1、2015-2016学年江西省九江市高二（上）期末数学试卷（文科）一.选择题（本大题共18小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题意的）1已知命题P：xR，x2+2x+20，则P为（）AxR，x2+2x+20，真命题BxR，x2+2x+20，假命题CxR，x2+2x+20，假命题DxR，x2+2x+20，真命题2“k0”是“方程+=1表示双曲线”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件3函数f（x）在区间（a，b）上的导函数f（x）的图象如图所示，则函数f（x）的单调递减区间是（）Ax1，x3Bx2，x4Cx3，x5Dx1，x24（重点中
2、学做）在ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosB=，那么ABC是（）A等腰直角三角形B等腰三角形C直角三角形D等边三角形5（普通中学做）在ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b=2，c=2，B=，则C=（）A B C D6设实数x，y满足约束条件，则目标函数z=x3y的最大值为（）A7BC26D67（重点中学做）在等差数列an中，已知a6=1，则数列an的前11项和S11=（）A7B9C11D138在等比数列an中，已知a2+a3=1，a4+a5=2，则a8+a9等于（）A2B4C8D169（重点中学做）不等式x1的解集是（）A（，1（1，3B1，1）3，+）C
3、（，13，+）D1，1）（1，310（普通中学做）不等式1的解集是（）A（，15，+）B（，1）5，+）C（1，5D5，+）11函数y=sinxx在区间0，2上的最小值为（）AB1C0D212（重点中学做）已知x0，y0，2x+y+2xy=3，则2x+y的最小值是（）A6B3C2D113（普通中学做）若正实数x，y满足2x+y+6=xy，则xy的最小值为（）A2B3C18D14已知函数f（x）=x2+kx的图象在点（1，f（1）处的切线方程为3xy+b=0，则数列的前n项和为（）A B C D15（重点中学做）已知数列an的首项a1=1，前n项和Sn满足对任意m，nN+，2SmSn=Sm+n恒
4、成立，那么a2015=（）A22013B22014C22015D2201616（普通中学做）已知数列an的首项a1=1，前n项和Sn满足对任意m，nN+，Sm+Sn=Sm+n恒成立，那么S2015=（）A2014B2015C2016D201717如图，F1，F2分别是椭圆=1（ab0）的两个焦点，A和B是以O为圆心，以|OF1|为半径的圆与该椭圆左半部分的两个交点，且F2AB是等边三角形，则该椭圆的离心率为（）A B C1D18（普通中学做）已知双曲线C1：=1（a0，b0）以及双曲线C2：=1（a0，b0）的渐近线将第一象限三等分，则C1，C2的离心率之积为（）A B或4C D4二.填空题（
5、每小题5分，共20分）19命题“若x22x30，则x1或x3”的逆否命题是20函数y=xex的单调减区间是21（重点中学做）已知直线xmy2=0与抛物线y2=8x相交于A，B两点，线段AB的中点为M（6，4m），则|AB|=22（普通中学做）过抛物线C：y2=8x焦点的直线与C相交于A，B两点，线段AB的中点为M（3，m），则|AB|=23（重点中学做）已知函数f（x）=，若关于x的方程f（x）=ax有且仅有三个不相等的实数根，则实数a的取值范围为24（普通中学做）若函数f（x）=|lnx|ax有且仅有三个零点，则实数a的取值范围为三.解答题（每小题12分，共70分）25已知命题p：函数f（x
6、）=x2+ax2在（2，2）内有且一个零点命题q：x2+2ax+40对任意xR恒成立若命题“pq”是假命题，求实数a的取值范围26设数列an满足a1=2，an+1an=2n（nN+）（1）求数列an的通项公式；（2）令bn=，求数列bn的前n项和Sn27（重点中学做）在ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足=（1）求角C的大小；（2）若c=4，求a+b的最大值28在ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足2bcosA+ccosA+acosC=0（1）求角A的大小；（2）若a=3，求bc的最大值29已知函数f（x）=a（x1）2lnx（aR）（1）当a=1时，求曲线y=
7、f（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（2）若函数f（x）在区间（0，1上的最小值为0，求a的取值范围30（重点中学做）如图所示，设A，B分别是椭圆E： +=1（ab0）的右顶点和上顶点，过原点O作直线交线段AB于点M（异于点A，B），交椭于C，D两点（点C在第一象限内），ABC与ABD的面积分别为S1与S2（1）若M是线段AB的中点，直线OM的方程为y=x，点P（3，1）在椭圆E上，求椭圆E的方程；（2）当点M在线段AB上运动时，求的最大值31（普通中学做）已知椭圆C： +=1（ab0）经过点P（0，2），离心率e=（1）求椭圆C的方程；（2）试问是否存在直线l：y=kx与椭圆C相交于不同
8、的两点M，N，且|PM|=|PN|？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由请考生在下面三道题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.32某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为x，y（单位：m）的矩形，上部是等腰直角三角形，要求框架围成的总面积为4m2，问x，y分别为多少时用料最省？并求最省用料33某物流公司购买了一块长AM=60m，宽AN=30m的矩形地块AMPN，规划建设占地如图则矩形ABCD的仓库，其余地方为道路和停车场，要求顶点C在地块对角线MN上，B，D分别在边AM，AN上若规划建设的仓库是高度与AB的长相同的长方体建筑，问AB长为多少时仓库的库容最大？并求最大
9、库容（墙体及楼板所占空间忽略不计）34如图所示，某公司设计生产一种长方形薄板ABCD（ABAD），其周长为8m，这种薄板须沿对角线AC折叠后使用设AB交DC于点P问AB长为多少时，ADP的面积最大？并求最大面积2015-2016学年江西省九江市高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一.选择题（本大题共18小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题意的）1已知命题P：xR，x2+2x+20，则P为（）AxR，x2+2x+20，真命题BxR，x2+2x+20，假命题CxR，x2+2x+20，假命题DxR，x2+2x+20，真命题【考点】命题的否定【分析】利用特称
10、命题的否定是全称命题写出结果，然后判断真假即可【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题P：xR，x2+2x+20的否定P为：xR，x2+2x+20，真命题故选：D2“k0”是“方程+=1表示双曲线”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合双曲线的方程进行判断即可【解答】解：若方程+=1表示双曲线，则k（1k）0，即k（k1）0，解得k1或k0，即“k0”是“方程+=1表示双曲线”的充分不必要条件，故选：A3函数f（x）在区间（a，b）上的导函数f（x）的图象如图所示，则函
11、数f（x）的单调递减区间是（）Ax1，x3Bx2，x4Cx3，x5Dx1，x2【考点】函数的图象【分析】根据函数f（x）的导函数图象，得出f（x）0的区间，即是函数f（x）的单调递减区间【解答】解：根据函数f（x）的导函数图象，得；当xx2，x4时，f（x）0，函数f（x）是减函数；函数f（x）的单调递减区间是x2，x4故选：B4（重点中学做）在ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosB=，那么ABC是（）A等腰直角三角形B等腰三角形C直角三角形D等边三角形【考点】三角形的形状判断【分析】由已知利用正弦定理可得：sinC=2sinAcosB，由三角形内角和定理及三角函数恒等变换
12、的应用化简可得sin（AB）=0，利用正弦函数的图象和性质可得A=B，从而得解为等腰三角形【解答】解：cosB=，利用正弦定理可得：sinC=2sinAcosB，sin（A+B）=2sinAcosB，sinAcosB+cosAsinB=2sinAcosB，sin（AB）=0，A=B，ABC为等腰三角形故选：B5（普通中学做）在ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b=2，c=2，B=，则C=（）A B C D【考点】正弦定理【分析】由正弦定理可求得：sinC=，利用大边对大角可得CB，利用特殊角的三角函数值即可得解【解答】解：b=2，c=2，B=，由正弦定理可得：sinC=，又bc
13、，c=故选：A6设实数x，y满足约束条件，则目标函数z=x3y的最大值为（）A7BC26D6【考点】简单线性规划【分析】作出可行域，变形目标函数，平移直线y=x结合图象可得【解答】解：作出约束条件所对应的可行域（如图阴影），变形目标函数可得y=xz，平移直线y=x可知，当直线经过点A（2，3）时，直线的截距最小值，此时目标函数取最大值z=23（3）=7，故选：A7（重点中学做）在等差数列an中，已知a6=1，则数列an的前11项和S11=（）A7B9C11D13【考点】等差数列的前n项和【分析】利用等差数列的通项公式和前n项和公式直接求解【解答】解：在等差数列an中，a6=1，数列an的前11
14、项和：S11=11故选：C8在等比数列an中，已知a2+a3=1，a4+a5=2，则a8+a9等于（）A2B4C8D16【考点】等比数列的通项公式；等比数列的性质【分析】设等比数列an的公比为q，可得q2=2，而a8+a9=（a4+a5）q4，代入计算即可【解答】解：设等比数列an的公比为q，则q2=2，故a8+a9=（a4+a5）q4=222=8故选C9（重点中学做）不等式x1的解集是（）A（，1（1，3B1，1）3，+）C（，13，+）D1，1）（1，3【考点】一元二次不等式的解法【分析】根据x10和x10两种情况分类讨论，能求出不等式x1的解集【解答】解：x1，当x10时，（x1）24，
15、解得x3；当x10时，（x1）24，解得1x1，不等式x1的解集是1，1）3，+）故选：B10（普通中学做）不等式1的解集是（）A（，15，+）B（，1）5，+）C（1，5D5，+）【考点】一元二次不等式的解法【分析】通过移项，利用通分，转化不等式求解即可【解答】解：不等式1，即为10，即为0，即为（x5）（x1）0，且x10，解得x5或x1，故不等式的解集为（，1）5，+），故选：B11函数y=sinxx在区间0，2上的最小值为（）AB1C0D2【考点】利用导数求闭区间上函数的最值【分析】求出函数的导数，判断函数的单调性，然后求出最小值【解答】解：函数y=sinxx，可得y=cosx10，函
16、数是减函数，函数y=sinxx在区间0，2上的最小值为：2故选：D12（重点中学做）已知x0，y0，2x+y+2xy=3，则2x+y的最小值是（）A6B3C2D1【考点】基本不等式【分析】由x0，y0，2x+y+2xy=3，化为（2x+1）（y+1）=4，利用基本不等式的性质即可得出【解答】解：由x0，y0，2x+y+2xy=3，化为（2x+1）（y+1）=4，（2x+1）+（y+1）2=4，即2x+y2，当且仅当2x+1=y+1=2，即x=，y=1时等号成立，2x+y的最小值是2，故选：C13（普通中学做）若正实数x，y满足2x+y+6=xy，则xy的最小值为（）A2B3C18D【考点】基本
17、不等式【分析】由正实数x，y满足2x+y+6=xy6+2，令=t0，化为t22t60，解出即可得出【解答】解：由正实数x，y满足2x+y+6=xy6+2，令=t0，化为t22t60，解得t3，xy的最小值为18当且仅当2x=y=6时取等号故选：C14已知函数f（x）=x2+kx的图象在点（1，f（1）处的切线方程为3xy+b=0，则数列的前n项和为（）A B C D【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；数列的求和【分析】求出函数的导数，求出切线的斜率，求出k，推出f（n），然后利用裂项消项法求解数列的前n项和【解答】解：函数f（x）=x2+kx，可得f（x）=2x+k，函数f（x）=x2+k
18、x的图象在点（1，f（1）处的切线方程为3xy+b=0，2+k=3，k=1，f（n）=n2+n， =Sn=故选：C15（重点中学做）已知数列an的首项a1=1，前n项和Sn满足对任意m，nN+，2SmSn=Sm+n恒成立，那么a2015=（）A22013B22014C22015D22016【考点】数列递推式【分析】利用赋值法判断Sn是等比数列，求出Sn，然后求解a2015【解答】解：由题意可得：2S1Sn=Sn+1，可得=2，Sn是以1为首项，2为公比的等比数列，a2015=22013故选：A16（普通中学做）已知数列an的首项a1=1，前n项和Sn满足对任意m，nN+，Sm+Sn=Sm+n恒
19、成立，那么S2015=（）A2014B2015C2016D2017【考点】数列递推式【分析】利用赋值法判断Sn是等比数列，求出Sn，然后求解S2015【解答】解：由题意可得：a1=1，S1+Sn=Sn+1，可得Sn+1Sn=1，Sn是以1为首项，1为公差的等差数列，Sn=1+（n1）1=n，S2015=2015故选：B17如图，F1，F2分别是椭圆=1（ab0）的两个焦点，A和B是以O为圆心，以|OF1|为半径的圆与该椭圆左半部分的两个交点，且F2AB是等边三角形，则该椭圆的离心率为（）A B C1D【考点】椭圆的应用【分析】连结AF1，根据圆的直径的性质和等边三角形的性质，证出F1AF2是含
20、有30角的直角三角形，由此得到|F1A|=c且|F2A|=c再利用椭圆的定义，得到2a=|F1A|+|F2A|=（1+）c，即可算出该椭圆的离心率【解答】解：连结AF1，F1F2是圆O的直径，F1AF2=90，即F1AAF2，又F2AB是等边三角形，F1F2AB，AF1F2=AF2B=30，因此，在RtF1AF2中，|F1F2|=2c，|F1A|=|F1F2|=c，|F2A|=|F1F2|=c根据椭圆的定义，得2a=|F1A|+|F2A|=（1+）c，解得a=c，椭圆的离心率为e=1故选C18（普通中学做）已知双曲线C1：=1（a0，b0）以及双曲线C2：=1（a0，b0）的渐近线将第一象限三
21、等分，则C1，C2的离心率之积为（）A B或4C D4【考点】双曲线的简单性质【分析】由双曲线的渐近线的方程可得=tan30或=tan60，即为b=a或b=a，利用c2=a2+b2，将所得等式转化为关于离心率的方程即可解得离心率，进而得到所求之积【解答】解：双曲线C1：=1的渐近线方程为y=x，双曲线C2：=1的渐近线方程为y=x，由渐近线将第一象限三等分，可得：=tan30或=tan60，即为b=a或b=a，可得c=a或c=2a，即e=或e=2则C1，C2的离心率之积为或4故选：B二.填空题（每小题5分，共20分）19命题“若x22x30，则x1或x3”的逆否命题是若1x3，则x22x30【
22、考点】四种命题间的逆否关系【分析】根据逆否命题的定义进行求解即可【解答】解：命题的逆否命题为：“若1x3，则x22x30”，故答案为：若1x3，则x22x3020函数y=xex的单调减区间是（0，+）【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】函数的单调减区间，可以由y0，解得x的取值范围即可【解答】解：由函数y=xex的，可得y=1ex，由y=1ex0，解得x0函数f（x）=xex的单调递减区间是（0，+）故答案为：（0，+）21（重点中学做）已知直线xmy2=0与抛物线y2=8x相交于A，B两点，线段AB的中点为M（6，4m），则|AB|=16【考点】抛物线的简单性质【分析】求得抛物线的焦点和
23、准线方程，设A（x1，y1），B（x2，y2），再由中点坐标公式，以及抛物线的定义，可得|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+4，计算即可得到所求值【解答】解：抛物线C：y2=8x焦点为（2，0），准线方程为x=2，设A（x1，y1），B（x2，y2），由题意可得=6，即有x1+x2=12，由抛物线的定义可得|AF|=x1+2，|BF|=x2+2，|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+4=12+4=16故答案为：1622（普通中学做）过抛物线C：y2=8x焦点的直线与C相交于A，B两点，线段AB的中点为M（3，m），则|AB|=10【考点】抛物线的简单性质【分析】求得抛物线的焦点和准线
24、方程，设A（x1，y1），B（x2，y2），再由中点坐标公式，以及抛物线的定义，可得|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+4，计算即可得到所求值【解答】解：抛物线C：y2=8x焦点为（2，0），准线方程为x=2，设直线AB的方程为y=k（x2），A（x1，y1），B（x2，y2），由题意可得=3，即有x1+x2=6，由抛物线的定义可得|AF|=x1+2，|BF|=x2+2，|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+4=6+4=10故答案为：1023（重点中学做）已知函数f（x）=，若关于x的方程f（x）=ax有且仅有三个不相等的实数根，则实数a的取值范围为（0，frac1e）【考点】根的存
25、在性及根的个数判断【分析】作出函数f（x）的图象，利用导数的几何意义求出对应的切线方程以及斜率，利用数形结合进行求解即可【解答】解：作出函数f（x）的图象如图：若a0时，方程f（x）=ax不可能有三个不相等的实数根，则必有a0，当直线y=ax与y=lnx在x1时相切时，设切点坐标为（x0，y0），则f（x）=，即f（x0）=，则切线方程为yy0=（xx0），即y=x+y01=x+lnx01，切线方程为y=ax，a=且lnx01=0，则x0=e，则a=，要使方程f（x）=ax有且仅有三个不相等的实数根，则0a，故答案为：（0，）24（普通中学做）若函数f（x）=|lnx|ax有且仅有三个零点，则
26、实数a的取值范围为（0，frac1e）【考点】利用导数研究函数的极值；根的存在性及根的个数判断【分析】法1：利用参数分离法转化a=，构造函数，求函数的导数，利用导数研究函数的极值，利用数形结合进行求解即可法2：作出函数f（x）的图象，利用导数的几何意义求出对应的切线方程以及斜率，利用数形结合进行求解即可【解答】解：法1：函数的定义域为（0，+），由f（x）=|lnx|ax=0得|lnx|=ax，即a=，设g（x）=，则当x1时，g（x）=，g（x）=，由g（x）0得1lnx0，解得0xe，此时函数单调递增，由g（x）0得1lnx0，解得xe，此时函数单调递减，即当x=e时，函数g（x）取得极大
27、值g（e）=当0x1时，g（x）=0，此时函数单调递减，作出函数g（x）的图象如图：要使函数f（x）=|lnx|ax有且仅有三个零点，则等价为a=g（x）有且仅有三个不同的交点，由图象知0a法2：作出函数f（x）的图象如图：若a0时，方程f（x）=ax不可能有三个不相等的实数根，则必有a0，当直线y=ax与y=lnx在x1时相切时，设切点坐标为（x0，y0），则f（x）=，即f（x0）=，则切线方程为yy0=（xx0），即y=x+y01=x+lnx01，切线方程为y=ax，a=且lnx01=0，则x0=e，则a=，要使方程f（x）=ax有且仅有三个不相等的实数根，则0a，故答案为：（0，）三.
28、解答题（每小题12分，共70分）25已知命题p：函数f（x）=x2+ax2在（2，2）内有且一个零点命题q：x2+2ax+40对任意xR恒成立若命题“pq”是假命题，求实数a的取值范围【考点】函数恒成立问题【分析】由命题p为真，由于f（2）f（2）0得a1，或a1由命题q为真，由于判别式非负，解不等式可得a的范围由命题“p且q”是真命题，求出a的范围由此求补集，能求出实数a的取值范围【解答】解：若命题p为真，由于判别式为a2+80，则有f（2）f（2）0，即为（42a2）（4+2a2）0，解得a1或a1；若命题q为真，由x2+2ax+40对任意xR恒成立，可得=4a2160，解得2a2当命题“
29、pq”是真命题，可得，即为2a1或1a2，则命题“pq”是假命题时，a的范围是a2或1a1或a226设数列an满足a1=2，an+1an=2n（nN+）（1）求数列an的通项公式；（2）令bn=，求数列bn的前n项和Sn【考点】数列递推式【分析】（1）直接利用类加法求数列的通项公式；（2）把数列an的通项公式代入bn=，然后利用错位相减法求和【解答】解：（1）由an+1an=2n，得an=（anan1）+（an1an2）+（a2a1）+a1=，又a1=2，数列an的通项公式为；（2）由bn=，知，两式作差得：=27（重点中学做）在ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足=（1）求角
30、C的大小；（2）若c=4，求a+b的最大值【考点】正弦定理【分析】（1）利用正弦定理化简已知可得： =，整理可得sin（CA）=sin（BC），利用正弦函数的图象和性质可得2C=A+B，即可解得C的值（2）由余弦定理可得：16=（a+b）23ab，又：ab（）2，解得（a+b）216，从而解得：a+b8【解答】（本题满分为12分）解：（1）=，利用正弦定理可得： =，sinCcosA+sinCcosB=sinAcosC+sinBcosC，即：sinCcosAsinAcosC=sinBcosCsinCcosB，sin（CA）=sin（BC），CA=BC或CA=（BC）（不成立），或CA=（BC）
31、（不成立），即2C=A+B，可得：C=6分（2）由余弦定理可得：c2=a2+b22abcosC，可得：16=a2+b2ab=（a+b）23ab，又：ab（）2，可得：16（a+b）23（）2，即（a+b）21610分可得：（a+b）264解得：a+b811分故a+b的最大值为812分28在ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足2bcosA+ccosA+acosC=0（1）求角A的大小；（2）若a=3，求bc的最大值【考点】余弦定理；正弦定理【分析】（1）由2bcosA+ccosA+acosC=0，利用正弦定理可得：2sinBcosA+sinCccosA+sinAcosC=0，进而
32、化为2cosA=1，根据A的范围即可得出（2）根据余弦定理可得：a2=b2+c22bccosA，9=b2+c2+bc，再利用基本不等式的性质即可得出【解答】解：（1）2bcosA+ccosA+acosC=0，2sinBcosA+sinCccosA+sinAcosC=0，2sinBcosA+sin（C+A）=0，2sinBcosA=sinB，sinB0，cosA=，A（0，），A=（2）根据余弦定理可得：a2=b2+c22bccosA=b2+c22bc，9=b2+c2+bc3bc，解得bc3，当且仅当b=c=3时取等号bc的最大值为329已知函数f（x）=a（x1）2lnx（aR）（1）当a=1
33、时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（2）若函数f（x）在区间（0，1上的最小值为0，求a的取值范围【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（1）求出函数的导数，计算f（1），f（1）的值，代入切线方程即可；（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围，确定函数的单调区间，表示出最小值，得到关于a的方程，判断a的具体范围即可【解答】解：（1）a=1时，f（x）=x12lnx，x0，f（x）=，（x0），f（1）=1，f（1）=0，故切线方程是：y0=1（x1），故x+y1=0；（2）f（x）=，x（0，1，a0时，f（x）0，f（x）在（0，1递
34、减，f（x）min=f（1）=0，0a2时，f（x）0，f（x）在（0，1递减，f（x）min=f（1）=0，a2时，令f（x）0，解得：0x，令f（x）0，解得：x1，f（x）在（0，）递减，在（，1递增，f（x）min=f（）f（1）=0（舍），综上，a的范围是（，230（重点中学做）如图所示，设A，B分别是椭圆E： +=1（ab0）的右顶点和上顶点，过原点O作直线交线段AB于点M（异于点A，B），交椭于C，D两点（点C在第一象限内），ABC与ABD的面积分别为S1与S2（1）若M是线段AB的中点，直线OM的方程为y=x，点P（3，1）在椭圆E上，求椭圆E的方程；（2）当点M在线段AB上运
35、动时，求的最大值【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程【分析】（1）由中点坐标公式求出A，B的中点M，把M坐标代入直线y=x得到a与b的关系，结合a2=b2+c2可求椭圆的离心率；（2）设出C和D点的坐标，求出直线AB的方程，由点到直线的距离公式求出C和D到直线AB的距离，因为ABC和ABD同底，所以把两个三角形的面积比转化为C，D到直线AB的距离比，然后借助于基本不等式求最大值【解答】解：（1）由题意可知：A（a，0），B（0，b），M（，），点M（，）在y=x，=，a2=3b2，点P（3，1）在椭圆上，解得a2=12，b2=4，故椭圆的方程为：；（2）设C（x0，y0），x00，y0
36、0，则，点D（x0，y0），由题意知直线AB的方程为bx+ayab=0，点C的直线AB的上方，点C到直线AB的距离hC=，同理点D到直线AB的距离hD=，=1，=，当且仅当bx0=ay0取等号，解得：，1=32，的最大值为3231（普通中学做）已知椭圆C： +=1（ab0）经过点P（0，2），离心率e=（1）求椭圆C的方程；（2）试问是否存在直线l：y=kx与椭圆C相交于不同的两点M，N，且|PM|=|PN|？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程【分析】（1）椭圆的焦点在x轴上，经过P（0，2），即b=2，由离心率公式e=，及a2=b2+c2，即可
37、a和c的值，即可求得椭圆方程；（2）假设存在直线，将直线方程代入椭圆方程，消去y得到关于x的一元二次方程，设出M和N点坐标及MN的中点坐标，由韦达定理可知，即可求得A点坐标，判断当k=0时，成立，当k0，求得直线AP的斜率，由MNAP，得k=1，即可求得k的值【解答】解：（1）椭圆C经过点P（0，2），b=2，离心率e=即a2=c2=（a2b2），整理得a2=3b2=12，（2）假设存在直线l满足条件，则：，消去y整理得：（1+3k2）x28kx=0，0恒成立，设M（x1，y1），N（x2，y2），设A（x0，y0）为线段MN的中点，则，x1+x2=，x0=，y0=kx0=，即A（，），当k=
38、0时，满足题意，当k0时，直线AP的斜率kAP=，由MNAP，得k=1，解得：k=，故直线的斜率为：k=0，请考生在下面三道题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.32某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为x，y（单位：m）的矩形，上部是等腰直角三角形，要求框架围成的总面积为4m2，问x，y分别为多少时用料最省？并求最省用料【考点】函数模型的选择与应用【分析】通过设面积为S，利用S=xy+=4可知y=，进而化简可知c=x+，利用基本不等式计算即得结论【解答】解：设面积为S，则S=xy+=4，y=，c=2x+2y+x=（2+）x+2（）=x+2=4+4，当且仅当x=即x
39、=44、y=2时取等号，于是当x=（44）米、y=2米时用料最省，为（4+4）米33某物流公司购买了一块长AM=60m，宽AN=30m的矩形地块AMPN，规划建设占地如图则矩形ABCD的仓库，其余地方为道路和停车场，要求顶点C在地块对角线MN上，B，D分别在边AM，AN上若规划建设的仓库是高度与AB的长相同的长方体建筑，问AB长为多少时仓库的库容最大？并求最大库容（墙体及楼板所占空间忽略不计）【考点】函数模型的选择与应用【分析】通过设AB的长度为x米，利用相似三角形可知AD=30x，进而对仓库的库容V（x）=x3+30x2（0x60）求导可知当x=40时V（x）有极大值也是最大值，代入计算即得
40、结论【解答】解：设AB的长度为x米，=，且AM=60、AN=30，ND=AN=x，AD=ANND=30x，仓库的库容V（x）=（30x）xx=x3+30x2（0x60），令V（x）=x2+60x=0，解得：x=40或x=0（舍），当0x40时V（x）0、当40x60时V（x）0，当x=40时V（x）有极大值也是最大值，且最大值为V（40）=16000m3，即AB的长度为40米时仓库的库容最大，最大库容为16000立方米34如图所示，某公司设计生产一种长方形薄板ABCD（ABAD），其周长为8m，这种薄板须沿对角线AC折叠后使用设AB交DC于点P问AB长为多少时，ADP的面积最大？并求最大面积【
41、考点】基本不等式在最值问题中的应用【分析】由题意，设AB=x，AD=4x因x4x，故2x4，设DP=y，则PC=xy，运用三角形全等，结合勾股定理，可得y的关系式，记ADP的面积为S1，则S1=（4x）（4），运用基本不等式可得最大值【解答】解：由题意，设AB=x，AD=4x因x4x，故2x4，设DP=y，则PC=xy因ADPCBP，故PA=PC=xy由 PA2=AD2+DP2，得（xy）2=（4x）2+y2，即有y=4，2x4，记ADP的面积为S1，则S1=（4x）（4）=122（x+）128，当且仅当x=2（1，2）时，S1取得最大值128故当AB=2时，ADP的面积最大，最大面积为1282016年7月13日
