1、(教师独具)第二课三角函数的图象与性质及其应用巩固层知识整合提升层题型探究三角函数的图象及解析式的确定【例1】(1)函数ytan在一个周期内的图象是()(2)如图所示是函数yAsin(x)(A0，0)图象的一部分，则其函数解析式是()AysinBysinCysin Dysin(3)已知f(x)1sin，画出f(x)在x上的图象(1)A(2)A(1)ytan的周期T2，排除B，D.当x0时，tan.故选A.(2)由图象易看出A1，由4得1，再由得，故选A.(3)解x，2x.列表：x2x0f(x)211112描点连线如图所示：1用“五点法”作函数yAsin(x)图象的步骤：第一步：列表，由x0，2
2、先求出x，再由x的值求出y的值xx02y0A0A0第二步：在同一坐标系中描出各点第三步：用光滑曲线连接这些点，进而成图象2由已知条件确定函数yAsin(x)的解析式，需要确定A，其中A，易求，下面介绍求的几种方法平衡点法由yAsin(x)Asin知它的平衡点的横坐标为，所以我们可以找与原点相邻的且处于递增部分的平衡点，令其横坐标为x1，则可求.确定最值法这种方法避开了“伸缩变换”且不必牢记许多结论，只需解一个特殊的三角方程利用单调性将函数yAsin(x)的图象与ysin x的图象比较，选取它们的某一个单调区间得到一个等式，解答即可求出.跟进训练1已知函数yAsin(x)(0)的振幅为4，周期为
3、6，初相为.(1)写出这个函数的解析式；(2)用“五点法”在所给坐标系中作出这个函数在一个周期内的图象解(1)由已知得A4，因此这个函数的解析式为y4sin.(2)列表：x47x02y4sin04040描点画图，其图象如图所示：三角函数的图象变换问题【例2】(1)将函数f(x)2sin的图象向右平移m个单位(m0)，若所得图象对应的函数为偶函数，则m的最小值是_(2)已知函数f(x)Asin(x)(A0，0,0)的图象上的一个最低点为M，周期为.求f(x)的解析式；将yf(x)的图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后再将所得的图象沿x轴向右平移个单位，得到函数yg(x)的图
4、象，写出函数yg(x)的解析式；当x时，求函数f(x)的最大值和最小值思路点拨：(1)使平移后的初相位为k(kZ)即可(2)(1)f(x)2sin向右平移m个单位得y2sin为偶函数，所以2mk(kZ)m(kZ)，因为m0，所以mmin.(2)解由题可知T，2.又f(x)min2，A2.由f(x)的最低点为M，得sin1.0，.f(x)2sin.y2siny2sin2siny2sin2sin x，g(x)2sin x.0x，2x.当2x，即x0时，f(x)min2sin 1，当2x，即x时，f(x)max2sin.1函数ysin x的图象变换到yAsin(x)，xR图象的两种方法2对称变换(1
5、)yf(x)的图象yf(x)的图象；(2)yf(x)的图象yf(x)的图象；(3)yf(x)的图象yf(x)的图象跟进训练2将函数ysin的图象先沿x轴向右平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的倍，求与最终的图象对应的函数的解析式解将原函数的图象沿x轴向右平移个单位长度后，与其对应的函数的解析式为ysinsin，再将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，则与其对应的函数的解析式为ysin.三角函数的性质【例3】(1)若函数f(x)3sin(2x)(0)是偶函数，则f(x)在0，上的单调递增区间是()A. B.C. D.(2)已知函数f(x)2sina1(其中a为常数)求f(x
6、)的单调区间；若x时，f(x)的最大值为4，求a的值思路点拨：(1)先根据函数f(x)是偶函数，求，再依据单调性求增区间，最后与0，求交集(2)由2k2x2k，kZ求增区间，由2k2x2k，kZ求减区间；先求f(x)的最大值，得关于a的方程，再求a的值(1)B因为函数f(x)3sin(2x)(0)是偶函数，所以，f(x)3sin3cos 2x，令2k2x2k，得kxk，可得函数f(x)的递增区间为，kZ，所以f(x)在0，上的单调递增区间为.(2)由2k2x2k，kZ，解得kxk，kZ，函数f(x)的单调增区间为(kZ)，由2k2x2k，kZ，解得kxk，kZ，函数f(x)的单调减区间为(kZ
7、)0x，2x，sin1，f(x)的最大值为2a14，a1.1求本例(2)中函数yf(x)，xR取最大值时x的取值集合解当f(x)取最大值时，2x2k，2x2k，xk，kZ.当f(x)取最大值时，x的取值集合是.2在本例(2)的条件下，求不等式f(x)1的解集解由f(x)1得2sin21，所以sin，所以2k2x2k，kZ.解得kxk，kZ.所以不等式f(x)1的解集为.三角函数性质的理解与记忆(1)函数ysin x和ycos x的周期是2，ytan x的周期是；函数yAsin(x)和yAcos(x)的周期是，yAtan(x)的周期是.(2)函数ysin x和ycos x的有界性为：1sin x
8、1，1cos x1，函数ytan x没有最值有界性可用来解决三角函数的最值问题(3)函数ysin x在上递增，在上递减；函数ycos x在2k，2k上递增，在2k，2k上递减；函数ytan x在上递增，以上kZ.(4)利用函数的单调性比较同名三角函数值的大小时，注意利用诱导公式将角化到同一单调区间内；求形如f(x)的单调区间时，采用整体代换的方法将x视为整体求解相应x的范围即可，注意的符号及A对单调性的影响三角函数的实际应用【例4】(1)如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y3sink.据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为_(2)如图，点P是半径为r cm的砂轮边
9、缘上的一个质点，它从初始位置P0开始，按逆时针方向以角速度 rad/s做圆周运动，求点P的纵坐标y关于时间t的函数关系，并求点的运动周期和频率(1)8根据图象得函数最小值为2，有3k2，k5，最大值为3k8.(2)当质点P从点P0转到点P位置时，点P转过的角度为t，则POxt.由任意角的三角函数得点P的纵坐标为yrsin(t)，即为所求的函数关系式点P的运动周期为T，频率为f.三角函数模型构建的步骤：(1)收集数据，观察数据，发现是否具有周期性的重复现象(2)制作散点图，选择函数模型进行拟合(3)利用三角函数模型解决实际问题(4)根据问题的实际意义，对答案的合理性进行检验跟进训练3某地昆虫种群数量在七月份113日的变化如图所示，且满足yAsin(x)b(0，0)根据图中数据求函数解析式解由图象可知ymax900，ymin700，且Abymax，Abymin，所以A100，b800，且T12，所以，将(7,900)代入函数解析式得72k，kZ.所以2k，kZ.因为0，所以，因此所求的函数解析式为：y100sin800.