1、数学（理）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知命题，则是成立的（ ）条件A充分不必要B必要不充分C既不充分也不必要D充要2已知双曲线的离心率为2，则双曲线的渐近线方程为（ ）ABCD3如图，长方体中，、分别是、的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ）A B C D04已知函数在上是单调函数，则实数的取值范围是（ ）ABCD5设函数在定义域内可导，的图象如下图所示，则导函数的图象可能是（ ）6已知函数的导函数的图象如图所示，若为锐角三角形，则一定成立的是（ ）ABC D7已知命题存在实数，满足；命题()则下列命题为真命题的是（ ）A
2、BCD8已知，若点是抛物线上任意一点，点是圆上任意一点，则的最小值为（ ）A6B8C10D129如图所示，在正四面体中，为棱的中点，则与平面的夹角的正弦值为（ ）A BCD10.“平面内，动点到两个定点的距离之和为一定值”是“动点的轨迹为椭圆”的（ ）A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件11设椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆的外部，点是椭圆上的动点，满足恒成立，则椭圆离心率的取值范围是（ ）A BCD12设点是棱长为2的正方体的棱的中点，点在面所在的平面内，若平面分别与平面和平面所成的锐二面角相等，则点到点的最短距离是（ ）ABC1D二、填空题：（本大
3、题共4小题，每小题5分）13若不等式与关于不等式的解集相同，则_14.如果对任何实数k，直线(3k)x(1-2k)y15k=0都过一个定点A，那么点A的坐标是 15如图，在长方体中，点在棱上若二面角的大小为，则_16以下四个关于圆锥曲线的命题：设，是两个定点，为非零常数，若，则的轨迹是双曲线；过定圆上一定点作圆的弦，为原点，若向量则动点的轨迹是椭圆；方程的两根可以分别作为椭圆和双曲线的离心率；双曲线与椭圆有相同的焦点其中正确命题的序号为_三、解答题：（本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（10分）已知p：，q：，其中(1)若p是q的充分不必要条件，求实数a的范
4、围；(2)若p是q的必要不充分条件，求实数a的范围；18（12分）设函数（1）当时，求的单调区间；（2）若在上的最大值为，求的值19（12分）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，直线过点，且与抛物线交于，两点（1）求抛物线的方程及点的坐标；（2）求的最大值20（12分）已知几何体的三视图如图所示，其中左视图和俯视图都是腰长为4的等腰直角三角形，主视图为直角梯形（1）求几何体的体积；（2）求直线与平面所成角的大小21（12分）已知点和点，记满足的动点的轨迹为曲线（1）求曲线的方程；（2）已知直线与曲线有两个不同的交点、，且与轴相交于点若向量，为坐标原点，求面积22（12分）已知函数在处取得极小值（
5、1）求函数的增区间；（2）若对任意恒成立，求实数的取值范围理数答案1【答案】B【解析】由，得，是成立的必要不充分条件故选B2【答案】C【解析】由双曲线，可得，离心率为，则，所以双曲线的渐近线方程为，故选C3【答案】D【解析】以，所在直线为，轴，建立空间直角坐标系，则可得，设异面直线与所成的角为，则，故选D4【答案】D【解析】，在上是单调函数，且的图象是开口向下的抛物线，恒成立，故选D5【答案】A【解析】在上为增函数，在上变化规律是减增减，因此的图象在上，在上的符号变化规律是负正负，故选A6【答案】A【解析】由导函数图象可知，时，即单调递增，又为锐角三角形，则，即，故，即，故，故选A7【答案】A
6、【解析】当时，满足，故命题是真命题，则是假命题，当时，不等式不成立，故命题是假命题，则是真命题，则是真命题，其余为假命题故选A8【答案】B【解析】抛物线的焦点，准线方程为，圆的圆心为，半径为1，由抛物线定义知：点到直线的距离，的最小值即到准线距离，的最小值为，故选B9【答案】B【解析】在正四面体中，设棱长为，为棱的中点，如下图所示过做平面，则为平面的中心，延长交于，过做，连接，所以就是所求的与平面的夹角所以，求得，所以，利用，解得，所以，在中，故选B10B11【答案】D【解析】点在椭圆的外部，由椭圆的离心率，又因为，且，要恒成立，即，则椭圆离心率的取值范围是故选D12【答案】A【解析】设在平面
7、上的射影为，在平面上的射影为，平面与平面和平面成的锐二面角分别为，则，设到距离为，则，即点在与直线平行且与直线距离为的直线上，到的最短距离为，故答案为A13【答案】【解析】由有，由于绝对值不等式的解集和的解集相同，故，是一元二次方程的两个根，由韦达定理得，两式相除得14. 15【答案】【解析】以为原点，以，为，轴的正方向，建立空间直角坐标系，设，平面的法向量为，由题可知，平面的一个法向量为轴，可取平面的法向量为，为平面的法向量，令，则，二面角的大小为，即，解得，（舍去），故答案为16【答案】【解析】不正确；若动点的轨迹为双曲线，则要小于，为两个定点间的距离，当点在顶点的延长线上时，显然这种曲线
8、是射线，而非双曲线；不正确；根据平行四边形法则，易得是的中点，根据垂径定理，圆心与弦的中点连线垂直于这条弦，设圆心为，那么有，即恒为直角，由于是圆的半径，是定长，而恒为直角，也就是说，在以为直径的圆上运动，为直径所对的圆周角，所以点的轨迹是一个圆，如图，正确；方程的两根分别为和可分别作为椭圆和双曲线的离心率；正确；双曲线与椭圆焦点坐标都是，故答案为17.解：设p对应集合，q对应集合(1)当p是q的充分不必要条件时， 故且 (2) 当p是q的必要不充分条件时，当时，满足条件当且时，得，综上可知 18【解析】函数的定义域为，（1）当时，当时，当时，所以的单调递增区间为，单调递减区间为（2）当时，即
9、在上单调递增，故在上的最大值为，因此19【解析】（1），（2）由题意，显然直线斜率不为0，设直线，联立，得，设，所以，当时，最大值为920【答案】（1）；（2）【解析】（1）由该几何体的三视图可知平面，且，几何体的体积（2）分别以、方向为、轴建立空间直角坐标系，则：，所以，设平面的法向量为，于是可以取设与平面所成的角为，则：与平面所成的角为21【解析】（1）设点为曲线上任意一点，由得，整理得为所求（2）设，且，由得，依题意，直线显然不平行于坐标轴，且不经过点或点，故可化为，由得，且，又，消去，整理得，即，的面积22【解析】（1），由题意知，即，解得，则，令，解得，或，所以函数的增区间为，（2）由于，则当时，的最大值为，要使对恒成立，只要，即，解得或所以实数的取值范围是