1、第八节函数与方程最新考纲考情分析1.结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数2根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解.1.函数零点个数、存在区间及方程解的确定与应用是高考热点2常与函数的图象与性质交汇命题，主要考查函数与方程、转化与化归、数形结合思想3题型以选择题和填空题为主，属中、高档题.知识点一 函数的零点1函数零点的概念对于函数yf(x)，把使f(x)0的实数x叫做函数yf(x)的零点2函数零点与方程根的关系方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点3零点存在性定理如果函数yf(x)满足：在区间a，
2、b上的图象是连续不断的一条曲线；f(a)f(b)0；则函数yf(x)在(a，b)上存在零点，即存在c(a，b)，使得f(c)0，这个c也就是方程f(x)0的根(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点函数的零点不是一个“点”，而是方程f(x)0的实根(2)由函数yf(x)(图象是连续不断的)在闭区间a，b上有零点不一定能推出f(a)f(b)0，如图所示，所以f(a)f(b)0是yf(x)在闭区间a，b上有零点的充分不必要条件1思考辨析判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点()(2)函数yf(x)在区间(a，b)内有零
3、点(函数图象连续不断)，则f(a)f(b)0.()(3)二次函数yax2bxc(a0)在b24ac0时没有零点()2小题热身(1)已知函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表：x12345f(x)42147在下列区间中，函数f(x)必有零点的区间为(B)A(1,2) B(2,3)C(3,4) D(4,5)解析：由所给的函数值的表格可以看出，x2与x3这两个数字对应的函数值的符号不同，即f(2)f(3)0，所以函数f(x)在(2,3)内有零点(2)若函数f(x)唯一的零点同时在区间(0,16)，(0,8)，(0,4)，(0,2)内，那么下列命题正确的是(C)A函数f(x)在区间(0,1)
4、内有零点B函数f(x)在区间(0,1)或(1,2)内有零点C函数f(x)在区间2,16)上无零点D函数f(x)在区间(1,16)内无零点解析：由题意可确定f(x)唯一的零点在区间(0,2)内，故在区间2,16)内无零点(3)(2020济南月考)若函数f(x)x22xa没有零点，则实数a的取值范围是(B)A(，1)B(1，)C(，1D1，)解析：因为函数f(x)x22xa没有零点，所以方程x22xa0无实根，即44a1.(4)函数f(x)cos在0，的零点个数是3.解析：由题意知，cos0，所以3xk，kZ，所以x，kZ，当k0时，x；当k1时，x；当k2时，x，均满足题意，所以函数f(x)在0
5、，的零点个数为3.(5)(2020西安调研)若方程2x3xk的解在1,2)内，则k的取值范围是5,10)解析：令函数f(x)2x3xk，则f(x)在R上是增函数当方程2x3xk的解在(1,2)内时，f(1)f(2)0，即(5k)(10k)0，解得5k1,0b1，又f(x)axxb是单调递增函数，f(1)1b0，f(x)在区间(1,0)上存在零点故选B.(2)令g(x)x，f(x)x，则g(0)1f(0)0，gf，结合图象可得x0.【答案】(1)B(2)C方法技巧确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法(1)利用函数零点的存在性定理：首先看函数yf(x)在区间a，b上的图象是否连续，再看是否有f
6、(a)f(b)0.若有，则函数yf(x)在区间(a，b)内必有零点.(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.1函数f(x)lnx的零点所在的区间是(B)A(1,2) B(2,3)C(3,4) D(4,5)解析：函数f(x)lnx在(1，)上是增函数，且在(1，)上连续因为f(2)ln220，所以f(2)f(3)0且a1)当2a3b4时，函数f(x)的零点x0(n，n1)，nN*，则n2.解析：对于函数ylogax，当x2时，可得y1，在同一坐标系中画出函数ylogax，yxb的图象，判断两个函数图象的交点的横坐标在(2,3)内，函数f(x)的零点x0(n，
7、n1)时，n2.考点二函数零点个数的判断【例2】(1)函数f(x)的零点个数是_(2) (2020衡水中学模拟)定义在R上的函数f(x)满足f(x)且f(x1)f(x1)，若g(x)3log2x，则函数F(x)f(x)g(x)在(0，)内的零点个数为()A3B2 C1D0【解析】(1)当x0时，令x220，解得x(正根舍去)，所以在(，0上，f(x)有一个零点；当x0时，f(x)20恒成立，所以f(x)在(0，)上是增函数又因为f(2)2ln20，所以f(x)在(0，)上有一个零点，综上，函数f(x)的零点个数为2.(2)由f(x1)f(x1)知f(x)的周期是2，画出函数f(x)和g(x)的
8、部分图象，如图所示，由图象可知f(x)与g(x)的图象有2个交点，故F(x)在(0，)内有2个零点故选B.【答案】(1)2(2)B方法技巧函数零点个数的判断方法(1)直接求零点.(2)利用零点存在性定理再结合函数的单调性确定零点个数.(3)利用函数图象的交点个数判断.1已知函数f(x)则函数g(x)f(1x)1的零点个数为(C)A1 B2C3 D4解析：g(x)f(1x)1易知当x1时，函数g(x)有1个零点；当x0，sinx0，所以f(x)0，故f(x)在0,1上单调递增，且f(0)10，所以f(x)在0,1内有唯一零点当x1时，f(x)cosx0，故函数f(x)在0，)上有且仅有一个零点，
9、故选B.考点三由函数的零点求参数的取值范围【例3】(1)若函数f(x)ln(x1)不存在零点，则实数k的取值范围是_(2)若函数f(x)(m2)x2mx2m1的两个零点分别在区间(1,0)和区间(1,2)内，则m的取值范围是_【解析】(1)当k0时，f(x)没有意义；当k0时，f(x)lnkxln(x1)的定义域为(1,0)，此时f(x)lnkxln(x1)0令g(x)x2(2k)x1，则g(1)k0，由存在性定理知，函数g(x)在区间(1,0)内有根，即f(x)存在零点，不符合题意；当k0时，函数f(x)的定义域为(0，)，此时f(x)lnklnxln(x1)，令f(x)0，解得x1.当0x
10、0，当x1时，f(x)0，所以f(x)在x1处取得最大值，当且仅当f(1)0时，f(x)不存在零点，即f(1)lnkln20，解得0k4，即当0k4时，f(x)没有零点(2)依题意，结合函数f(x)的图象分析可知，m需满足即解得m1时，有交点，即函数g(x)f(x)xm有零点2已知函数f(x)2mx2x1在区间(2,2)上恰有一个零点，则m的取值范围是(D)A. B.C. D.解析：当m0时，函数f(x)x1有一个零点x1，满足条件当m0时，函数f(x)2mx2x1在区间(2，2)内恰有一个零点，需满足f(2)f(2)0或或解得m0或0m；无解，解得m.综上可知m.故选D. 【典例】(2020
11、青岛模拟)设定义域为R的函数f(x)则使关于x的方程f2(x)bf(x)c0有7个不同实数解的条件是()Ab0 Bb0，c0Cb0，c0 Db0，c0【解析】设f(x)t，则方程化为t2btc0.作出函数f(x)的图象如图所示由图知，当t0时，1个t对应4个x.因此，要使原方程有7个不同的实数解，的一个根为0，一个根为正数，故c0.所以的两根为t10，t2b0，所以b0.故选C.【答案】C【素养解读】换元法是解方程的重要方法，本例利用换元法，设f(x)t，则方程化为t2btc0，将问题转化为关于t的一元二次方程的根的分布问题已知f(x)|ex1|1，若函数g(x)f(x)2(a2)f(x)2a有三个零点，则实数a的取值范围是(A)A(2，1) B(1,0)C(0,1) D(1,2)解析：令tf(x)，则函数g(x)t2(a2)t2a，由t2(a2)t2a0，得t2或ta.f(x)|ex1|1作出函数f(x)的图象，如图所示，由图可知当t2时，方程f(x)|ex1|12有且仅有一个根，则方程f(x)|ex1|1a必有两个不同的实根，此时由图可知1a2，即2a1，故选A.
