1、江苏省苏州市西安交大苏州附中2015届高三上学期10月月考数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上1（5分）已知集合A=x|xa，B=x|1x2，A（RB）=R，则实数a的取值范围是2（5分）命题：“若a2+b2=0，（a，bR），则a=0且b=0”的逆否命题是3（5分）已知函数f（x）=2x+log3x+cosx，则f（x）=4（5分）已知函数f（x）=的值域是0，+），则实数m的取值范围是5（5分）已知定义域为R的函数f（x）为奇函数，且满足f（x+2）=f（x），当x0，1时，f（x）=2x1，则=6（5分）若f（x）=3x+sin
2、x，则满足不等式f（2m1）+f（3m）0的m的取值范围为7（5分）已知函数y=f（x）+x3为偶函数，且f（10）=10，若函数g（x）=f（x）+4，则g（10）=8（5分）计算：=9（5分）已知函数f（x）=x23x+m，g（x）=2x24x，若f（x）g（x）恰在x1，2上成立，则实数m的值为10（5分）司机酒后驾驶危害他人的安全，一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3 mg/mL，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少，为了保障交通安全，某地根据道路交通安全法规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09 mg/mL，那么，一个喝了少量酒后的驾驶员，至少经
3、过小时，才能开车？（精确到1小时）11（5分）已知函数，则=12（5分）函数f（x）的定义域为实数集R，f（x）=对于任意的xR都有f（x+1）=f（x1）若在区间1，3上函数g（x）=f（x）mxm恰有四个不同的零点，则实数m的取值范围是13（5分）设函数f（x）=（a0）的定义域为D，若所有点（s，f（x）（s，tD）构成一个正方形区域，则a的值为14（5分）定义在（0，+）上的函数f（x）满足：当x1，3）时，f（x）=1|x2|；f（3x）=3f（x）设关于x的函数F（x）=f（x）a的零点从小到大依次为x1，x2，xn，（nN*）若a（1，3），则x1+x2+x2n1+x2n=（用n
4、表示）二、解答题：本大题共6小题，共计90分解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域内15（14分）设命题p：实数x满足x24ax+3a20，其中a0，命题q：实数x满足（）若a=1，且pq为真，求实数x的取值范围；（）若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围16（14分）已知四边形ABCD是矩形，AB=，BC=，将ABC沿着对角线AC折起来得到AB1C，且顶点B1在平面AB=CD上射影O恰落在边AD上，如图所示（1）求证：AB1平面B1CD；（2）求三棱锥B1ABC的体积VB1ABC17（14分）过去的2013年，我国多地区遭遇了雾霾天气，引起口罩热销某
5、品牌口罩原来每只成本为6元售价为8元，月销售5万只（1）据市场调查，若售价每提高0.5元，月销售量将相应减少0.2万只，要使月总利润不低于原来的月总利润（月总利润=月销售总收入月总成本），该口罩每只售价最多为多少元？（2）为提高月总利润，厂家决定下月进行营销策略改革，计划每只售价x（x9）元，并投入（x9）万元作为营销策略改革费用据市场调查，每只售价每提高0.5元，月销售量将相应减少万只则当每只售价x为多少时，下月的月总利润最大？并求出下月最大总利润18（16分）已知函数f（x）=x2alnx（aR）（）若函数f（x）在x=2时取极值，求实数a的值；（）若f（x）0对任意x1，+）恒成立，求实
6、数a的取值范围19（16分）已知函数f（x）=log2（4x+1）+kx（kR）是偶函数（1）求k的值；（2）设函数，其中a0若函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个交点，求a的取值范围20（16分）已知函数f（x）=ax+xlnx的图象在点x=e（e为自然对数的底数）处的切线的斜率为3（1）求实数a的值；（2）若f（x）kx2对任意x0成立，求实数k的取值范围；（3）当nm1（m，nN*）时，证明：江苏省苏州市西安交大苏州附中2015届高三上学期10月月考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上1（5分）已知集合A=
7、x|xa，B=x|1x2，A（RB）=R，则实数a的取值范围是a|a2考点：集合关系中的参数取值问题 专题：计算题；探究型分析：先求出集合RB，利用A（RB）=R，确定实数a的取值范围解答：解：B=x|1x2，RB=x|x2或x1，要使A（RB）=R，则a2故答案为：a|a2点评：本题主要考查集合的基本运算，以及利用集合关系求参数问题，利用数形结合是解决此类问题的基本方法2（5分）命题：“若a2+b2=0，（a，bR），则a=0且b=0”的逆否命题是若a0，或b0（a，bR），则a2+b20考点：四种命题 专题：规律型分析：根据逆否命题的形式是条件、结论同时否定并交换，写出命题的逆否命题解答：
8、解：“若a2+b2=0，（a，bR），则a=0且b=0”的逆否命题是若a0，或b0（a，bR），则a2+b20，故答案为若a0，或b0（a，bR），则a2+b20点评：本题考查四种命题的形式，利用它们的形式写出需要的命题，注意“或”的否定是“且”，“且”的否定是“或”，属于基础题3（5分）已知函数f（x）=2x+log3x+cosx，则f（x）=2xln2+sinx考点：导数的运算 专题：导数的概念及应用分析：根据导数的运算法则解答解答：解：f（x）=（2x+log3x+cosx）=（2x）+（log3x）+（cosx）=2xln2+sinx故答案为：2xln2+sinx点评：本题考查了导数的
9、运算法则以及基本初等函数求导公式的运用，关键是熟练法则和公式4（5分）已知函数f（x）=的值域是0，+），则实数m的取值范围是0，19，+）考点：函数的值域；一元二次不等式的应用 专题：计算题分析：当m=0时，检验合适； m0时，不满足条件； m0时，由0，求出实数m的取值范围，然后把m的取值范围取并集解答：解：当m=0时，f（x）=，值域是0，+），满足条件；当m0时，f（x）的值域不会是0，+），不满足条件；当m0时，f（x）的被开方数是二次函数，0，即（m3）24m0，m1或 m9，综上，0m1或 m9，实数m的取值范围是：0，19，+）；故答案为0，19，+）点评：本题考查函数的值域及
10、一元二次不等式的应用5（5分）已知定义域为R的函数f（x）为奇函数，且满足f（x+2）=f（x），当x0，1时，f（x）=2x1，则=考点：函数的周期性；函数奇偶性的性质 专题：计算题分析：由题意可得f（x）的周期为4，而由对数的运算可化为f（），再结合奇函数的性质可化为f（），而0，1，代入已知公式可得答案解答：解：由题意可得：f（x+4）=f（x+2）+2=f（x+2）=f（x），故f（x）的周期为4故=f（log224）=f（log2（83）=f（3log23）=f（43log23）=f（）=f（）=f（），而0，1故f（）=，故答案为：点评：本题考查函数的性质，正确推理并运用函数的性质
11、是解决问题的关键，属基础题6（5分）若f（x）=3x+sinx，则满足不等式f（2m1）+f（3m）0的m的取值范围为m2考点：函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质 专题：函数的性质及应用分析：由题意可得f（x）为R上的奇函数和增函数，故原不等式可化为f（2m1）f（3m）=f（m3），即2m1m3，解之即可解答：解：f（x）=3xsinx=f（x），f（x）为R上的奇函数，又f（x）=3+cosx0，可得f（x）为R上的增函数故不等式f（2m1）+f（3m）0可化为：f（2m1）f（3m）=f（m3）故2m1m3，解得m2故答案为：m2点评：本题以不等式为载体，考查函数的单调性和奇偶性，
12、属基础题7（5分）已知函数y=f（x）+x3为偶函数，且f（10）=10，若函数g（x）=f（x）+4，则g（10）=2014考点：函数奇偶性的判断；函数的值 专题：函数的性质及应用分析：根据函数是偶函数，构建方程求出f（10）的值，即可以得到结论解答：解：函数y=f（x）+x3为偶函数，且f（10）=10，f（10）+（10）3=f（10）+103=10+103，f（10）=2010，则g（10）=f（10）+4=2010+4=2014，故答案为：2014点评：本题主要考查函数值的计算，利用函数的奇偶性是解决本题的关键8（5分）计算：=3考点：对数的运算性质；根式与分数指数幂的互化及其化简运
13、算 专题：计算题分析：由1.10=1，0.52=4，lg25+2lg=2（lg5+lg2），能求出的值解答：解：=1+44+2（lg5+lg2）=3故答案为：3点评：本题考查对数的运算性质和应用，是基础题解题时要认真审题，注意有理数指数幂的性质和应用9（5分）已知函数f（x）=x23x+m，g（x）=2x24x，若f（x）g（x）恰在x1，2上成立，则实数m的值为2考点：二次函数的性质 专题：函数的性质及应用分析：由题意得：1，2是方程x2xm=0的根，解出即可解答：解：由题意，x23x+m2x24x，即x2xm0的解集是1，2，1，2是方程x2xm=0的根，（x+1）（x2）=0，m=2，故
14、答案为：2点评：本题考查了二次函数的性质，以及其与不等式，方程的关系，本题属于基础题10（5分）司机酒后驾驶危害他人的安全，一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3 mg/mL，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少，为了保障交通安全，某地根据道路交通安全法规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09 mg/mL，那么，一个喝了少量酒后的驾驶员，至少经过5小时，才能开车？（精确到1小时）考点：函数模型的选择与应用 专题：应用题分析：先根据题意设x小时后，才能开车再结合题中条件：“血液中的酒精含量不超过0.09mg/mL，”得到一个关于x的不等关系，解之即得答案解答：
15、解：设x小时后，血液中的酒精含量不超过0.09mg/mL，则有0.3（）x0.09，即（）x0.3，令x=1、2、3、4，可得（）x0.3，当x=5时，（）50.3，则可得5小时后，可以开车故答案为：5点评：本小题主要考查函数模型的选择与应用、不等关系及指数不等式的解法等，属于基础题解决实际问题通常有四个步骤：（1）阅读理解，认真审题；（2）引进数学符号，建立数学模型；（3）利用数学的方法，得到数学结果；（4）转译成具体问题作出解答，其中关键是建立数学模型11（5分）已知函数，则=8考点：函数的值 专题：计算题分析：探究得到结论f（x）+f（5x）=8，利用之即可求得答案解答：解：f（x）=+
16、，f（5x）=+=+，f（x）+f（5x）=（+）+（+）+（+）+（+）=8+（）=5，f（+）+f（）=8故答案为：8点评：本题考查函数的值，突出考查观察能力与运算能力，属于中档题12（5分）函数f（x）的定义域为实数集R，f（x）=对于任意的xR都有f（x+1）=f（x1）若在区间1，3上函数g（x）=f（x）mxm恰有四个不同的零点，则实数m的取值范围是（0，考点：函数零点的判定定理 专题：函数的性质及应用分析：先确定2是f（x）的周期，作出函数的图象，利用在区间1，3上函数g（x）=f（x）mxm恰有四个不同零点，即可求实数m的取值范围解答：解：由题意，f（x+2）=f（1+x）+1
17、=f（1+x）1=f（x），所以2是f（x）的周期令h（x）=mx+m，则函数h（x）恒过点（1，0），函数f（x）=在区间1，3上的图象如图所示：由x=3时，f（3）=1，可得1=3m+m，则m=在区间1，3上函数g（x）=f（x）mxm恰有四个不同零点时，实数m的取值范围是（0，故答案为：（0，点评：本题考查函数的零点，考查数形结合的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题13（5分）设函数f（x）=（a0）的定义域为D，若所有点（s，f（x）（s，tD）构成一个正方形区域，则a的值为4考点：简单线性规划的应用 专题：计算题分析：由所有的点（s，f（t）（s，tD）构成一个正方形区
18、域知，函数的定义域与值域的区间长度相等，利用二次函数的最值与二次方程的根，建立a，b，c关系式，求得答案解答：解：设函数u=ax2+bx+c与x轴的两个交点的横坐标为：x1，x2，x1x2s为定义域的两个端点之间的长度，就是x1，x2f（t）（tD）就是f（x）的值域，也就是0，f（x）max，且所有的点（s，f（t）（s，tD）构成一个正方形区|x1x2|=|x1x2|=a=4故答案为：4点评：本题借助二次函数及二次方程的有关性质，探讨函数的定义域和值域问题，注意二次函数的开口方向，形式比较新颖，是个中档题14（5分）定义在（0，+）上的函数f（x）满足：当x1，3）时，f（x）=1|x2|
19、；f（3x）=3f（x）设关于x的函数F（x）=f（x）a的零点从小到大依次为x1，x2，xn，（nN*）若a（1，3），则x1+x2+x2n1+x2n=6（3n1）（用n表示）考点：分段函数的应用 专题：函数的性质及应用分析：根据分段函数的表达式，作出函数的图象，利用数形结合确定零点的取值关系，利用数列求和的公式即可得到结论解答：解：由当x1，3）时，可画出f（x）在1，3）上的图象，根据f（3x）=3f（x），只要将f（x）在1，3）上的图象沿x轴伸长到原来的3倍，再沿y轴伸长到原来的3倍即可得到f（x）在3，9）上的图象，以此类推，可得到在9，27），27，81）上的图象，关于x的函数F
20、（x）=f（x）a的零点，可看成函数y=f（x）与y=a图象交点的横坐标，由函数y=f（x）图象的对称性可知：如图，所以就有，因此点评：本题主要考查函数图象与性质及等比数列求和综合性较强难度较大，利用数形结合是解决本题的关键二、解答题：本大题共6小题，共计90分解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域内15（14分）设命题p：实数x满足x24ax+3a20，其中a0，命题q：实数x满足（）若a=1，且pq为真，求实数x的取值范围；（）若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围考点：充分条件；命题的真假判断与应用 分析：（1）pq为真，即p和q均为真，分别解出
21、p和q中的不等式，求交集即可；（2）p是q的充分不必要条件q是p的充分不必要条件，即qp，反之不成立即q中的不等式的解集是p中的不等式解集的子集解答：解：（1）a=1时，命题p：x24x+301x3命题q：2x3，pq为真，即p和q均为真，故实数x的取值范围是2x3（2）p是q的充分不必要条件q是p的充分不必要条件，即qp，反之不成立即q中的不等式的解集是p中的不等式解集的子集由（1）知命题q：2x3，命题p：实数x满足x24ax+3a20（xa）（x3a）0由题意a0，所以命题p：ax3a，所以，所以1a2点评：本题考查复合命题的真假、充要条件的判断、解二次不等式等知识，考查知识点较多，但难
22、度不大16（14分）已知四边形ABCD是矩形，AB=，BC=，将ABC沿着对角线AC折起来得到AB1C，且顶点B1在平面AB=CD上射影O恰落在边AD上，如图所示（1）求证：AB1平面B1CD；（2）求三棱锥B1ABC的体积VB1ABC考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定 专题：计算题；空间位置关系与距离分析：（1）利用线面垂直的判定，AB1CD，又AB1B1C，且B1CCD=CAB1平面B1CD；（2）AB1平面B1CD，AB1即棱锥的高，后算出底面ABC的面积，代人棱锥体积公式计算解答：解：（1）B1O平面ABCD，CD平面ABCD，B1OCD，又CDAD，ADB1O=OCD
23、平面AB1D，又AB1平面AB1DAB1CD，又AB1B1C，且B1CCD=CAB1平面B1CD； （6分）（2）由于AB1平面B1CD，B1D平面ABCD，AB1B1D，在RtAB1D中，B1D=2，又由B1OAD=AB1B1D 得，VB1ABC=SABCB1O=12分点评：本题考查的知识点是直线与平面垂直的判定，棱锥的体积，其中（1）的关键是熟练掌握线面垂直，线面垂直及线线垂直的相互转化，（2）的关键是判断出棱锥的高和底面面积17（14分）过去的2013年，我国多地区遭遇了雾霾天气，引起口罩热销某品牌口罩原来每只成本为6元售价为8元，月销售5万只（1）据市场调查，若售价每提高0.5元，月销
24、售量将相应减少0.2万只，要使月总利润不低于原来的月总利润（月总利润=月销售总收入月总成本），该口罩每只售价最多为多少元？（2）为提高月总利润，厂家决定下月进行营销策略改革，计划每只售价x（x9）元，并投入（x9）万元作为营销策略改革费用据市场调查，每只售价每提高0.5元，月销售量将相应减少万只则当每只售价x为多少时，下月的月总利润最大？并求出下月最大总利润考点：函数模型的选择与应用 专题：函数的性质及应用分析：（1）设口罩每只售价最多为x元，根据条件建立不等式，解不等式即可得到结论（2）求出利润函数，利用基本不等式即可求出最值解答：解：设口罩每只售价最多为x元，则月销售量为（5）万只，则由已
25、知（5）（x6）（86）5，即，即2x253x+2960，解得8x，即每只售价最多为18.5元（2）下月的月总利润y=5（x6）=+，x9，即=+=14，当且仅当，即x=10时取等号答：当x=10时，下月的月总利润最大，且最大利润为14万元点评：本题主要考查与函数有关的应用问题，根据条件建立方程或不等式是解决本题关键，考查学生的阅读和应用能力，综合性较强18（16分）已知函数f（x）=x2alnx（aR）（）若函数f（x）在x=2时取极值，求实数a的值；（）若f（x）0对任意x1，+）恒成立，求实数a的取值范围考点：利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用 专题：导数的综合应用
26、分析：（）由，依题意有：f（2）=0，即，通过检验满足在x=2时取得极值（）依题意有：fmin（x，）0从而，令f（x）=0，得：x1=2a1，x2=1，通过讨论当2a11即a1时当2a11即a1时，进而求出a的范围解答：解：（），依题意有：f（2）=0，即，解得：检验：当时，此时：函数f（x）在（1，2）上单调递减，在（2，+）上单调递增，满足在x=2时取得极值综上：（）依题意有：fmin（x，）0，令f（x）=0，得：x1=2a1，x2=1，当2a11即a1时，函数f（x）0在1，+）恒成立，则f（x）在1，+）单调递增，于是fmin（x）=f（1）=22a0，解得：a1；当2a11即a1
27、时，函数f（x）在1，2a1单调递减，在2a1，+）单调递增，于是fmin（x）=f（2a1）f（1）=22a0，不合题意，此时：a；综上所述：实数a的取值范围是a1点评：本题考察了函数的单调性，函数的极值问题，导数的应用，渗透了分类讨论思想，是一道综合题19（16分）已知函数f（x）=log2（4x+1）+kx（kR）是偶函数（1）求k的值；（2）设函数，其中a0若函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个交点，求a的取值范围考点：函数与方程的综合运用；偶函数 专题：计算题分析：（1）由已知中函数f（x）=log2（4x+1）+kx（kR）是偶函数由偶函数的定义，构造一个关于k的方程，解方程即
28、可求出k的值；（2）函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个交点，即方程log2（4x+1）x=在（，+）有且只有一解，即方程在上只有一解，利用换元法，将方程转化为整式方程后，分类讨论后，即可得到a的取值范围解答：解：（1）函数f（x）=log2（4x+1）+kx（kR）是偶函数f（x）=log2（4x+1）kx=f（x）=log2（4x+1）+kx恒成立即log2（4x+1）2xkx=log2（4x+1）+kx恒成立解得k=1（2）a0函数的定义域为（，+）即满足函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个交点，方程log2（4x+1）x=在（，+）有且只有一解即：方程在上只有一解令2x=t，则
29、，因而等价于关于t的方程（*）在上只有一解当a=1时，解得，不合题意；当0a1时，记，其图象的对称轴函数在（0，+）上递减，而h（0）=1方程（*）在无解当a1时，记，其图象的对称轴所以，只需，即，此恒成立此时a的范围为a1综上所述，所求a的取值范围为a1点评：本题考查的知识点是函数与方程的综合运用，偶函数，其中根据偶函数的定义求出k值，进而得到函数f（x）的解析式，是解答的关键20（16分）已知函数f（x）=ax+xlnx的图象在点x=e（e为自然对数的底数）处的切线的斜率为3（1）求实数a的值；（2）若f（x）kx2对任意x0成立，求实数k的取值范围；（3）当nm1（m，nN*）时，证明：
30、考点：利用导数研究曲线上某点切线方程 专题：计算题；证明题；导数的综合应用分析：（1）求出f（x）的导数，由切线的斜率为3，解方程，即可得到a；（2）f（x）kx2对任意x0成立对任意x0成立，令，则问题转化为求g（x）的最大值，运用导数，求得单调区间，得到最大值，令k不小于最大值即可；（3）令，求出导数，判断单调性，即得h（x）是（1，+）上的增函数，由nm1，则h（n）h（m），化简整理，即可得证解答：解：（1）f（x）=ax+xlnx，f（x）=a+lnx+1，又f（x）的图象在点x=e处的切线的斜率为3，f（e）=3，即a+lne+1=3，a=1； （2）由（1）知，f（x）=x+xl
31、nx，f（x）kx2对任意x0成立对任意x0成立，令，则问题转化为求g（x）的最大值，令g（x）=0，解得x=1，当0x1时，g（x）0，g（x）在（0，1）上是增函数；当x1时，g（x）0，g（x）在（1，+）上是减函数 故g（x）在x=1处取得最大值g（1）=1，k1即为所求； （3）令，则，由（2）知，x1+lnx（x0），h（x）0，h（x）是（1，+）上的增函数，nm1，h（n）h（m），即，mnlnnnlnnmnlnmmlnm，即mnlnn+mlnmmnlnm+nlnn，lnnmn+lnmmlnmmn+lnnn，ln（mnn）mln（nmm）n，（mnn）m（nmm）n，点评：本题考查导数的综合应用：求切线方程和求单调区间、极值和最值，考查不等式恒成立问题转化为求函数的最值，考查不等式的证明，运用构造函数，求导数得到单调性，再由单调性证明，属于中档题