1、1 知识网络宏观掌控2 热点透视专题突破热点一 转化与化归思想 例 1 设 f(x)axax2，g(x)axax2，其中 a0 且 a1.(1)请你推测 g(5)能否用 f(2)，f(3)，g(2)，g(3)来表示；(2)从(1)中的解能获得什么结论？能否将其推广？分析：先将 g(5)用 f(2)，f(3)，g(2)，g(3)表示出来，再推广到一般情况解析：(1)f(3)g(2)g(3)f(2)a3a32a2a22a3a32a2a22a5a52，g(5)a5a52，g(5)f(3)g(2)g(3)f(2)(2)由 g(5)f(3)g(2)g(3)f(2)，得 g(32)f(3)g(2)g(3)
2、f(2)，推测 g(xy)f(x)g(y)g(x)f(y)证明：f(x)axax2，g(x)axax2，大前提f(y)ayay2，g(y)ayay2，g(xy)axyaxy2，小前提 f(x)g(y)g(x)f(y)axax2 ayay2 axax2 ayay2axyaxy2g(xy)结论热点二 分类讨论思想例 2 已知 abc0，abc0，abbcca0.求证：a，b，c 都大于 0.证明：假设 a0 不成立，则 a0，分两种情况证明当 a0 时，abc0，bc0.又abc0，bca0，a(bc)0，从而 abbccaa(bc)bc0，与已知矛盾当 a0 时，abc0，与 abc0 矛盾，由
3、以上分析可知假设不成立，因此 a0.同理证得，b0，c0，a，b，c 都大于 0.热点三 数形结合思想例 3 如图所示是树形图，第一层是一条与水平线垂直的线段，长度为 1；第二层在第一层线段的上端作两条与该线段均成 135角的线段，长度为其一半；第三层按第二层的方法在每一条线段的上端生成两条线段；重复前面的作法作图至第 n 层设树形图的第 n 层的最高点到水平线的距离和为 n 层树形图的高度(1)求第三层及第四层树形图的高度 H3，H4；(2)求第 n 层树形图的高度 Hn.分析：求出前四层的竖直高度，找出规律，进行猜想解析：(1)设题中树形图中新生出的各层高度所构成的数列为an，则 a11，
4、a212 22，a3 122，a4 123 22，所以第三层树形图的高度为 H3a1a2a35 24.第四层树形图的高度为 H4a1a2a3a4205 216.(2)易知an2an 14(nN*)，所以树形图中新生出的第 n 层高度 an 12n1n为奇数12n1 22 n为偶数.所以当 n 为奇数时，第 n 层树形图的高度为 Hn43112n1 23112n1；当 n 为偶数时，第 n 层树形图的高度为：Hn43112n 23 112n.热点四 归纳、猜想、证明例 4 在 1 与 2 之间插入 n 个正数 a1，a2，a3，an，使这(n2)个数成等比数列；又在 1 与 2 之间插入 n 个
5、正数 b1，b2，b3，bn，使这(n2)个数成等差数列记 Ana1a2a3an，Bnb1b2b3bn.(1)求数列An和Bn的通项；(2)当 n7 时，比较 An 与 Bn 的大小，并证明你的结论解析：(1)1，a1，a2，a3，an,2 成等比数列，a1ana2an1a3an2akank1122，A2n(a1an)(a2an1)(a3an2)(an1a2)(ana1)(12)n2n，An2n2(由已知 An0)1，b1，b2，b3，bn,2 成等差数列，b1bn123，Bnb1bn2n32n.数列An的通项为 An2n2，数列Bn的通项为 Bn32n.(2)An2n2，Bn32n，A2n2
6、n，B2n94n2，要比较 An 与 Bn 的大小，只需比较 A2n与 B2n的大小，也即比较当 n7时，2n 与94n2 的大小当 n7 时，2n128，94n294494414.2n94n2，经验证，当 n8，n9 时，均有 2n94n2 成立猜想当 n7 时，有 2n94n2.用数学归纳法证明如下：当 n7 时，已验证 2n94n2，命题成立假设当 nk(k7，kN*)时，命题成立，即 2k94k2，那么 2k1294k2，又当 k7 时，有 2k2k22k1，2k194(k22k1)94(k1)2.这就是说，当 nk1 时，命题 2n94n2 成立根据可知命题对 n7，nN*都成立，故
7、当 n7，nN*时，AnBn.【专题突破】1设函数 f(x)xx2(x0)，观察：f1(x)f(x)xx2，f2(x)f(f1(x)x3x4，f3(x)f(f2(x)x7x8，f4(x)f(f3(x)x15x16，根据以上事实，由归纳推理可得：当 nN*且 n2 时，fn(x)f(fn1(x)_.解析：根据题意，先求函数结果的分母中 x 项系数所组成数列的通项公式由 1,3,7,15，可推知该数列的通项公式为 an2n1.又函数的分母中常数项依次为 2,4,8,16，故其通项公式为 bn2n，所以当 n2 时，fn(x)f(fn1(x)x2n1x2n.答案：x2n1x2n2观察下列等式1123
8、4934567254567891049照此规律，第 n 个等式为_解析：观察等式左侧：第一行有 1 个数是 1；第二行是 3 个连续自然数的和，第一个数为 2；第三行是连续 5 个自然数的和，第一个数为 3；第四行是连续 7 个自然数的和，第一个数为 4.依此规律，第 n行是(2n1)个连续自然数的和，其中第一个数为 n，第 n 行左侧为：n(n1)(n2)n(2n2)n(n1)(n2)(3n2)；等式右侧：第一行 112，第二行 932，第三行 2552，第四行 4972.依此规律，第 n 行是(2n1)2，第 n 个等式为 n(n1)(n2)(3n2)(2n1)2.答案：n(n1)(n2)
9、(3n2)(2n1)23传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数他们研究过如图所示的三角形数：将三角形数 1,3,6,10，记为数列an，将可被 5 整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列bn，可以推测：(1)b2 012 是数列an中的第_项；(2)b2k1_.(用 k 表示)解析：(1)由题意可得，a11，a23，a36，a410，a2a12，a3a23，a4a34，anan1n.以上各式相加得，ana123nn1n22，故 annn12.因此，b1a410，b2a515，b3a945，b4a1055，由此归纳出 b2 012a5 030.(2)b1a4452
10、，b3a99102，b5a1414152，.归纳出 b2k15k5k12.答案：(1)5 030(2)5k5k124设 a，b，c 均为正数，且 abc1.证明：(1)abbcac13；(2)a2b b2c c2a1.证明：(1)由 a2b22ab，b2c22bc，c2a22ac 得a2b2c2abbcca.由题设得(abc)21，即 a2b2c22ab2bc2ca1.所以 3(abbcca)1，即 abbcca13.(2)因为a2b b2a，b2c c2b，c2aa2c，故a2b b2c c2a(abc)2(abc)，即a2b b2c c2aabc.所以a2b b2c c2a1.5已知数列a
11、n满足：a112，31an11an21an1an1，anan10(n1)，数列bn满足：bna2n1a2n(n1)(1)求数列an，bn的通项公式；(2)求证：数列bn中的任意三项不可能成等差数列解析：(1)由题意可知，1a2n123(1a2n)令 cn1a2n，则 cn123cn.又 c11a2134.则数列cn是首项为 c134，公比为23的等比数列，即 cn3423n1，故 1a2n3423n1.a2n13423n1.又 a1120，anan10，故 an(1)n113423n1，bna2n1a2n13423n 13423n1 1423n1 1423n1.(2)证明(反证法)：假设数列bn存在三项 br，bs，bt(rst)按某种顺序成等差数列，由于数列bn是首项为14，公比为23的等比数列，于是有 brbsbt，则只能有 2bsbrbt 成立，21423s11423r11423t1，两边同乘 3t121r，化简，得 3tr2tr22sr3ts.由于 rst，上式左边为奇数，右边为偶数，故上式不可能成立，故数列bn中任意三项不可能成等差数列