1、第八节圆锥曲线中的范围、最值问题(对应学生用书第165页)考点1范围问题圆锥曲线中范围问题的五个解题策略解决有关范围问题时，先要恰当地引入变量(如点的坐标标、角、斜率等)，寻找不等关系，其方法有：(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围(2019大连模拟)设椭圆1(a
2、b0)的左焦点为F1，离心率为，点F1为圆M：x2y22x150的圆心(1)求椭圆的方程；(2)已知过椭圆右焦点F2的直线l交椭圆于A，B两点，过点F2且与直线l垂直的直线l1与圆M交于C，D两点，求四边形ACBD面积的取值范围解(1)由题意知，则a2c.圆M的标准方程为(x1)2y216，从而椭圆的左焦点为F1(1,0)，即c1.所以a2.由b2a2c2，得b.所以椭圆的方程为1.(2)由(1)可知椭圆右焦点F2(1,0)当直线l与x轴垂直时，此时斜率k不存在，直线l：x1，直线l1：y0，可得|AB|3，|CD|8，四边形ACBD的面积为12.当直线l与x轴平行时，此时斜率k0，直线l：y
3、0，直线l1：x1，可得|AB|4，|CD|4，四边形ACBD的面积为8.当直线l与x轴不垂直也不平行时，设直线l的方程为yk(x1)(k0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)联立得(4k23)x28k2x4k2120.显然0，且x1x2，x1x2.所以|AB|x1x2|.过点F2(1,0)且与直线l垂直的直线l1：y(x1)，则圆心到直线l1的距离为，所以|CD|24.故四边形ACBD的面积S|AB|CD|12.可得当直线l与x轴不垂直时，四边形ACBD面积的取值范围为(12,8)综上，四边形ACBD面积的取值范围为12,8过点F2的直线l与l1，有斜率不存在的情况，应分类求解教师备选例题
4、(2019石家庄模拟)已知抛物线C：y22px(p0)上一点P(x0,2)到焦点F的距离|PF|2x0.(1)求抛物线C的方程；(2)过点P引圆M：(x3)2y2r2(0r)的两条切线PA，PB，切线PA，PB与抛物线C的另一交点分别为A，B，线段AB中点的横坐标记为t，求t的取值范围解(1)由抛物线定义，得|PF|x0，由题意得，解得所以抛物线C的方程为y24x.(2)由题意知，过P引圆(x3)2y2r2(0r)的切线斜率存在且不为0，设切线PA的方程为yk1(x1)2，则圆心M(3,0)到切线PA的距离dr，整理得，(r24)k8k1r240.设切线PB的方程为yk2(x1)2，同理可得(
5、r24)k8k2r240.所以k1，k2是方程(r24)k28kr240的两根，k1k2，k1k21.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得，k1y24y4k180，由根与系数的关系知，2y1，所以y124k22，同理可得y24k12.(8分)t2(kk)2(k1k2)12(k1k2)22(k1k2)3，设k1k2，则4，2)，所以t2223，其图像的对称轴为2，所以9t37.(2019郑州模拟)已知椭圆的一个顶点A(0，1)，焦点在x轴上，离心率为.(1)求椭圆的标准方程；(2)设直线ykxm(k0)与椭圆交于不同的两点M，N.当|AM|AN|时，求m的取值范围解(1)设椭圆的标准方程为
6、1(ab0)，联立解得故椭圆的标准方程为y21.(2)设P(x0，y0)为弦MN的中点，M(x1，y1)，N(x2，y2)联立得(4k21)x28kmx4(m21)0.则x1x2，x1x2.(8km)216(4k21)(m21)0，所以m214k2.所以x0，y0kx0m.所以kAP.又|AM|AN|，所以APMN，则，即3m4k21.把代入得m23m，解得0m3.由得k20，解得m.综上可知，m的取值范围为.考点2最值问题求解圆锥曲线中最值问题的两种方法(1)利用几何法：通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；(2)利用代数法：把要求最值的几何量或代数表达式表示为某
7、个(些)参数的函数(解析式)，再求这个函数的最值，最值通常用基本不等式法、配方法、导数法求解利用基本不等式求最值已知抛物线E：y22px(0p10)的焦点为F，点M(t,8)在抛物线E上，且|FM|10.(1)求抛物线E的方程；(2)过点F作互相垂直的两条直线，与抛物线分别相交于点A，B，C，D，P、Q分别为弦AB、CD的中点，求FPQ面积的最小值解(1)抛物线E的准线方程为x.由抛物线的定义可得|FM|t10，故t10.由点M在抛物线上，可得822p，整理得p220p640，解得p4或p16，又0p10，所以p4.故抛物线E的方程为y28x.(2)由(1)知抛物线E的方程为y28x，焦点为F
8、(2,0)，由已知可得ABCD，所以两直线AB，CD的斜率都存在且均不为0.设直线AB的斜率为k，则直线CD的斜率为，故直线AB的方程为yk(x2)联立方程组，消去x，整理得ky28y16k0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y2，因为P(xP，yP)为弦AB的中点，所以yP(y1y2)，由yPk(xP2)得xP22，故P.同理可得Q(4k22，4k)故|QF|4，|PF|.因为PFQF，所以FPQ的面积S|PF|QF|4888216，当且仅当|k|，即k1时，等号成立所以FPQ的面积的最小值为16.求点Q的坐标时，可根据直线AB与CD的斜率关系，把点P坐标中的k换成，即可得到点Q
9、的坐标教师备选例题已知点A(0，2)，椭圆E：1(ab0)的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点(1)求E的方程；(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点当OPQ的面积最大时，求l的方程解(1)设F(c,0)，由条件知，得c.又，所以a2，b2a2c21.故E的方程为y21.(2)当lx轴时不合题意，故设l：ykx2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)将ykx2代入y21，得(14k2)x216kx120.当16(4k23)0，即k2时，x1,2.从而|PQ|x1x2|.又点O到直线PQ的距离d，所以OPQ的面积SOPQd|PQ|.设t，则t0，SOPQ.因为t4，
10、当且仅当t2，即k时等号成立，且满足0.所以，当OPQ的面积最大时，l的方程为yx2或yx2.利用二次函数求最值(2019合肥模拟)已知直线l：xy10与焦点为F的抛物线C：y22px(p0)相切(1)求抛物线C的方程；(2)过焦点F的直线m与抛物线C分别相交于A，B两点，求A，B两点到直线l的距离之和的最小值解(1)直线l：xy10与抛物线C：y22px(p0)相切，联立消去x得y22py2p0，从而4p28p0，解得p2或p0(舍)抛物线C的方程为y24x.(2)由于直线m的斜率不为0，可设直线m的方程为tyx1，A(x1，y1)，B(x2，y2)联立消去x得y24ty40，0，y1y24
11、t，即x1x24t22，线段AB的中点M的坐标为(2t21,2t)设点A到直线l的距离为dA，点B到直线l的距离为dB，点M到直线l的距离为d，则dAdB2d22|t2t1|2，当t时，A，B两点到直线l的距离之和最小，最小值为.本例第(2)问的关键是根据梯形中位线定理得到dAdB2d.教师备选例题(2019齐齐哈尔模拟)已知抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，过点F且斜率为1的直线与抛物线C相交于A，B两点，且|AB|8.(1)求抛物线C的方程；(2)过点Q(1,1)作直线交抛物线C不同于R(1,2)的D，E两点，若直线DR，ER分别交直线l：y2x2于M，N两点，求|MN|取最小值时直
12、线DE的方程解(1)由题意知，设A(xA，yA)，B(xB，yB)，F，直线AB的方程为xy，联立得y22pyp20，解得y(1)p.则|AB|4p8，p2，抛物线的方程为y24x.(2)设D(x1，y1)，E(x2，y2)，由题意知，直线DE的斜率存在且不为0.设直线DE的方程为xm(y1)1(m0)，联立消去x得y24my4(m1)0，y1y24m，y1y24(m1)|y2y1|4.设直线DR的方程为yk1(x1)2，联立解得xM.又k1，xM.同理得xN.|MN|xMxN|22.令m1t，t0，则mt1.|MN|222.当t2，m1时，|MN|取得最小值此时直线DE的方程为x(y1)1，
13、即xy20.(2019黄山模拟)已知点M(1，n)在抛物线y22px(p0)上，且点M到抛物线焦点的距离为2.直线l与抛物线交于A，B两点，且线段AB的中点为P(3,2)(1)求直线l的方程(2)点Q是直线yx上的动点，求的最小值解(1)由题意知，抛物线的准线方程为x，所以12，解得p2，所以抛物线的方程为y24x.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y4x1，y4x2，则yy4(x1x2)，即1，所以直线l的方程为y2x3，即xy10.(2)因为点A，B都在直线l上，所以A(x1，x11)，B(x2，x21)，设Q(m，m)，(x1m，x1(m1)(x2m，x2(m1)(x1m)(x2m
14、)x1(m1)x2(m1)x1x2m(x1x2)m2x1x2(m1)(x1x2)(m1)22x1x2(2m1)(x1x2)m2(m1)2，联立得x26x10，则x1x26，x1x21，所以2(2m1)6m2m22m12m210m32，当m时，取得最小值，为.利用导数求最值(2017浙江高考)如图，已知抛物线x2y，点A，B，抛物线上的点P(x，y).过点B作直线AP的垂线，垂足为Q.(1)求直线AP斜率的取值范围；(2)求|PA|PQ|的最大值解(1)设直线AP的斜率为k，kx，因为x，所以直线AP斜率的取值范围是(1,1)(2)联立直线AP与BQ的方程解得点Q的横坐标是xQ.因为|PA|(k
15、1)，|PQ|(xQx)，所以|PA|PQ|(k1)(k1)3.令f(k)(k1)(k1)3，因为f(k)(4k2)(k1)2，所以f(k)在区间上单调递增，上单调递减，因此当k时，|PA|PQ|取得最大值.|PA|PQ|用含k的高次多项式表示，宜用导数求最值在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：x22py(p0)的焦点为F，点A在C上，若|AO|AF|.(1)求C的方程；(2)设直线l与C交于P，Q，若线段PQ的中点的纵坐标为1，求OPQ的面积的最大值解(1)点A在抛物线C上，|AO|AF|，p2，C的方程为x24y.(2)设直线方程为ykxb，代入抛物线方程，可得x24kx4b0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1x24k，y1y24k22b，线段PQ的中点的纵坐标为1，2k2b1，OPQ的面积Sbb(0b1)，设yb3b2，y3b22b0，故函数单调递增，b1时，OPQ的面积取得最大值为2.