要不充分条件是（）ABCD10观察下列等式：可以推测：
3、13+23+33+n3=_（nN*，用含n的代数式表示）（）ABCD11已知直线l的参数方程为：（t为参数），圆C的极坐标方程为，则直线l与圆C的位置关系为（）A相切B相交C相离D无法确定12给出定义：若（其中m为整数），则m叫做离实数x最近的整数，记作x=m在此基础上给出下列关于函数f（x）=|xx|的四个命题：函数y=f（x）的定义域为R，值域为；函数y=f（x）的图象关于直线（kZ）对称；函数y=f（x）是周期函数，最小正周期为1；函数y=f（x）在上是增函数其中正确的命题的序号是（）ABCD二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将正确答案填空在答卷上）13写出命题“xR，
4、ax2+4x+10”的否定形式：14设曲线y=x4+ax+3在x=1处的切线方程是y=x+b，则a=15若（2x+）dx=3+ln2（a1），则a的值是16请阅读下列材料：若两个正实数a1，a2满足a12+a22=1，那么a1+a2证明：构造函数f（x）=（xa1）2+（xa2）2=2x22（a1+a2）x+1，因为对一切实数x，恒有f（x）0，所以0，从而得4（a1+a2）280，所以a1+a2根据上述证明方法，若n个正实数满足a12+a22+an2=1时，你能得到的结论为三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17设P（x，y）是曲线C：（为参数，02
5、）上任意一点，（1）将曲线化为普通方程；（2）求的取值范围18利用数学归纳法证明：19已知实数x，y满足x2+y2=2x，则x2y2的取值范围是20已知，q：x22x+（1m2）0，若“p”是“q”的必要而不充分条件，求实数m的取值范围21设函数f（x）=x2+bln（x+1），其中b0（1）若b=12，求f（x）在1，3的最小值；（2）如果f（x）在定义域内既有极大值又有极小值，求实数b的取值范围22已知（1）求函数f（x）的单调区间；（2）求函数f（x）在t，t+2（t0）上的最小值；（3）对一切的x（0，+），2f（x）g（x）+2恒成立，求实数a的取值范围2016-2017学年江西省南
6、昌实验中学高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的代号用2B铅笔填涂在答卷的相应表格内）1巳知集合，是虚数单位，设Z为整数集，则集合ZN中的元素个数是（）A3个B2个C1个D0个【考点】交集及其运算；复数代数形式的乘除运算【分析】先根据复数的运算求和集合N，根据交集的定义求出ZN，数出元素的个数即可【解答】解： =i，1，i，2ZN=1，2，有2个元素故选B2曲线的极坐标方程为=2cos，则曲线的直角坐标方程为（）A（x1）2+y2=1Bx2+（y1）2=1C（x2）2+
7、y2=1Dx2+（y2）2=1【考点】简单曲线的极坐标方程；点的极坐标和直角坐标的互化【分析】等式两边同乘，转化成直角坐标方程，再变成为圆的标准式方程【解答】解：=2cos2=2cosx2+y2=2xx22x+1+y2=1，即（x1）2+y2=1，故选A3已知f（x）为偶函数且f（x）dx=8，则f（x）dx等于（）A0B4C8D16【考点】定积分【分析】根据定积分的几何意义知，定积分的值66f（x）dx是f（x）的图象与x轴所围成的平面图形的面积的代数和，结合偶函数的图象的对称性即可解决问题【解答】解：原式=f（x）dx+06f（x）dx原函数为偶函数，在y轴两侧的图象对称，对应的面积相等，
8、则66f（x）dx=82=16故选D4曲线y=x3+2x+1在点P（1，4）处的切线与y轴交点的纵坐标是（）A9B3C1D3【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】求出函数的导数，可得切线的斜率，由点斜式方程可得切线方程，再令x=0，即可得到所求纵坐标【解答】解：y=x3+2x+1的导数为y=3x2+2，可得在点P（1，4）处的切线斜率为3+2=5，曲线在点P（1，4）处的切线方程为y4=5（x1），令x=0，可得y=45=1故选：C5已知复数z1=1+i，z2=1+bi，i为虚数单位，若为纯虚数，则实数b的值是（）A1B1C2D2【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】利用复数的运算法则
9、、纯虚数的定义即可得出【解答】解： =+i，为纯虚数，=0，0，解得b=1故选：B6设曲线l极坐标方程为cossin+1=0，曲线C的参数方程为，A，B为曲线l与曲线C的两个交点，则|AB|=（）A1BCD【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程【分析】先将直线的极坐标方程化为直角坐标方程，曲线C的参数方程化为普通方程，然后利用代数法或几何法解答【解答】方法一：代数法直线l：cossin+1=0xy+1=0，曲线C： x2+y2=2，联立，得x2+（x+1）22=0，即2x2+2x1=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），由韦达定理，所以=，选D方法二：几何法直线l：cossin
10、+1=0xy+1=0，曲线C： x2+y2=2，圆心（0，0）到直线xy+1=0的距离，半径，所以，选D注：当然此题也可以直接求出A，B两点的坐标，然后利用两点之间的距离公式求解7假设行列式的计算公式： =adbc，若f（x）=，则函数f（x）的单调减区间为（）AB（1，1）CD（2，2）【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】根据题意，由行列式的计算公式可得函数f（x）的解析式，对其求导可得f（x）=3x23=3（x21），令其导数小于0可得3（x21）0，解可得x的取值范围，即可得答案【解答】解：根据题意，f（x）=xx23x=x33x，对其求导可得：f（x）=3x23=3（x21），令f
11、（x）=3（x21）0，解可得1x1，即函数f（x）的单调减区间为（1，1）；故选：B8函数y=2x33x212x+5在区间0，3上最大值与最小值分别是（）A5，15B5，4C4，15D5，16【考点】利用导数求闭区间上函数的最值【分析】对函数y=2x33x212x+5求导，利用导数研究函数在区间0，3上的单调性，根据函数的变化规律确定函数在区间0，3上最大值与最小值位置，求值即可【解答】解：由题意y=6x26x12令y0，解得x2或x1故函数y=2x33x212x+5在（0，2）减，在（2，3）上增又y（0）=5，y（2）=15，y（3）=4故函数y=2x33x212x+5在区间0，3上最大
12、值与最小值分别是5，15故选A9已知为非零向量，函数，则使f（x）的图象为关于y轴对称的抛物线的一个必要不充分条件是（）ABCD【考点】抛物线的简单性质【分析】首先把函数解析式展开整理，根据函数的图象关于y轴对称可判断出函数解析式中的一次项系数为0，进而求得|和|的关系【解答】解： =x2+（22）x+，f（x）的图象为关于y轴对称，所以 22=0，|=|=|故选C10观察下列等式：可以推测：13+23+33+n3=_（nN*，用含n的代数式表示）（）ABCD【考点】归纳推理【分析】根据所给出的几个等式，可以看出，等式左边各项幂的底数的和等于右边的幂的底数，故可推测结论【解答】解：根据所给等式
13、13=1213+23=32=（1+2）213+23+33=62=（1+2+3）213+23+33+43=102=（1+2+3+4）2可以看出，等式左边各项幂的底数的和等于右边的幂的底数，推测：13+23+33+n3=（1+2+n）2=故选C11已知直线l的参数方程为：（t为参数），圆C的极坐标方程为，则直线l与圆C的位置关系为（）A相切B相交C相离D无法确定【考点】参数方程化成普通方程【分析】消去t为参数可得直线l的普通方程；根据x=cos，y=sin带入可得圆C的直角坐标方程圆心到直线的距离与半径比较可得直角的关系【解答】解：直线l的参数方程为：，消去t为参数可得：2xy+1=0圆C的极坐标
14、方程为，根据x=cos，y=sin带入可得：，圆心为（0，），半径r=那么：圆心到直线的距离d=d，直线l与圆C相交故选B12给出定义：若（其中m为整数），则m叫做离实数x最近的整数，记作x=m在此基础上给出下列关于函数f（x）=|xx|的四个命题：函数y=f（x）的定义域为R，值域为；函数y=f（x）的图象关于直线（kZ）对称；函数y=f（x）是周期函数，最小正周期为1；函数y=f（x）在上是增函数其中正确的命题的序号是（）ABCD【考点】四种命题的真假关系；函数的值域；函数的单调性及单调区间；奇偶函数图象的对称性【分析】根据让函数解析式有意义的原则确定函数的定义域，然后根据解析式易用分析法
15、求出函数的值域；根据f（kx）与f（x）的关系，可以判断函数y=f（x）的图象是否关于直线（kZ）对称；再判断f（x+1）=f（x）是否成立，可以判断的正误；而由的结论，易判断函数y=f（x）在上的单调性，但要说明不成立，我们可以举出一个反例【解答】中，令x=m+a，a（，f（x）=|xx|=|a|0，所以正确；中f（kx）=|（kx）kx|=|（x）x|=f（x）所以关于对称，故正确；中，f（x+1）=|（x+1）x+1|=|xx|=f（x）所以周期为1，故正确；中，x=时，m=1，f（）=x=时，m=0，f（）=所以f（）=f（）所以错误故选C二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20
16、分，请将正确答案填空在答卷上）13写出命题“xR，ax2+4x+10”的否定形式：xR，ax2+4x+10【考点】命题的否定【分析】通常像“所有”、“任意”、“每一个”等表示全体的量词在逻辑中称为全称量词，通常用符号“x”表示“对任意x”；“有一个”、“有些”、“存在一个”等表示部分的量词在逻辑中称为存在量词，通常用符号“x”表示“存在x”【解答】解：命题“xR，ax2+4x+10的否定形式是特称命题；“xR，ax2+4x+10”故答案为：xR，ax2+4x+1014设曲线y=x4+ax+3在x=1处的切线方程是y=x+b，则a=3【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】求出函数的导数，
17、可得曲线在x=1处切线的斜率，由已知切线方程可得a的方程，解方程可得a的值【解答】解：y=x4+ax+3的导数为y=4x3+a，可得曲线y=x4+ax+3在x=1处的切线斜率为4+a，切线方程是y=x+b，可得4+a=1，解得a=3故答案为：315若（2x+）dx=3+ln2（a1），则a的值是2【考点】微积分基本定理【分析】根据题意找出2x+的原函数，然后根据积分运算法则，两边进行计算，求出a值；【解答】解： =（x2+lnx） =a2+lna（1+ln1）=3+ln2，a1，a2+lna=4+ln2=22+ln2，解得a=2，故答案为：2；16请阅读下列材料：若两个正实数a1，a2满足a1
18、2+a22=1，那么a1+a2证明：构造函数f（x）=（xa1）2+（xa2）2=2x22（a1+a2）x+1，因为对一切实数x，恒有f（x）0，所以0，从而得4（a1+a2）280，所以a1+a2根据上述证明方法，若n个正实数满足a12+a22+an2=1时，你能得到的结论为a1+a2+an【考点】类比推理【分析】由类比推理知识可构造函数f（x）=（xa1）2+（xa2）2+（xan）2=nx22（a1+a2+an）x+1，由对一切实数x，恒有f（x）0，所以0，即可得到结论【解答】解：构造函数f（x）=（xa1）2+（xa2）2+（xan）2=nx22（a1+a2+an）x+1，由对一切实
19、数x，恒有f（x）0，所以0，得a1+a2+an故答案为：a1+a2+an三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17设P（x，y）是曲线C：（为参数，02）上任意一点，（1）将曲线化为普通方程；（2）求的取值范围【考点】参数方程化成普通方程【分析】（1）利用三角函数的平方关系式消去，即可得到普通方程（2）利用圆的圆心到直线的距离等于半径求出k的最值，即可得到结果【解答】解：（1）曲线C：（为参数，02），即，两式平方和可得：（x+2）2+y2=1；（2）设y=kx，则kxy=0，1=，k2=，k=，18利用数学归纳法证明：【考点】数学归纳法【分析】用数学
20、归纳法证明：（1）当n=1时，去证明等式成立；（2）假设当n=k时，等时成立，用上归纳假设后，去证明当n=k+1时，等式也成立即可【解答】解：（1）当n=1时，左边=1=，右边=，命题成立（2）假设当n=k时命题成立，即1+=+，那么当n=k+1时，左边=1+=+=+，上式表明当n=k+1时命题也成立由（1）（2）知，命题对一切正整数均成立19已知实数x，y满足x2+y2=2x，则x2y2的取值范围是0，【考点】基本不等式【分析】由x2+y2=2x，得y2=2xx200x2，x2y2=2x3x4，构造函数f（x）=2x3x4（0x2），利用导数法可求得函数的单调区间与极值，从而可求其值域【解答
21、】解：由x2+y2=2x，得y2=2xx20，0x2，x2y2=x2（2xx2）=2x3x4设f（x）=2x3x4（0x2），则f（x）=6x24x3=2x2（32x），当0x时，f（x）0，函数f（x）在（0，）上单调递增；当x2时，f（x）0，函数f（x）在（，2）上单调递减，当x=时，函数取得极大值，也是最大值，f（）=，当x=0、x=2时，f（x）=0，函数f（x）的值域为0，即0x2y2故答案为：0，20已知，q：x22x+（1m2）0，若“p”是“q”的必要而不充分条件，求实数m的取值范围【考点】命题的真假判断与应用【分析】分别求出“p”和“q”对应的x取值范围A和B，根据“p”是
22、“q”的必要而不充分条件，则BA可得答案【解答】（本小题12分）解：由，解得2x10，“p”：A=（，2）（10，+）由q：x22x+（1m2）0，解得：1|m|x1+|m|，“q”：B=（，1|m|）（10，1+|m|）由“p”是“q”的必要而不充分条件可知：BA1|m|2，且1+|m|10，解得|m|9满足条件的m的取值范围为（，99，+）21设函数f（x）=x2+bln（x+1），其中b0（1）若b=12，求f（x）在1，3的最小值；（2）如果f（x）在定义域内既有极大值又有极小值，求实数b的取值范围【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；函数在某点取得极值的条件【分析】（1）当b=12时
23、令由得x=2则可判断出当x1，2）时，f（x）单调递减；当x（2，3时，f（x）单调递增故f（x）在1，3的最小值在x=2时取得（2）要使f（x）在定义域内既有极大值又有极小值即f（x）在定义域内与X轴有三个不同的交点即使在（1，+）有两个不等实根即2x2+2x+b=0在（1，+）有两个不等实根这可以利用一元二次函数根的分布可得解之求b的范围【解答】解：（1）由题意知，f（x）的定义域为（1，+）b=12时，由，得x=2（x=3舍去），当x1，2）时f（x）0，当x（2，3时，f（x）0，所以当x1，2）时，f（x）单调递减；当x（2，3时，f（x）单调递增，所以f（x）min=f（2）=41
24、2ln3（2）由题意在（1，+）有两个不等实根，即2x2+2x+b=0在（1，+）有两个不等实根，设g（x）=2x2+2x+b，则，解之得22已知（1）求函数f（x）的单调区间；（2）求函数f（x）在t，t+2（t0）上的最小值；（3）对一切的x（0，+），2f（x）g（x）+2恒成立，求实数a的取值范围【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）通过讨论t的范围，求出函数f（x）的最小值即可；（3）问题转化为2xlnx3x2+2ax+1，可得alnxx，设h（x）=lnxx，根据函数的单调性求
25、出a的范围即可【解答】解：（1）f（x）=lnx+1，令f（x）0，解得：0x，令f（x）0，解得：x，f（x）在（0，）递减，在（，+）递增；（2）（）0tt+2，t无解；（）0tt+2，即0t时，f（x）min=f（）=；（）tt+2，即t时，f（x）在t，t+2递增，f（x）min=f（t）=tlnt，f（x）min=；（3）由题意：2xlnx3x2+2ax1+2在x（0，+）上恒成立，即2xlnx3x2+2ax+1，可得alnxx，设h（x）=lnxx，则h（x）=，令h（x）=0，得x=1，x=（舍）当0x1时，h（x）0；当x1时，h（x）0，当x=1时，h（x）取得最大值，h（x）max=2，a22017年3月11日