1、第十节变化率与导数、导数的计算最新考纲考情分析1.了解导数概念的实际背景2通过函数图象直观理解导数的几何意义3能根据导数定义求函数yc(c为常数)，yx，yx2，yx3，y，y的导数4能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(仅限于形如f(axb)的复合函数)的导数.导数的概念和运算是高考的必考内容，一般渗透在导数的应用中考查；导数的几何意义常与解析几何中的直线交汇考查；题型为选择题或解答题的第(1)问，低档难度.知识点一导数的概念1函数yf(x)与xx0处的导数：函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率 为函数yf(x)在xx0处的导数，记作f(x0)
2、或y|xx0，即f(x0) .函数yf(x)的导数f(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f(x)|反映了变化的快慢，|f(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”2导数的几何意义：函数f(x)在xx0处的导数f(x0)的几何意义是在曲线yf(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)相应地，切线方程为yy0f(x0)(xx0)曲线yf(x)在点P(x0，y0)处的切线是指P为切点，斜率为kf(x0)的切线，是唯一的一条切线3函数f(x)的导函数：称函数f(x) 为f(x)的导函数4f(x)是一个函数，f(x0)是函数
3、f(x)在x0处的函数值(常数)，f(x0)0.知识点二导数公式及运算法则1基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)c(c为常数)f(x)0f(x)xn(nQ*)f(x)nxn1f(x)sinxf(x)cosxf(x)cosxf(x)sinxf(x)ax(a0，且a1)f(x)axlnaf(x)exf(x)exf(x)logax(a0，且a1)f(x)f(x)lnxf(x)2.导数的运算法则(1)f(x)g(x)f(x)g(x)；(2)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)；(3)(g(x)0)3复合函数的导数复合函数yf(g(x)的导数和函数yf(u)，ug(x)的导数间的关系为
4、yxyuux，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积1思考辨析判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(1)函数yf(x)在xx0处的导数值与x值的正、负无关()(2)瞬时变化率是刻画某函数值在区间x1，x2上变化快慢的物理量()(3)在导数的定义中，x，y都不可能为零()(4)对于函数yf(x)，当x从x1变为x2时，函数值从f(x1)变为f(x2)，若记xx2x1，yf(x2)f(x1)，则yf(x)的平均变化率为.()解析：(1)由导数的定义知，函数在xx0处的导数值与x0有关，所以正确(2)瞬时变化率是刻画某一时刻变化快慢的物理量，所以错误(3)在导数的定义中，y可以为零，
5、所以错误(4)f(x)平均变化率为.2小题热身(1)函数yxcosxsinx的导数为(B)Axsinx BxsinxCxcosx Dxcosx解析：y(xcosx)(sinx)cosxxsinxcosxxsinx.(2)已知f(x)xlnx，若f(x0)2，则x0等于(B)Ae2 BeC. Dln2解析：f(x)的定义域为(0，)，f(x)lnx1，由f(x0)2，即lnx012，解得x0e.(3)某质点的位移函数是s(t)2t3gt2(g10 m/s2)，则当t2 s时，它的加速度是(A)A14 m/s2 B4 m/s2C10 m/s2 D4 m/s2解析：由v(t)s(t)6t2gt，a(
6、t)v(t)12tg，得t2时，a(2)v(2)1221014(m/s2)(4)函数f(x)x2在区间1,2上的平均变化率为3，在x2处的导数为4.解析：函数f(x)x2在区间1,2上的平均变化率为3，在x2处的导数为f(2)224.(5)曲线y2ln(x1)在点(0,0)处的切线方程为y2x.解析：y2ln(x1)，y.当x0时，y2，曲线y2ln(x1)在点(0,0)处的切线方程为y02(x0)，即y2x.考点一导数的运算命题方向1根据求导法则求函数的导数【例1】求下列函数的导数(1)yx2sinx；(2)ylnx；(3)y；(4)yxsincos.【解】(1)y(x2)sinxx2(si
7、nx)2xsinxx2cosx.(2)y(lnx).(3)y.(4)yxsincosxsin(4x)xsin4x，ysin4xx4cos4xsin4x2xcos4x.命题方向2抽象函数的导数计算【例2】(2020南昌模拟)已知f(x)在R上连续可导，f(x)为其导函数，且f(x)exexf(1)x(exex)，则f(2)f(2)f(0)f(1)()A4e24e2 B4e24e2C0 D4e2【解析】由题意，得f(x)exexf(1)exexx(exex)，所以f(0)e0e0f(1)e0e00(e0e0)0，f(2)f(2)0，所以f(2)f(2)f(0)f(1)0，故选C.【答案】C方法技巧
8、(1)求函数的导数要准确地把函数分割成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导.,(2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解.1若yxcossin，则y1cosx.解析：因为yxsinx，所以yx1cosx.2已知f(x)x22xf(1)，则f(0)4.解析：f(x)2x2f(1)，f(1)22f(1)，即f(1)2.f(x)2x4，f(0)4.考点二导数的几何意义命题方向1已知切点求切线方程【例3】(2019全国卷)已知曲线yaexxlnx在点(1，ae)处的切线方程为y2xb，则()Aae，b1 Bae，b1Cae1，b1 Dae1，b1【解析】因为yaexlnx1，
9、所以y|x1ae1，所以曲线在点(1，ae)处的切线方程为yae(ae1)(x1)，即y(ae1)x1，所以解得【答案】D命题方向2求切点坐标【例4】(2019江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线ylnx上，且该曲线在点A处的切线经过点(e，1)(e为自然对数的底数)，则点A的坐标是_【解析】设A(x0，lnx0)，又y，则曲线ylnx在点A处的切线方程为ylnx0(xx0)，将(e，1)代入得，1lnx0(ex0)，化简得lnx0，解得x0e，则点A的坐标是(e,1)【答案】(e,1)命题方向3 未知切点求切线方程【例5】(2020成都检测)已知直线l既是曲线C1：yex的切线，又是
10、曲线C2：ye2x2的切线，则直线l在x轴上的截距为()A2 B1Ce2 De2【解析】设直线l与曲线C1：yex的切点为A(x1，ex1)，与曲线C2：ye2x2的切点为B(x2，e2x)由yex，得yex，所以曲线C1在点A处的切线方程为yex1ex1(xx1)，即yex1xex1(x11).由ye2x2，得ye2x，所以曲线C2在点B处的切线方程为ye2xe2x2(xx2)，即ye2x2xe2x.因为表示的切线为同一直线，所以解得所以直线l的方程为ye2xe2，令y0，可得直线l在x上的截距为1，故选B.【答案】B命题方向4求参数的值或范围【例6】已知函数f(x)若函数g(x)f(x)x
11、b有且仅有两个零点，则实数b的取值范围是_【解析】函数g(x)f(x)xb有且仅有两个零点，函数f(x)与函数yxb的图象有且仅有两个交点，作出函数f(x)与函数yxb的图象，如图所示当b0时，两函数图象有一个交点，是一个临界值当直线yxb与f(x)(x0)的图象相切时，两函数图象有一个交点，此时b的值是另一个临界值设切点为(m，)，m0，f(x)(x0)，解得m1，故切点为(1,1)，故b1.结合图象可得，0b.【答案】0b0)相切于同一点P，则a的值为2e.解析：设切点P(x0，y0)，则由ylnx，得y，由x2ay，得yx，则有解得a2e.4(方向4)已知直线2xy10与曲线yaexx相切(其中e为自然对数的底数)，则实数a的值为1.解析：由题意知yaex12，则a0，xlna，代入曲线方程得y1lna，所以切线方程为y(1lna)2(xlna)，即y2xlna12x1a1.