1、目标导航1掌握应用定积分解决求比较复杂的平面图形的面积问题；2在解决问题的过程中，通过数形结合的思想方法，加深对定积分的几何意义的理解；3掌握应用定积分解决求变速直线运动的路程，求变力做功等问题1 新知识预习探究知识点一定积分在几何中的应用 从几何上看，如果在区间a，b上函数f(x)连续且恒有f(x)0，那么定积分ab f(x)dx表示直线xa，xb(ab)，y0和曲线yf(x)所围成的曲边梯形的面积【练习1】曲线ycosx0 x32 与坐标轴所围成的图形面积是()A2 B3C.52D4解析：Sa2cosxdx|232cosxdx|02cosxdx232cosxdxsinx|20 sinx|3
2、22 123.答案：B知识点二 定积分在物理中的应用1做变速直线运动的物体所经过的路程s等于其速度函数vv(t)(v(t)0)在时间区间a，b上的定积分，即sabv(t)dt.2一物体在恒力F(单位：N)的作用下做直线运动，如果物体沿着与F相同的方向移动了s(单位：m)，则力F所做的功为WFs.与曲边梯形的面积和求变速直线运动的路程一样，可以用“四步曲”解决变力做功问题，可以得到WabF(x)dx.【练习2】已知做自由落体运动的物体的速度为vgt，则物体从t0到tt0所走过的路程为()A.13gt20Bgt20C.12gt20D.14gt202 新视点名师博客1.几种典型的平面图形面积的计算(
3、1)求由一条曲线yf(x)和直线xa，xb(ab)及y0所围成平面图形的面积S.主要有以下三种常见类型：如图所示，f(x)0，abf(x)dx0，Sabf(x)dx.如图所示，f(x)0，abf(x)dx0，S|abf(x)dx|abf(x)dx.如图所示，当axc时，f(x)0，acf(x)dx0；图图图当cxb时，f(x)0，cbf(x)dx0.S|acf(x)dx|cbf(x)dxacf(x)dxcbf(x)dx.(2)由两条曲线f(x)和g(x)，直线xa，xb(ab)所围成平面图形的面积S.如图所示，当f(x)g(x)0时，Sabf(x)g(x)dx.如图所示，当f(x)0，g(x)
4、0时，Sabf(x)dx|abg(x)dx|abf(x)g(x)dx.图图2求由两条曲线围成的平面图形的面积的步骤(1)画出图形；(2)确定图形范围，通过解方程组求出交点的横坐标，定出积分上、下限；(3)确定被积函数，特别要注意分清被积函数的上、下位置；(4)写出平面图形面积的定积分表达式；(5)运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积.3 新课堂互动探究考点一 利用定积分求平面图形的面积 例1 求抛物线y22x和直线yx4所围成的图形的面积解析：先求抛物线和直线的交点，解方程组y22x，yx4，求出交点坐标为A(2,2)和B(8，4)方法一：选x为积分变量，变化区间为0,8，将图形分
5、割成两部分(如图)，则面积为SS1S2202 2xdx28(2xx4)dx18.方法二：选y作积分变量，则y的变化区间为4,2，如图得所求的面积为S-424yy22 dy4y12y216y3|2418.点评：利用定积分求由两条曲线围成的平面图形的面积的解题步骤：(1)画出图形(2)确定图形范围，通过方程组求出交点的横坐标，确定积分上限和积分下限(3)确定被积函数及积分变量，确定时可以综合考察下列因素：被积函数的原函数易求；较少的分割区域；积分上限和积分下限比较简单(4)写出平面图形的面积的定积分表达式(5)运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积变式探究1 求曲线yex，yex及直线x
6、1所围成的图形的面积解析：如图，由yex，yex，解得交点为(0,1)，所求面积为S01(exex)dx(exex)|10e1e2.考点二 求变速直线运动的路程、位移例2 有一动点P沿x轴运动，在时间t时的速度为v(t)8t2t2(速度的正方向与x轴正方向一致)求：(1)点P从原点出发，当t6时，点P离开原点的路程和位移；(2)点P从原点出发，经过时间t后又返回原点时的t值解析：(1)由v(t)8t2t20，得0t4，即当0t4时，P点向x轴正方向运动，当t4时，P点向x轴负方向运动故t6时，点P离开原点的路程为s104(8t2t2)dt46(8t2t2)dt4t223t3|404t223t3
7、|641283.当t6时，点P的位移为06(8t2t2)dt4t223t3|600.(2)依题意0t(8t2t2)dt0，即4t223t30，解得t0或t6，t0对应于P点刚开始从原点出发的情况，t6是所求的值点评：(1)用定积分解决变速直线运动的位移和路程问题时，将物理问题转化为数学问题是关键(2)路程是位移的绝对值之和，因此在求路程时，要先判断速度在区间内是否恒正，若符号不定，应求出使速度恒正或恒负的区间，然后分别计算，否则会出现计算失误变式探究2(1)一物体沿直线以v3t2(t单位：s，v单位：m/s)的速度运动，则该物体在3 s6 s间的运动路程为()A46 m B46.5 mC87
8、mD47 m(2)物体以速度v(t)3t22t4做直线运动，它在第3秒内的位移是()A12 B14C16 D18解析：(1)s36(3t2)dt32t22t|63(5412)272 646.5(m)(2)其位移为s23(3t22t4)dt(t3t24t)|32(27912)(848)18.答案：(1)B(2)D考点三利用定积分计算变力做功例3 设有一长25 cm的弹簧，若加以100 N的力，由弹簧伸长到30 cm，又已知弹簧伸长所需要的拉力与弹簧的伸长量成正比，求使弹簧由25 cm伸长到40 cm所做的功解析：设x表示弹簧伸长的量(单位：m)，F(x)表示加在弹簧上的力(单位：N)由题意，得F
9、(x)kx，且当x0.05 m时，F(0.05)100 N，即0.05k100，k2 000，F(x)2 000 x.将弹簧由25 cm伸长到40 cm时所做的功为W0.1502 000 xdx1 000 x2|0.15022.5(J)点评：解决变力做功注意以下两个方面：(1)首先要将变力用其方向上的位移表示出来，这是关键的一步(2)根据变力做功的公式将其转化为求定积分的问题变式探究3 一物体在变力F(x)36x2(N)的作用下沿坐标平面内x轴的正方向由x8 m处运动到x18 m处，求力F(x)在这一过程中所做的功解析：由题意得力F(x)在这一过程中所做的功为F(x)在8,18上的定积分，从而
10、W188 F(x)dx36x1|188(36181)(3681)(2)92 52(J)从而可得力F(x)在这一过程中所做的功为52 J.4新思维随堂自测1.一物体以速度v3t22t(单位：m/s)做直线运动，则它在t0 s到t3 s时间段内的位移是()A31 m B36 mC38 mD40 m解析：S03(3t22t)dt(t3t2)|30333236(m)答案：B2一物体在力F(x)4x1(单位：N)的作用下，沿着与力F相同的方向，从x1处运动到x3处(单位：m)，则力F所做的功是()A8 JB10 JC12 JD14 J解析：由变力做功公式得W13(4x1)dx(2x2x)|3114(J)
11、答案：D3若1 N的力能使弹簧伸长2 cm，则使弹簧伸长12 cm时克服弹力所做的功为_解析：弹簧的伸长与所受到的拉力成正比，设Fkx，求得k50，F(x)50 x.W0.12050 xdx25x2|0.1200.36(J)答案：0.36 J4如图，由两条曲线yx2，y 14 x2与直线y1围成平面区域的面积是_解析：y1与yx2在第一象限交点A(1,1)，y1与y x24 在第一象限交点B(2,1)，由对称性可知面积S201x2dx121dx0214x2dx 43.答案：435一物体做变速直线运动，其vt曲线如图所示，求该物体在 12s6 s间的运动路程解析：由题意，得v(t)2t0t1，21t3，13t13t6，由变速直线运动的路程公式，可得所以该物体在12 s6 s间的运动路程是494 m.