1、江西省八校2020-2021学年高二下学期理数第四次联考试卷一、单选题1.已知 A=x|log2(x+2)1 ， B=x|x2-2x-30 ，则 AB= （ ） A.(-2,3B.-2,3C.-1,0)D.(-,32.设alog20.4，b0.42 ， c20.4 ， 则a，b，c的大小关系为（） A.abcB.acbC.bacD.bca3.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输出的 S 为 1112 ，则判断框中填写的内容可以是（ ） A.n5B.n6C.n7D.n94.屏风文化在我国源远流长，可追溯到汉代.某屏风工艺厂设计了一款造型优美的扇环形屏风，如图，扇环外环弧长为2.4m，内环
2、弧长为0.6 m，径长（外环半径与内环半径之差）为0.9 m，若不计外框，则扇环内需要进行工艺制作的面积的估计值为（ ） A.1.20m2B.1.25 m2C.1.35 m2D.1.40 m25.从4名男同学和3名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出2名同学中恰好有1男1女同学的概率是（ ） A.27B.47C.17D.376.函数 f(x)=(e-x-ex)sin2x 的大致图象可能是（ ） A.B.C.D.7.已知实数 x,y 满足 x2,x+y2,x+2y4, 则 x2+y2 的最大值为（ ） A.2B.5C.4D.58.非零向量 a ， b ， c 满足 ab=ac ， a ，
3、b 的夹角为 6 ， |b|=4 ，则 c 在 a 上的投影为（ ） A.2B.23C.3D.49.已知 an 为无穷等比数列，且公比 0q1 ，记 Sn 为 an 的前 n 项和，则下面结论正确的是（ ） A.a30C.an 是递减数列D.Sn 存在最小值 10.已知椭圆 E ： x2a2+y2b2=1(ab0) 的左右焦点分别为 F1 ， F2 (如图)，过 F2 的直线交 E 于 P ， Q 两点，且 PF1x 轴， |PF2|=13|F2Q| ，则 E 的离心率为（ ） A.33B.12C.22D.3211.已知函数 f(x)=Asin(x+)(A0,|2) 的图像如图所示，且 f(x
4、) 的图像关于点 (x0,0) 对称，则 |x0| 的最小值为（ ） A.23B.6C.3D.5612.如图，已知正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 的底面边长为1，侧棱长为2，点 P ， Q 分别在半圆弧 C1C ， A1A （均不含端点）上，且 C1 ， P ， Q ， C 在球 O 上，则下列命题：当点 Q 在 A1A 的三等分点处，球 O 的表面积为 (11-33) ；当点 P 在 C1C 的中点处，过 C1 ， P ， Q 三点的平面截正四棱柱所得的截面的形状都是四边形；当点 P 在 C1C 的中点处，三棱锥 C1-PQC 的体积为定值.其中真命题的个数为（ ） A.3B.2C.1
5、D.0二、填空题13.某工厂为了对40个零件进行抽样调查，将其编号为00，01，38，39.现要从中选出5个，利用下面的随机数表，从第一行第3列开始，由左至右依次读取，选出来的第5个零件编号是_. 0647 4373 8636 9647 3661 4698 6371 6233 2616 8045 6011 14109577 7424 6762 4281 1457 2042 5332 3732 2707 3607 5124 517914.设函数 f(x)=5x-m,x0) 的焦点为 F ，准线为 l ，以 F 为圆心的圆与 l 相切；与抛物线 E 相交于 M,N 两点，且 |MN|=4（1）求抛
6、物线的方程 （2）不与坐标轴垂直的直线与抛物线 E 交于 A,B 两点：与 x 轴交于 P 点；线段 AB 的垂直平分线与 x 轴交于 Q 点，若 |AB|=2|PQ| ，求 P 点的坐标 22.已知函数 f(x)=2xlna-(x+a)lnx . （1）当 a=e 时，求曲线 y=f(x) 在 x=1 处的切线方程； （2）讨论函数 f(x) 的零点个数. 答案解析部分一、单选题1.已知 A=x|log2(x+2)1 ， B=x|x2-2x-30 ，则 AB= （ ） A.(-2,3B.-2,3C.-1,0)D.(-,3【答案】 A 【考点】并集及其运算 【解析】【解答】因为 A=x|log
7、2(x+2)1=x|0x+22=x|-2x0 ， B=x|x2-2x-30=x|-1x3 ，因此 AB=x|-2x3 .故答案为：A【分析】先化简集合 A 与集合 B ，再求并集，即可得出结果.2.设alog20.4，b0.42 ， c20.4 ， 则a，b，c的大小关系为（） A.abcB.acbC.bacD.bca【答案】 A 【考点】指数函数的单调性与特殊点，对数函数的图象与性质 【解析】【解答】log20.4log210，a0， 0.420.16，b0.16，20.4201，c1，abc，故答案为：A 【分析】首先由对数函数的性质得到a的取值范围，再由指数幂的运算性质结合指数函数性质即
8、得出出b与c的取值范围，由此即可比较出a、b、c、的大小。3.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输出的 S 为 1112 ，则判断框中填写的内容可以是（ ） A.n5B.n6C.n7D.n9【答案】 C 【考点】程序框图 【解析】【解答】模拟执行程序框图，可得 S=0 ， n=2 满足条件； S=12 ， n=4 ，满足条件；S=12+14=34 ， n=6 ，满足条件，S=12+14+16=1112 ， n=8 ，由题意，此时应该不满足条件，退出循环，输出 S 的值为 1112 .改判断框中填写的内容可以是 n7 .故答案为：C. 【分析】根据题意由程序框图的循环代入数值验证即可得出
9、满足题意的输出值.4.屏风文化在我国源远流长，可追溯到汉代.某屏风工艺厂设计了一款造型优美的扇环形屏风，如图，扇环外环弧长为2.4m，内环弧长为0.6 m，径长（外环半径与内环半径之差）为0.9 m，若不计外框，则扇环内需要进行工艺制作的面积的估计值为（ ） A.1.20m2B.1.25 m2C.1.35 m2D.1.40 m2【答案】 C 【考点】扇形的弧长与面积 【解析】【解答】设扇环的圆心角为 ，内环半径为 r1 ，外环半径为 r2 ，则 r2-r1=0.9 ， 由题意可知， r1=0.6 ， r2=2.4 ，所以 (r1+r2)=3 ，所以扇环内需要进行工艺制作的面积的估计值为 S=1
10、2(r22-r12)=12(r1+r2)(r2-r1)=1230.9=1.35m2 .故答案为：C. 【分析】根据题意把数学问题转化为数学问题，结合圆心角公式以及扇形的面积公式代入数值计算出结果即可。5.从4名男同学和3名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出2名同学中恰好有1男1女同学的概率是（ ） A.27B.47C.17D.37【答案】 B 【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率 【解析】【解答】解：从4名男同学和3名女同学中任选2名同学参加志愿者服务， 基本事件总数 n=C72=21 ，选出的2名同学中恰有1名男同学和1名女同学包含的基本事件个数 m=C41C31=12 ，则
11、选出的2名同学中恰有1名男同学和1名女同学的概率 P=mn=1221=47 故答案为：B 【分析】根据题意首先求出总的事件个数再由题意求出基本事件的个数，再把数值代入到概率的个数计算出结果即可。 6.函数 f(x)=(e-x-ex)sin2x 的大致图象可能是（ ） A.B.C.D.【答案】 A 【考点】函数的图象 【解析】【解答】函数 f(x) 的定义域为 R ， 且 f(-x)=(ex-e-x)sin2(-x)=(e-x-ex)sin2x=f(x) ，所以 f(x) 为偶函数，由此排除C、D选项.当 x(0,2) 时， e-x-ex0 ，即 f(x)0 ，所以B选项错误.故答案为：A 【分
12、析】根据题意首先求出函数的定义域再由偶函数的定义f(-x)=f(x)即可判断出该函数为偶函数，由偶函数图象的性质得出图像关于y轴对称由此排除C、D，再由正弦函数的图象即可排除选项B，由此得到答案。7.已知实数 x,y 满足 x2,x+y2,x+2y4, 则 x2+y2 的最大值为（ ） A.2B.5C.4D.5【答案】 B 【考点】简单线性规划 【解析】【解答】作出已知不等式组所表示的平面区域，如图所示： 将 x2+y2 变形为 (x-0)2+(y-0)2 ，其几何意义是平面区域内的点到原点 (0,0) 距离，由图可知点 A(2,1) 到原点的距离最大，最大值为 5 .故答案为：B 【分析】根
13、据题意作出可行域再由已知条件找出目标函数，把目标函数化为直线方程的截距由数形结合法即可得出当直线经过点A时，z取得最大值并由直线的方程求出点A的坐标，然后把坐标代入到目标函数计算出z的值即可。8.非零向量 a ， b ， c 满足 ab=ac ， a ， b 的夹角为 6 ， |b|=4 ，则 c 在 a 上的投影为（ ） A.2B.23C.3D.4【答案】 B 【考点】向量的投影 【解析】【解答】由 ab=ac ，可得 |b|a|cos=|c|a|cos所以 |c|cos=|b|cos=4cos6=23所以 c 在 a 上的投影为 |c|cos=23故答案为：B 【分析】根据条件ab=ac
14、， 结合数量积的定义可得|b|a|cos=|c|a|cos ， 从而c 在 a 上的投影为 |c|cos=23 ， 得出答案。9.已知 an 为无穷等比数列，且公比 0q1 ，记 Sn 为 an 的前 n 项和，则下面结论正确的是（ ） A.a30C.an 是递减数列D.Sn 存在最小值 【答案】 B 【考点】数列的函数特性，等比数列的通项公式，等比数列的前n项和 【解析】【解答】A：当 a10 时， 0q1 ， a3a2 ，成立，当 a10 时， 0qa2 ，不成立，A选项错误； B： a1a2=a1a1q=a12q0 成立，B选项正确；C：当 a10 时，数列 an 为递减数列，当 a10
15、 时， Sn 存在最小值，当 a1b0) 的左右焦点分别为 F1 ， F2 (如图)，过 F2 的直线交 E 于 P ， Q 两点，且 PF1x 轴， |PF2|=13|F2Q| ，则 E 的离心率为（ ） A.33B.12C.22D.32【答案】 D 【考点】椭圆的简单性质 【解析】【解答】由 F1(-c,0) ， PF1x ， 将 x=-c 代入椭圆方程知 c2a2+y2b2=1 ，解得： y=b2a ，即 |PF1|=b2a过点 Q 作 QHx 轴，则 QHF2PF1F2 ，又 |PF2|=13|F2Q|PF1|QH|=|F1F2|HF2|=|PF2|QF2|=13 ，得 |QH|=b2
16、13a ， |HF2|=2c13所以点 Q 的坐标为 (c+2c13,-b213a) ，即 Q(15c13,-b213a)又点 Q 在椭圆上， (15c13)2a2+(-b213a)2b2=1 ，即 225c2+b2=169a2又 b2=a2-c2 ， 224c2=168a2 ， c2a2=168224=34 ，即 ca=32故答案为：D 【分析】 利用题中的条件解出PF1的长度，过Q作QH垂直x轴，交轴于H，利用三角形相似，可以表示出点Q的坐标，将Q点坐标代入椭圆方程，即可解出. 11.已知函数 f(x)=Asin(x+)(A0,|2) 的图像如图所示，且 f(x) 的图像关于点 (x0,0
17、) 对称，则 |x0| 的最小值为（ ） A.23B.6C.3D.56【答案】 B 【考点】正弦函数的图象，由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式 【解析】【解答】由题可知 A=2,T=43(116-3)=2=2T=1 则 f(x)=2sin(x+),f(3)=2sin(3+)=23+=2k+2又 |2=6f(x)=2sin(x+6)由 f(x) 的图像关于点 (x0,0) 对称，可得 x0+6=k，x0=k-6当 k=0 时， |x0| 取得最小值为 6故答案为：B 【分析】首先由图象即可求出函数的周期，结合周期公式计算出的值，再把点的坐标代入计算出3+=2k+2对k赋值求出=6 ，
18、由此得到函数的解析式，再由正弦函数的图象结合对称性得到x0=k-6 ， 对k 赋值即可求出答案。12.如图，已知正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 的底面边长为1，侧棱长为2，点 P ， Q 分别在半圆弧 C1C ， A1A （均不含端点）上，且 C1 ， P ， Q ， C 在球 O 上，则下列命题：当点 Q 在 A1A 的三等分点处，球 O 的表面积为 (11-33) ；当点 P 在 C1C 的中点处，过 C1 ， P ， Q 三点的平面截正四棱柱所得的截面的形状都是四边形；当点 P 在 C1C 的中点处，三棱锥 C1-PQC 的体积为定值.其中真命题的个数为（ ） A.3B.2C.1D
19、.0【答案】 C 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积，球的体积和表面积 【解析】【解答】如图1，取 CC1 中点 E ， DD1 中点 F ， AA1 中点 G ， 根据题意，球心 O 在线段 EF 上，设 FGQ=,0,2) ，则由余弦定理 |FQ|2=2-2cos ，设 |OE|=x ，则 |OC|2=x2+1 ， |OQ|2=|OF|2+|FQ|2=(1-x)2+2-2cos ，因为 |OQ|2=|OC|2=R2 （ R 为球 O 的半径），所以 x=1-cos0,1) ，所以 R2=|OC|2=x2+11,2) ，当点 Q 在 A1A 的三等分点处， =6 ，则 x=1-cos=1-32
20、，所以 R2=|OC|2=(1-32)2+1=114-3 ，所以球 O 的表面积为 S=4R2=4(114-3)=(11-43) ，故错误；对于，当点 Q 在 FA 上时，连接 AF ，在平面 ADD1A1 中过点 Q 作 AF 的平行线，与线段 DD1,AD 分别交于 M,N ，延长 C1P 与 BC 相交，连接交点与点 N 交 AB 于 S ，此时，当点 P 在 C1C 的中点处，过 C1 ， P ， Q 三点的平面截正四棱柱所得的截面为五边形 C1MNSP ，故错误；对于，当点 P 在 C1C 的中点处，三棱锥 C1-PQC 的体积为 VQ-PCC1=VA-PCC1=1312211=13
21、 ，为定值，故正确.故答案为：C 【分析】根据题意作出辅助线，由中点的性质即可得出线线平行再结合三角形内的几何计算关系，由余弦定理代入数值计算出球的半径，由已知条件结合三等分点的几何性质结合球的表面积公式代入数值计算出结果由此判断出错误；对于由弧长的几何意义结合圆的性质，即可得出过 C1 ， P ， Q 三点的平面截正四棱柱所得的截面为五边形由此判断出错误；由题意即可得出当点 P 在 C1C 的中点处，三棱锥 C1-PQC 的体积，把数值代入体积公式计算出结果即可，由此判断出正确；从而得出答案。二、填空题13.某工厂为了对40个零件进行抽样调查，将其编号为00，01，38，39.现要从中选出5
22、个，利用下面的随机数表，从第一行第3列开始，由左至右依次读取，选出来的第5个零件编号是_. 0647 4373 8636 9647 3661 4698 6371 6233 2616 8045 6011 14109577 7424 6762 4281 1457 2042 5332 3732 2707 3607 5124 5179【答案】 11 【考点】简单随机抽样 【解析】【解答】利用随机数表，从第一行第3列开始，由左至右依次读取，即47开始读取，在编号范围内的提取出来，可得36，33，26，16，11，则选出来的第5个零件编号是11， 故答案为：11 【分析】根据题意由随机数表中的规律，推导出
23、结果即可。14.设函数 f(x)=5x-m,x12x,x1 ，若 f(f(45)=8 ，则m=_ 【答案】 1 【考点】函数的值，分段函数的应用 【解析】【解答】根据题意，函数f(x)= 5x-m,x3时，4m0 ，解得 AB=2 ；（2）在 ABD 中，由正弦定理得 1sinABD=7sin23 ，解得 sinABD=2114 . 又因为 BAD=23 ，所以 ABD 为锐角，所以 cosABD=1-sin2ABD=5714 ，因为 CBD=3 ， BC=BD ，则 BCD 为等边三角形，则 BC=BD=7 ，所以 sinABC=sin(3+ABD)=sin3cosABD+cos3sinAB
24、D=325714+122114=32114 ，所以 ABC 的面积为 SABC=12ABBCsinABC=122732114=332 .【考点】正弦定理，余弦定理，三角形中的几何计算 【解析】【分析】(1)根据题意由三角形内的几何计算关系结合余弦定理计算出AB的值即可。 (2)由已知条件结合正弦定理代入数值计算出sinABD=2114 ， 结合同角三角函数的基本关系式求出cosABD的值，然后由两角和的正弦公式代入数值计算出sinABC的值，再把结果代入到三角形的面积公式计算出结果即可。 18.已知公比大于1的等比数列 an 的前 n 项和为 Sn ，且 S3=14 ， a3=8 （1）求数列
25、 an 的通项公式； （2）在 an 与 an+1 之间插入 n 个数，使这 n+2 个数组成一个公差为 dn 的等差数列，求数列 1dn 的前 n 项和 Tn 【答案】 （1）解：设 an 的公比为 q ， q1 由 a1(1-q3)1-q=14a1q2=8 整理得 3q2-4q-4=0 ，解得 q=2 或 q=-23 （舍去） q=a1=2 ， an=2n ， nN* （2）解： dn=an+1-ann+1=2nn+1 ， 1dn=n+12n Tn=22+322+423+n2n-1+n+12n ， 12Tn=222+323+424+n2n+n+12n+1 ， 12Tn=1+122+123+
26、124+12n-n+12n+1=1+122(1-12n-1)1-12-n+12n+1=1+12(1-12n-1)-n+12n+1=32-n+32n+1 Tn=3-n+32n 【考点】等差数列的通项公式，等比数列的通项公式，等差关系的确定，数列的求和 【解析】【分析】(1) 根据题意由等比数列的前n项和公式和等比数列的通项公式即可求出q的值由此得到数列的通项公式。 (2)结合等差数列的定义即可整理出数列1dn的通项公式，再由错位相减法即可得出数列的前n项和公式。19.如图，四棱锥 E-ABCD 中，底面 ABCD 为直角梯形，其中 ABBC ， CD/AB ，面 ABE 面 ABCD ，且 AB
27、=BE=2CD=AE=2BC=4 ，点M在棱AE上. （1）证明：当 MA=2EM 时，直线 CE/ 平面 BDM ； （2）当 AE 平面 MBC 时，求二面角 E-BD-M 的余弦值. 【答案】 （1）如图所示： 连结BD与AC交于点N，连结MN，AB/CD,AB=2CD=4 ，CNDANB ， CDAB=CNAN=12 ，EMMA=12 ， EMMA=CNAN ，MN/EC ，又因为 MN 平面BDM， CE 平面BDM，所以 CE/ 平面BDM，（2）AE 平面MBC， AEBM ， M 是AE的中点，取AB的中点为O， 因为面 ABE 面 ABCD ， OEAB , OE 平面ABC
28、D，以OD，OA，OE所在的直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则 B(0,-2,0),E(0,0,23),D(2,0,0),A(0,2,0),M(0,13) ，所以 BD=(2,2,0),BE=(0,2,23),BM=(0,3,3) ，设平面EBD的一个法向量为 m=(x,y,z) ，则 mBD=0mBE=0 ，即 2x+2y=02y+23z=0 ，令 z=1 ，则 y=-3,x=3 ，则 m=(3,-3,1)设平面BDM的一个法向量为 n=(x,y,z) ，nBD=0nBM=0 即 2x+2y=03y+3z=0 ，令 z=3 ，则 y=-1,x=1 ，则 n=(1,-1,3)cosm,n
29、=mn|m|n|=3+3+375=310535 ，所以二面角 E-BD-M 的余弦值为 310535 .【考点】直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的性质，空间向量的数量积运算，用空间向量求平面间的夹角 【解析】【分析】(1)根据题意作出辅助线由三角形相似的性质即可得出线线平行，再由线面平行的判定定理即可得证出即可。 (2)由已知条件解集线面垂直的性质定理即可得出线线垂直，建立空间直角坐标系求出各个点的坐标以及向量和平面EBD法向量的坐标，再由数量积的坐标公式即可求出平面EBD的法向量的坐标，同理即可求出平面BDM的法向量；结合空间数量积的运算公式代入数值即可求出夹角的余弦值，由此得到二面角
30、E-BD-M 的余弦值 。20.在某运动会上，有甲队女排与乙队女排以“五局三胜”制进行比赛，其中甲队是“慢热”型队伍，根据以往的经验，首场比赛甲队获胜的概率为 P ，决胜局（第五局）甲队获胜的概率为 23 ，其余各局甲队获胜的概率均为 12 . （1）求甲队以 3:2 获胜的概率； （2）现已知甲队以 3:0 获胜的概率是 112 ，若比赛结果为 3:0 或 3:1 ，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为 3:2 ，则胜利方得2分，对方得1分，求甲队得分的分布列及数学期望. 【答案】（1）记事件A：甲队以3:2获胜，则第五局甲队胜，前面四局甲队赢两局，所以，P(A)=PC31(12)323
31、+(1-P)C32(12)323=14；（2）记甲队以3:0获胜为事件B，则P(B)=P(12)2=14P=112，解得P=13 . 记甲队得分为X，则X的可能取值有0、1、2、3，若X=0，则甲队以0:3或1:3落败，所以，P(X=0)=(1-13)(1-12)2+13(12)3+(1-13)C21(12)3=38；若X=1，则甲队以2:3落败，所以，P(X=1)=13C31(12)313+23C32(12)313=18；若X=2，则甲队以3:2获胜，所以，P(X=2)=P(A)=14；若X=3，则甲队以3:0或3:1获胜，所以，P(X=3)=13(12)2+13C21(12)212+23(
32、12)3=14 .所以，随机变量X的分布列如下表所示：X0123P38181414因此，E(X)=038+118+214+314=118 .【考点】n次独立重复试验中恰好发生k次的概率，离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差 【解析】【分析】(1)根据题意由n次独立重复试验的概率公式代入数值计算出结果即可。 (2)根据题意求出X的取值，再由n次独立重复试验的概率公式计算出对应每个X的概率值，由此即可得出X的分布列 并把数值代入到期望值公式计算出结果即可。21.已知抛物线 E:y2=2px(p0) 的焦点为 F ，准线为 l ，以 F 为圆心的圆与 l 相切；与抛物线 E 相交于
33、M,N 两点，且 |MN|=4（1）求抛物线的方程 （2）不与坐标轴垂直的直线与抛物线 E 交于 A,B 两点：与 x 轴交于 P 点；线段 AB 的垂直平分线与 x 轴交于 Q 点，若 |AB|=2|PQ| ，求 P 点的坐标 【答案】 （1）解：以 F 为圆心与 l 相切的圆的方程为 (x-p2)2+y2=p2将 y2=2px 代入并整理，得 4x2+4px-3p2=0即 (2x+3p)(2x-p)=0因为 x0所以 x=p2代入 y2=2px ，解得 y=p所以点 M,N 的坐标为 (p2,p),(p2,-p)所以 |MN|=2p=4解得 p=2故抛物线 E 的方程为 y2=4x（2）设
34、 P(n,0) ，直线 AB 的方程为 x=ty+n 代入 y2=4x 并整理得 y2-4ty-4n=0由题意，得 =16t2+16n0即 t2+n0设 A(x1,y1),B(x2,y2)则 y1+y2=4t,y1y2=-4n所以 |AB|=(1+t2)(y1+y2)2-4y1y2=(1+t2)(4t2)-4(-4n)=4(1+t2)(n+t2)设 AB 的中点为 R(x0,y0) ，则 y0=y1+y22=2t,x0=ty0+n=2t2+n即 R(2t2+n,2t)所以直线 RQ 的方程为 y-2t=-t(x-2t2-n)令 y=0 ，得 x=2t2+n+2所以 Q(2t2+n+2,0)所以
35、 |PQ|=|2t2+n+2-n|=2|t2+1|=2(t2+1)由 |AB|=2|PQ| 得 4(1+t2)(n+t2)=22(1+t2)解得 n=1 ，适合 =16t2+16n0即点 P 的坐标为 (1,0)【考点】抛物线的定义，抛物线的简单性质，直线与圆锥曲线的综合问题 【解析】【分析】(1)首先求出 以 F 为圆心与 l 相切的圆的方程，再把抛物线与圆联立整理即可得出x=p2 ， 代入抛物线方程计算出点M、N的坐标，然后由抛物线的定义求出P的值，由此得到抛物线的方程。 (2)根据题意联立直线与抛物线的方程消元后得到关于y的方程，结合韦达定理求出两根之和与两根之积，再由弦长公式代入整理得
36、到|AB|关于n的代数式，再由中点的坐标公式整理得到直线的方程，结合两点间的距离公式整理后得到|AB|=2|PQ| ， 即4(1+t2)(n+t2)=22(1+t2)计算出n的值，由此得到点P的坐标。 22.已知函数 f(x)=2xlna-(x+a)lnx . （1）当 a=e 时，求曲线 y=f(x) 在 x=1 处的切线方程； （2）讨论函数 f(x) 的零点个数. 【答案】 （1）当 a=e 时， f(x)=2xlne-(x+e)lnx=2x-(x+e)lnx ， 定义域为 (0,+) ， f(x)=2-lnx-x+ex ， 又 f(1)=2 ， f(1)=1-e ，曲线 y=f(x)
37、在 x=1 处的切线方程是 y-2=(1-e)(x-1) ，即 (1-e)x-y+1+e=0 ；（2）显然 a0 ，函数 f(x) 的定义域为 (0，+) ， f(x)=2lna-lnx-x+ax ， 令 g(x)=f(x)=2lna-lnx-x+ax ，则 g(x)=-1x+ax2=a-xx2 ，当 0x0 ，当 xa 时， g(x)0 ， g(x) 在 (0，a) 上单调递增，在 (a，+) 上单调递减， g(x) 有最大值 g(a)=lna-2 ，当 lna-20 ，即 00 ，即 ae2 时， g(a)0 ， g(1)=2lna-1-a ，令 h(a)=2lna-1-a ( ae2 )
38、，则 h(a)=2a-1=2-aa0 ， h(a) 在 (e2，+) 上单调递减， h(a)4-1-e2=3-e20 ， g(1)0 ； g(a2)=2lna-lna2-a2+aa2=-a2+aa20 且 g(x) 在 (0，a) 上单调递增，在 (a，+) 上单调递减，存在 x1(1,a) ，使得 g(x1)=0 ，存在 x2(a，a2) ，使得 g(x2)=0 ，当 0xx1 时， f(x)0 ，当 x1x0 ，当 xx2 时 f(x)0 ，即 f(x) 在 (0，x1) 上单调递减，在 (x1，x2) 上单调递增，在 (x2，+) 上单调递减，又 f(a)=0 ，且 x1ax2 ， f(
39、x) 在 (x1,x2) 内有唯一零点，且 f(x1)0 ，又 f(1)=2lna0 ， f(a2)=2a2lna-(a2+a)lna2=-2alnae2 时，函数 f(x) 有三个零点，因此当 0e2 时，函数 f(x) 有三个零点.【考点】利用导数研究函数的单调性，利用导数研究曲线上某点切线方程，函数的零点与方程根的关系 【解析】【分析】(1)根据题意把a的值代入求出函数的解析式，再对函数求导并把点的坐标代入到导函数的解析式计算出导函数的值即为直线的斜率值，由点斜式即可求出直线的方程。 (2)首先求出函数的定义域，对其求导得到f(x)=2lna-lnx-x+ax ， 构造函数g(x)=f(x)=2lna-lnx-x+ax对其求导并结合a的不同取值范围即可得出导函数的性质，由此即可得出函数g(x)的单调性，由函数g(x)的单调性即可求出函数g(x)的最值进而得出f(x)0 ， 由此得出函数f(x)的单调性，结合零点的定义以及导函数的性质即可得出函数f(x)的单调性，由函数f(x)的单调性即可求出函数的最值，即可得出 f(x) 在 (0，x1) 与 (x2，+) 内均有唯一零点，即 当 ae2 时，函数 f(x) 有三个零点，由此得证出结论。