1、银川二中2020-2021学年第一学期高二年级月考一试卷数学（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 命题的否定是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据全称命题的否定是特称命题，写出即可【详解】命题的否定为故选：【点睛】本题考查了全称命题的否定是特称命题的应用问题，是基础题2. 椭圆的一个焦点坐标是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由判断出焦点位置，再求出即可得出答案.【详解】因为，所以，所以椭圆焦点在x轴上，所以，所以椭圆焦点坐标为，故选：C.【点睛】本题考查椭圆的标准方程
2、、简单几何性质，属于基础题.3. 已知椭圆上的一点到椭圆一个焦点的距离为，则点到另一个焦点的距离为（ ）A B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据椭圆定义，即可求得点P到另外一个焦点的距离【详解】设所求距离为，由题意得根据椭圆的定义得，故点到另一个焦点的距离为故选:A【点睛】本题考查了椭圆的定义，属于基础题4. 已知椭圆的焦点在轴上，若焦距为，则等于（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】本题根据已知判断出、，再利用，可求出答案.【详解】椭圆的焦点在轴上，焦距为4，即，解得.故选：D【点睛】本题考查椭圆的标准方程和，满足的方程关系，考查学生的计算求解能力，属于基础题.
3、5. 若焦点在轴上的椭圆的离心率为，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用椭圆的几何性质，列方程组，然后直接求解即可【详解】由于该椭圆焦点在轴上，则半焦距满足，可得故答案选：C【点睛】本题主要考查椭圆的几何性质，属于基础题6. 双曲线的焦点坐标是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】将方程整理成标准形式可得双曲线基本量，进一步可得焦点坐标.【详解】由得：，所以焦点坐标.故选:C【点睛】此题考查由双曲线的标准方程求基本量的方法，属于基础题.7. 双曲线的渐近线方程是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据双曲线的渐近线公式，即可求出结
4、果【详解】由题意可知，双曲线的渐近线方程为.故选：B.【点睛】本题主要考查了双曲线的几何性质，属于基础题.8. 若点在椭圆的内部，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据点与椭圆的位置关系即可求解.【详解】解：，所以故选：B.【点睛】考查已知点与圆的位置关系求参数的取值范围，基础题.9. 设椭圆的左、右焦点分别为，是椭圆上的点，则的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据是等腰直角三角形得到关于a，b，c的齐次式，结合b2a2c2转化为a，c的齐次式，然后等式两边分别除以a2转化为关于e的方程，解方程即可得e【详解】由，所以是等
5、腰直角三角形，且，设，所以，因为，所以，即，由，得，则的离心率为，故选：A.【点睛】本题考查椭圆的离心率，离心率是椭圆最重要的几何性质.10. 已知圆，动点为圆上任意一点，则的垂直平分线与的交点的轨迹方程是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】的垂直平分线与的交点，所以，则，进而可以利用椭圆的第一定义和焦距进行求解【详解】的垂直平分线与的交点，所以，则，故的轨迹是以，为焦点，长轴长为8的椭圆，所以，点的轨迹方程是故选：C【点睛】本题考查椭圆的第一定义的运用，属于基础题11. 已知为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，则等于（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】首先
6、根据椭圆的定义得到，再利用余弦定理计算即可.【详解】由题知：，所以，.又因为.所以.故选：B【点睛】本题主要考查椭圆的定义，同时考查了余弦定理，属于简单题.12. 已知椭圆上有一点，它关于原点的对称点为，点为椭圆的右焦点，且满足，设，且，则该椭圆的离心率的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】设椭圆的左焦点为，连接，可知四边形为矩形，从而可知，且，由，可得，结合，可得，根据，求出范围即可.【详解】如图所示，设椭圆的左焦点为，连接，则四边形为矩形，所以，由，可得，即，.故选：A.【点睛】本题考查椭圆的离心率，考查椭圆的简单性质的应用，考查逻辑思维能力和运算能力，属于中
7、档题.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把正确答案填在答题卡相应题号的横线上）13. 若双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线上，且，则等于_.【答案】10【解析】【分析】求得双曲线的，由双曲线的定义可得，代入已知条件解方程即可得到所求值【详解】解：双曲线的，由双曲线的定义可得，由，可得，解得舍去）故答案为：【点睛】本题考查双曲线的定义和方程，考查定义法的运用，以及运算能力，属于基础题14. 已知方程表示椭圆，则实数的取值范围为_.【答案】【解析】【分析】根据椭圆标准方程的要求求解即可.详解】解：，即故答案为：.【点睛】考查已知椭圆标准方程求参数的取值范围，基础题.15. 已知中
8、心在原点，焦点在轴上的双曲线的离心率，其焦点到渐近线的距离为，则此双曲线的方程为_.【答案】【解析】【分析】首先根据离心率得到渐近线方程为，根据其焦点到渐近线的距离为得到，从而得到，即可得到双曲线的标准方程.【详解】因为双曲线的离心率，所以，所以，即双曲线渐近线方程为.则到一条直线渐近线的距离，解得.所以，双曲线的方程为.故答案为：【点睛】本题主要考查根据双曲线的几何性质求双曲线的标准方程，属于简单题.16. 给出下列四个命题：“”是“”的充分不必要条件；设，命题“若，则”的否命题是真命题；若则或是假命题；已知点的坐标分别为直线相交于点，且它们的斜率之积是，则点的轨迹方程为.其中所有正确命题的
9、序号是_.【答案】【解析】【分析】对，根据即可判断正确；对，写出命题的否命题，即可判断正确；对，根据逆否命题为真即可判断原命题为证明题，从而得到错误，对，得到的轨迹方程为，即可判断错误.【详解】对，因为，所以“”是“”的充分不必要条件，故正确；对，“若，则”的否命题为：“若，则”，因为，则且，所以，故正确；对，若，则或的逆否命题为：若且，则，为真命题，所以若，则或也为真命题，故错误；对，设，由题知：，因为，所以，整理得：，故错误.故答案为：【点睛】本题主要考查命题的真假判断，同时考查了充分必要条件和椭圆的轨迹方程，属于中档题.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证
10、明过程或演算步骤）17. （1）焦点在轴上的椭圆过点，离心率，求椭圆的标准方程；（2）已知双曲线过点，它的渐近线方程为，求双曲线的标准方程.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】(1)设椭圆的标准方程，代入已知点，再由离心率及可解得基本量.(2)由渐近线方程可设双曲线方程为，代入点的坐标即可.【详解】(1)设椭圆标准方程为：，过点，则，又 ，联立解得，所以椭圆标准方程为: (2)由双曲线的渐近线方程，可设双曲线方程为: 又双曲线过点，所以，解得所以双曲线的标准方程为: 【点睛】此题为基础题，考查椭圆和双曲线标准方程的求法.18. 已知命题：方程表示焦点在轴上的双曲线，命题：曲线与轴无交点，若
11、为假命题，为真命题，求实数的取值范围.【答案】【解析】【分析】分别求出命题为真命题时的范围，根据复合命题真值表可得命题命题一真一假，分别就“真假”和“假真”求出的范围，再求并集即可【详解】由题：若为真，则，；若为真，则；为假命题，为真命题，则真假，或假真，若真假，；若假真，；综上所述：实数的取值范围为.【点睛】本题借助考查复合命题的真假判定，考查了双曲线的标准方程，关键是求得命题为真时的等价条件19. 若椭圆的左、右焦点分别为，椭圆上一点向轴作垂线，垂足恰为左焦点，又点是椭圆与轴正半轴的交点，点是椭圆与轴正半轴的交点，且平行于，.（1）求椭圆的标准方程；（2）若点是椭圆上一点，以点及为顶点的三
12、角形面积等于，求点的坐标.【答案】（1）；（2）或或或【解析】【分析】（1）设点，代入椭圆方程可得，则，由平行于，所以，进而可得到，整理得，再结合，可求出的值，即可得到椭圆方程；（2）设，由三角形的面积为，及点在椭圆上，可求出，根据对称性，可知的坐标有四种情况，分别在四个象限内，求解即可.【详解】（1）由题意，设点，代入椭圆方程得，则，故，因为平行于，所以，又，所以，即，联立，解得，又，所以，则椭圆方程为.（2）若点在第一象限，设，则三角形的面积为，解得，将点代入椭圆方程，得，解得，所以当点在第一象限时，的坐标为；根据对称性，点也可以在第二、第三、第四象限，坐标分别为.综上，点的坐标为或或或.
13、【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查三角形的面积，考查学生的计算求解能力，属于中档题.20. 已知椭圆，一组平行直线的斜率是.（1）这组直线何时与椭圆有公共点？（2）当它们与椭圆相交时，求这些直线被椭圆截得的线段的中点所在的直线方程.【答案】（1）截距在范围内；（2）.【解析】【分析】（1）由已知设直线方程结合椭圆方程，根据有公共点即所得方程的判别式即可知直线截距在上有交点；（2）结合（1）由中点坐标可得，而其中必有原点即可求直线方程；【详解】（1）设平行直线的方程为，若直线与椭圆有公共点，则：将代入，整理得：，解得：；（2）令交点坐标分别为，由（1）知：，而，所以线段中点坐标为，其中必有一个
14、中点为坐标原点，故直线的斜率为，所在的直线方程：；【点睛】本题考查了直线与椭圆的位置关系，计算确定何时它们会有公共点，以及求交点弦的中点所构成直线的方程.21. 已知焦点在轴上双曲线经过点.（1）求双曲线的离心率；（2）若直线与双曲线交于两点，求弦长.【答案】（1）；（2）8.【解析】【分析】（1）设双曲线方程，用待定系数法可求；（2）联立双曲线和直线的方程，表示出两根之和，两根之积，利用弦长公式可求.【详解】解：（1）设双曲线的方程为，则，所以，；（2）由（1）得双曲线的方程为，设，弦长为8.【点睛】考查双曲线离心率的求法以及弦长的求法，中档题.22. 在平面直角坐标系中，椭圆与双曲线有相同
15、的焦点，点是椭圆上一点，且的面积等于.（1）求椭圆的方程；（2）过圆上任意一点作椭圆的两条切线，若两条切线都存在斜率，求证：两切线斜率之积为定值.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由题得双曲线的焦点为，设椭圆方程为，根据已知求出即得解；（2）设点，过点的椭圆的切线的方程为，联立直线和椭圆方程得，由得，即得.【详解】（1）由题得双曲线的焦点为，设椭圆方程为，由题得，由余弦定理得，所以.所以所以椭圆方程为；（2）设点，过点的椭圆的切线的方程为，联立得，因与椭圆相切，故，整理可得设满足题意的椭圆的两条切线的斜率分别为，则，因在圆上，所以，因此，故两切线斜率之积为定值.【点睛】本题主要考查椭圆的方程的求法，考查余弦定理和椭圆的定义，考查直线和椭圆的位置关系和定值问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
