1、四川省叙州区第二中学2019-2020学年高二数学下学期期末模拟考试试题 理（含解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】本题首先可根据题意确定集合，然后通过并集的运算即可得出结果【详解】由可得：；所以又集合，所以，故选D.【点睛】本题考查了集合的并集运算，是简单题2.已知复数，则的虚部是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】根据复数除法的运算法则可得，由复数实部与虚部的定义可得，复数的虚部是，故选D.3.某公司要从员工号为1到300的员工中抽取5人进
2、行培训，若用系统抽样的方法，则选取的5名员工的编号可能是（ ）A. 10，20，30，40，50B. 5，10，15，20，25C. 5，65，125，185，245D. 1，2，3，4，5【答案】C【解析】【分析】系统抽样方法选取的编号依次构成一个等差数列，且公差为60，即可判定.【详解】由题知，系统抽样的间隔为组距，每部分选取的号码间隔为60.故选:C【点睛】本题考查系统抽样，由系统抽样确定组距是解题的关键，进而可确定每组的编号.4.下列为真命题的是（ ）A. ，B. ，C. 的充分条件是D. ，是的充分条件【答案】D【解析】【分析】的值域为,据此可判断A错误;若,则,则B错误;是的充分不
3、必要条件,则C错误;若,则,因此D正确.【详解】对于A,的值域为,故不存在,使得,故A错误;对于B,若,则,故B错误;对于C,是的充分不必要条件,故C错误;对于D,若,则,即,是的充分条件,故D正确;故选：D.【点睛】本题主要考查命题的真假判断,考查基础知识.5.设，则“周期为”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据充分与必要条件的判定判断即可.【详解】当时周期为成立.当周期为时,若也满足.故“周期为”是“”的必要不充分条件.故选：B【点睛】本题主要考查了必要充分条件的判定,属于基础题型.6.函数图像是（
4、 ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先判断函数奇偶性，即可排除AD，再由导函数求得极值点和极值点左右两侧的单调性，并求得当函数的函数值符号，即可判断选项.【详解】由函数，知，是奇函数，图像关于原点对称，排除A，D；当时，则，令，解得，当时，则单调递增，当时，则单调递减，且当时， 结合选项可知，C为正确选项，故选：C.【点睛】本题考查了由函数解析式选择函数图像的方法，注意奇偶性、单调性、特殊值与极限值的方法，由导数判断函数单调性的方法，属于基础题.7.执行如图所示的程序框图，若输出的，则判断框内应填入的条件是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据程序框图，
5、分析框图的作用，结合输出结果，即可得到判断条件.【详解】由程序框图可得：初始值为，第一步：，需要继续循环；第二步：，需要继续循环；第三步：，需要进入循环；由此可知，该程序框图即是计算等比数列的前项和，又数列的前项和为，由可得；即该程序框图需要计算，因此判断框中需要填入故选C【点睛】本题主要考查程序框图，只需分析框图的作用，结合题意求解即可，属于常考题型.8.一个四面体的四个顶点在空间直角坐标系中的坐标分别是，则该四面体中以平面为投影面的正视图的面积为（）A. 3B. C. 2D. 【答案】A【解析】试题分析：根据平行投影的知识可知:该四面体中以平面为投影面的正视图为一个上底为1，下底为2，高为
6、2的直角梯形，所以面积为3.考点：（1）空间直角坐标系；（2）平行投影三视图.9.、设是1,2，n的一个排列，把排在的左边且比小的数的个数为（=1,2，n）的顺序数，如在排列6,4,5,3,2,1中，5的顺序数为1,3的顺序数为0，则在1至 8这8个数的排列中，8的顺序数为2,7的顺序数为3,5的顺序数为3的不同排列的种数为 （）A. 120B. 48C. 144D. 192【答案】C【解析】根据8和7的特点得到8和7的位置，题目转换为数列 123456 保证5的顺序数是3就可以，分两种情况讨论，6在5前面，此时5一定在第5位，除6外前面有3个数，6在5后面，此时5一定在第4位上，6在后面两个
7、数字上，根据分类原理得到结果解：由题意知8一定在第三位，前面有几位数，顺序数就为几而且对其他数的顺序数没有影响，因为8最大，7一定在第五位，因为前面除了8以外所有数都比他小现在对其他数的顺序数没有影响，在8后面又比其他数小这两个可以不管可以把题转换为数列 123456 保证5的顺序数是3就可以了，分两种情况 6在5前面，此时5一定在第5位，除6外前面有3个数，故有44321=96种 6在5后面，此时5一定在第4位上，6在后面两个数字上，故有24321=48共有96+48=144种结果，故选C10.已知圆心在轴上的圆与直线切于点.若直线与圆相切，则的值为（ ）A. 9B. 7C. -21或9D.
8、 -23或7【答案】D【解析】【分析】根据题意可得圆心坐标和半径,结合点到直线距离公式即可求得的值.【详解】圆心在轴上的圆与直线切于点.可得圆的半径为3,圆心为.因为直线与圆相切,所以由切线性质及点到直线距离公式可得,解得或7故选:D【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系,切线性质及点到直线距离公式的应用,属于基础题.11.在三棱柱面，则三棱柱的外接球的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用余弦定理可求得，再根据正弦定理可求得外接圆半径；由三棱柱特点可知外接球半径，求得后代入球的表面积公式即可得到结果.【详解】且 由正弦定理可得外接圆半径：三棱柱的外接球半径：外接球
9、表面积：本题正确选项：【点睛】本题考查多面体外接球表面积的求解问题，关键是能够明确外接球球心的位置，从而利用底面三角形外接圆半径和三棱柱的高，通过勾股定理求得外接球半径.12.已知函数，其中是自然对数的底，若，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】首先对函数求导，然后利用基本不等式证得，利用函数奇偶性的定义判断函数为奇函数，在结合奇偶性以及单调性化简，得到关于的一元二次不等式，由此求得的取值范围.【详解】由，知在R上单调递增，且，即函数为奇函数，故 ，解得.故选D.【点睛】本小题主要考查函数导数与单调性，考查利用基本不等式求最小值，考查函数的奇偶性，属于中档
10、题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.展开式中常数项为_（用数字填写答案）【答案】0【解析】分析：先二项式定理得到的展开式，再考虑的常数项详解：因为，故常数项为，故填点睛：二项展开式指定项的系数问题，关键是抓住通项公式，如果展开式的项数较少，也可以直接求出展开式14.设变量、满足约束条件则的最大值为_.【答案】5【解析】【分析】先画出可行域，然后求出最大值【详解】如图，先画出可行域，由，得，当即时，所以的最大值为【点睛】本题考查了线性规划求最值，在解题中一般步骤：画出可行域、改写目标函数、取出最值情况、代入求值15.如图所示，正方形的边长为，已知， 将直角沿边折起，折起后点
11、在平面上的射影为点，则翻折后的几何体中与所成角的正切值为_【答案】【解析】【分析】连接，根据平行关系可知即为与所成角；根据线面垂直的性质和判定定理可证得，从而可求得，利用同角三角函数可求得结果.【详解】连接，如下图所示：四边形为正方形 ，与所成角即为与所成角，即点在平面上的射影为点 平面又平面 平面， 平面平面 即与所成角的正切值为本题正确结果；【点睛】本题考查异面直线所成角的求解问题，涉及到立体几何中的翻折变换问题，关键是能够通过平行关系将异面直线成角转变为相交直线所成角，从而根据垂直关系在直角三角形中来进行求解.16.已知是自然对数的底数，如果函数在上有极值，那么实数的取值范围为_.【答案
12、】【解析】【分析】先对函数求导，得到，根据题意，得到有变号零点，得出，求解，即可得出结果.【详解】由得，因为函数在上有极值，所以有变号零点，即有变号零点，即方程有两不等实根，因此只需，即，解得：或，即实数的取值范围为.故答案：.【点睛】本题主要考查根据函数有极值求参数的问题，通常需要对函数求导，研究导函数的零点即可，属于常考题型.三.解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17.三次函数在处的切线方程为.（1）求，的值；（2）求的单调区间和极值.【答案】（1），；（2）在单调递增，在递减，
13、极大值是，极小值是.【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义，求得在在处的切线方程，即可求得的值；（2）由（1）得到函数，求得，取得函数的单调区间，结合极值概念，即可求解.【详解】（1）由题意，函数，则，可得，所以在处的切线方程为，即，解得，.（2）由（1）可得函数，则，令，即，解得或，令，即，解得，所以在区间上单调递增，在区间递减，则函数的极大值是，函数的极小值是.【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用，以及利用求解函数的单调区间和极值，其中解答中熟记函数的导数与原函数的关系，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.18.我国在2018年社保又出新的好消息，之前流动就业人员跨地区
14、就业后，社保转移接续的手续往往比较繁琐，费时费力.社保改革后将简化手续，深得流动就业人员的赞誉.某市社保局从2018年办理社保的人员中抽取300人，得到其办理手续所需时间（天）与人数的频数分布表：时间人数156090754515（1）若300名办理社保的人员中流动人员210人，非流动人员90人，若办理时间超过4天的人员里非流动人员有60人，请完成办理社保手续所需时间与是否流动人员的列联表，并判断是否有95%的把握认为“办理社保手续所需时间与是否流动人员”有关.列联表如下流动人员非流动人员总计办理社保手续所需时间不超过4天办理社保手续所需时间超过4天60总计21090300（2）为了改进工作作风
15、，提高效率，从抽取的300人中办理时间为流动人员中利用分层抽样，抽取12名流动人员召开座谈会，其中3人要求交书面材料，3人中办理的时间为的人数为，求出分布列及期望值.附：0.100.050.0100.0052.7063.8416.6357.879【答案】（1）列联表见解析，有；（2）分布列见解析，.【解析】【分析】（1）根据题意，结合已知数据即可填写列联表，计算出的观测值，即可进行判断；（2）先计算出时间在和选取的人数，再求出的可取值，根据古典概型的概率计算公式求得分布列，结合分布列即可求得数学期望.【详解】（1）因为样本数据中有流动人员210人，非流动人员90人，所以办理社保手续所需时间与是
16、否流动人员列联表如下：办理社保手续所需时间与是否流动人员列联表流动人员非流动人员总计办理社保手续所需时间不超过4天453075办理社保手续所需时间超过4天16560225总计21090300结合列联表可算得有95%的把握认为“办理社保手续所需时间与是否流动人员”有关.（2）根据分层抽样可知时间在可选9人，时间在可以选3名，故，则，可知分布列为0123可知.【点睛】本题考查独立性检验中的计算，以及离散型随机变量的分布列以及数学期望，涉及分层抽样，属综合性中档题.19.如图，在棱锥P中，底面为菱形，且DAB60，平面平面，点E为BC中点，点F满足（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值【答案】（1
17、）见证明（2）【解析】【分析】（1）连接，交于点，连接，证明，从而证得平面；（2）建立空间直角坐标系由向量法求解【详解】（1）证明：连接，交于点，连接.底面为菱形，且为中点，.为上一点，且满足，.又平面，平面，平面.（2）解：取的中点为，连接，底面为菱形，且，.平面平面，平面.以，所在的直线分别为，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，.，.设平面的一个法向量为，则，即，取，则.易得平面的一个法向量.所以，所以二面角的余弦值为.【点睛】本题涉及二面角，二面角是高考的热点和难点，解决此类问题常用向量法，解题的关键是求平面的法向量，再由向量的夹角公式求解20.已知抛物线上一点到焦点的距离，倾斜角为
18、的直线经过焦点，且与抛物线交于两点、.（1）求抛物线的标准方程及准线方程；（2）若为锐角，作线段的中垂线交轴于点.证明：为定值，并求出该定值.【答案】（1）抛物线的方程为，准线方程为；（2）为定值，证明见解析.【解析】【分析】（1）利用抛物线的定义结合条件，可得出，于是可得出点的坐标，然后将点的坐标代入抛物线的方程求出的值，于此可得出抛物线的方程及其准线方程；（2）设直线的方程为，设点、，将直线的方程与抛物线的方程联立，消去，列出韦达定理，计算出线段的中点的坐标，由此得出直线的方程，并得出点的坐标，计算出和的表达式，可得出，然后利用二倍角公式可计算出为定值，进而证明题中结论成立.【详解】（1）
19、由抛物线的定义知，.将点代入，得，得.抛物线的方程为，准线方程为；（2）设点、，设直线的方程为，由，消去得：，则，.设直线中垂线的方程为：，令，得：，则点，.，故为定值.【点睛】本题考查利用抛物线的定义求抛物线的方程，以及直线与抛物线的综合问题，常将直线方程与抛物线方程联立，结合韦达定理进行计算，解题时要合理假设直线方程，可简化计算.21.已知函数（1）求的单调区间并判断单调性；（2）若，且方程有两个不相等的实数根，求证：【答案】(1) 单调增区间为，见解析；(2)证明见解析【解析】【分析】（1）求导得到，根据导数的正负得到函数的单调区间.（2）求导得到，存在 使在上单调递减，在上单调递增，得
20、到，化简得到答案.【详解】（1）依题意，定义域为，设，则，当时，在上单调递增当时，在上单调递增综上可得，函数的单调增区间为，（2），设，在上单调递增，当时，必存在，使得，即，在上单调递减，在上单调递增，又，设，则，在上单调递减，在上单调递增，又，不妨设，则，由（1）知，【点睛】本题考查了函数的单调性和零点问题，综合性强，计算量大，意在考查学生的综合应用能力和计算能力.22.在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线的参数方程为（为参数）（1）求与的交点的直角坐标；（2）求上的点到直线的距离的最大值【答案】（1）（3，0）和；（2）【解析】【分析】(
21、1)根据可得曲线的直角坐标方程,消去参数可得直线的直角坐标方程,再联立方程组可得答案;(2)由椭圆的参数方程设上的动点,再用点到直线的距离求出,利用三角函数求得最大值.【详解】（1）由得,得,所以曲线C的直角坐标方程为,由消去参数得,所以直线l的直角坐标方程为，由,得，解得或，即与的交点直角坐标为（3，0）和；（2）设曲线上一点，则到直线的距离，其中,所以当时,取最大值.故上的点到直线的距离的最大值为【点睛】本题考查了极坐标方程和参数方程化直角坐标方程,求曲线交点坐标,点到直线的距离,利用三角函数求最值,属于基础题.23.已知函数.（1）解不等式；（2）若的最小值为m，且，证明：.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）原不等式即，利用分类讨论解绝对值不等式即可；（2）因，所以，要证原不等式成立，即证，利用基本不等式，即可证明不等式成立.【详解】（1）原不等式即.由，解得；由，解得；由，解得.综上可得原不等式的解集为. （）因为，所以 要证原不等式成立，即证.因为，当且仅当时取等号，所以原不等式成立.【点睛】本题考查绝对值不等式的求解、基本不等式证明不等式，考查逻辑推理能力、运算求解能力.
