1、思维特训(十五)圆中垂直、切线与等腰三角形三元素基本模型的应用方法点津 基本模型：解题切入点：作过切点的半径，结合等腰三角形、直角三角形等有关性质解题典题精练 1如图151，已知O中OA，OB是两条互相垂直的半径，P为OA延长线上任意一点，BP与O相交于点Q，过点Q作O的切线RQ与OP相交于点R.求证：RPRQ.图1512如图152，已知OA，OB是O的半径，且OAOB，P是射线OA上一点(点A除外)，直线BP交O于点Q，过点Q作O的切线交直线OA于点E.(1)如图，若点P在线段OA上，求证：OBPAQE45；(2)若点P在线段OA的延长线上，其他条件不变，OBP与AQE之间是否存在某种确定的
2、等量关系？请你完成图，并写出结论(不需要证明)图1523如图153，OA和OB是O的半径，并且OAOB，P是OA上任意一点(不与点O，A重合)，BP的延长线交O于点Q，R是OA的延长线上一点，且RPRQ.(1)求证：RQ为O的切线；(2)如图，若OA向上平移，(1)的结论还成立吗？(3)如图，如果点P在OA的延长线上，BP交O于点Q，过点Q作QRRP，R在OP上，(1)中的结论还成立吗？为什么？图1534如图154，已知直线l与O相离，OA直线l于点A，OA5，OA与O相交于点P，AB与O相切于点B，BP的延长线交直线l于点C.(1)试判断线段AB与AC的数量关系，并说明理由；(2)若PC2
3、，求O的半径；(3)若在O上存在唯一点Q，使QAC是以AC为底边的等腰三角形，求O的半径图154典题讲评与答案详析1证明：如图，连接OQ.OBOQ，BOQB.OAOB，RQ切O于点Q，AOBOQR90，BP90，PQROQB1809090，PPQR，RPRQ.2解：(1)证明：如图，连接OQ.OBOQ，OBPOQB.OAOB，BQAAOB9045.EQ是O的切线，OQE90，OQBAQEOQEBQA904545.又OBPOQB，OBPAQE45.(2)如图，连接OQ.OBOQ，OBQOQB.OAOB，BQA(36090)135，OQABQAOQB135OBQ.EQ是O的切线，OQE90，OQA
4、AQE90，即135OBQAQE90.整理，得OBQAQE45.即OBPAQE45.3解：(1)证明：如图，连接OQ.RPRQ，RQPRPQBPO.又OBOQ，OAOB，OQBOBQ，OBQBPO90，OQBRQP90，即OQR90，RQ为O的切线(2)成立(3)成立理由如下：如图，连接OQ.RPRQ，RQPRPQ.又OBOQ，OAOB，OQBOBQ，OBQBPO90，OQBRQP90，OQR90，RQ为O的切线4解：(1)ABAC.理由如下：如图，连接OB.AB切O于点B，OAAC，OBAOAC90，OBPABP90，ACPAPC90.OPOB，OBPOPB.又OPBAPC，OBPAPC，从而ACPABP，ABAC.(2)设O的半径为r，则由OA5，OPOBr，得PA5r.在RtOAB中，有AB2OA2OB252r2.在RtACP中，有AC2PC2PA2(2 )2(5r)2.由(1)知ABAC，52r2(2 )2(5r)2，解得r3.即O的半径是3.(3)如图，作线段AC的垂直平分线MN，作OEMN，则OEACAB .又O要与直线MN有唯一交点，OEr.从而r，解得r1，r2(舍去)即O的半径是.
