1、2014-2015学年江苏省无锡市江阴市五校高一（上）期中数学试卷一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，计70分）1（5分）集合A=x|0x3且xZ的子集的个数为2（5分）已知f（x）=x2+ax+b，满足f（1）=0，f（2）=0，则f（1）=3（5分）函数的定义域为4（5分）已知a+=5，那么=5（5分）某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为6（5分）已知函数f（x）=则f（f（1）=7（5分）若函数的图象恒过定点8（5分）已知：lgx+lgy=2lg（x2y），则的值为9（5分）已知集合A=，B
2、=（，a），若AB，则实数a的取值范围是10（5分）已知幂函数f（x）=x的图象过点，则f（16）=11（5分）已知函数f（x）=ax22x4在（，1）是单调递减函数，则实数a的取值范围是12（5分）已知y=f（x）是定义在R上的奇函数，且当x0时，f（x）=1+2x，则=13（5分）关于x的方程|x22x4|=a有三个不相等的实数解，则实数a的值是14（5分）下列说法正确的有（填序号）若函数f（x）为奇函数，则f（0）=0； 函数在（，1）（1，+）上是单调减函数；若函数y=f（2x+1）的定义域为2，3，则函数f（x）的定义域为；要得到y=f（2x1）的图象，只需将y=f（2x）的图象向右
3、平移个单位二、解答题：（本大题共6小题，计90分，解答题应写出文字说明证明过程或演算步骤）15（14分）设全集为R，集合A=x|x3或x6，B=x|2x9（1）求AB，（RA）B；（2）已知C=x|axa+1，若CB，求实数a的取值范围16（14分）已知函数f（x）=log2x+3，x1，64（1）求函数f（x）的值域；（2）若g（x）=f（x2）f（x）2，求g（x）的最小值以及相应的x的值17（14分）销售甲、乙两种商品所得利润分别是y1、y2万元，它们与投入资金x万元的关系分别为，y2=bx，（其中m，a，b都为常数），函数y1，y2对应的曲线C1、C2如图所示（1）求函数y1、y2的解
4、析式；（2）若该商场一共投资4万元经销甲、乙两种商品，求该商场所获利润的最大值18（16分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x0时，f（x）=x22x1（1）求f（x）的函数解析式；（2）作出函数f（x）的简图，写出函数f（x）的单调区间及最值；（3）当x的方程f（x）=m有四个不同的解时，求m的取值范围19（16分）设函数f（x）=a（1）若函数f（x）是奇函数，求实数a的值；（2）求证：不论a为何实数，函数f（x）是增函数；（3）若f（1）=2，求函数f（x）的值域20（16分）已知集合是满足下列性质的函数f（x）的全体：在定义域D内存在x0，使得f（x0+1）=f（x0）+f（1
5、）成立（1）函数是否属于集合M？说明理由；（2）若函数f（x）=kx+b属于集合M，试求实数k和b的取值范围；（3）设函数属于集合M，求实数a的取值范围2014-2015学年江苏省无锡市江阴市五校高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，计70分）1（5分）集合A=x|0x3且xZ的子集的个数为8考点：子集与真子集 专题：计算题；集合思想分析：根据题意，用列举法表示集合A，可得集合A中元素的个数，进而由集合的元素个数与子集个数的关系，计算可得答案解答：解：集合A=x|0x3，xZ=0，1，2，集合A有3个元素，则其子集有23=8个，即，0，1，2，0，
6、1，0，2，1，2，0，1，2，故答案为：8点评：本题考查集合的元素个数与子集个数的关系，若集合中有n个元素，则其有2n个子集2（5分）已知f（x）=x2+ax+b，满足f（1）=0，f（2）=0，则f（1）=6考点：二次函数的性质 专题：计算题分析：由题设可知，由此能求出f（x）=x23x+2，进而能够求出f（1）解答：解：f（x）=x2+ax+b，满足f（1）=0，f（2）=0，解得a=3，b=2f（x）=x23x+2，f（1）=1+3+2=6故答案为：6点评：本昰考查二次函数的性质和应用，解题时要认真审题，合理地建立方程组，先求出f（x），再解f（1）3（5分）函数的定义域为x|2x4考
7、点：对数函数的定义域 专题：计算题分析：由即可求得函数y=+lg（4x）的定义域解答：解：依题意得，解得2x4故函数y=+lg（4x）的定义域为x|2x4故答案为：x|2x4点评：本题考查对数函数的定义域，考查解不等式组的能力，属于基础题4（5分）已知a+=5，那么=考点：有理数指数幂的化简求值 专题：函数的性质及应用分析：利用（）2=a+2，代入求值即可解答：解：因为（）2=a+2=5+2=7，所以=；故答案为：点评：本题考查了完全平方式的运用求代数式的值，属于基础题5（5分）某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运
8、动的人数为12考点：交、并、补集的混合运算 专题：应用题；集合分析：设两者都喜欢的人数为x人，则只喜爱篮球的有（15x）人，只喜爱乒乓球的有（10x）人，由此可得（15x）+（10x）+x+8=30，解之即可两者都喜欢的人数，然后即可得出喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数解答：解：设两者都喜欢的人数为x人，则只喜爱篮球的有（15x）人，只喜爱乒乓球的有（10x）人，由此可得（15x）+（10x）+x+8=30，解得x=3，所以15x=12，即所求人数为12人，故答案为：12点评：本题考查了集合的混合运算，属于应用题，关键是运用集合的知识求解实际问题6（5分）已知函数f（x）=则f（f（1）=
9、3考点：函数的值 专题：函数的性质及应用分析：利用分段函数的性质求解解答：解：函数f（x）=，f（1）=21=，f（f（1）=f（）=3故答案为：3点评：本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用7（5分）若函数的图象恒过定点（1，3）考点：指数函数的图像与性质 专题：阅读型分析：把原函数变形为f（x）=2x1+2，该函数是由指数函数f（x）=2x向右平移1个单位，向上平移2个单位得到的，由指数函数恒过定点（0，1），得到函数的图象恒过的定点解答：解：因为=2x1+2，而函数f（x）=2x恒过定点（0，1），f（x）=2x1+2是把函数f（x）=2x向右平移1个单
10、位，向上平移2个单位得到的，所以函数的图象恒过定点（1，3）故答案为（1，3）点评：本题考查指数函数的图象和性质，考查了函数图象的平移，此题是基础题8（5分）已知：lgx+lgy=2lg（x2y），则的值为4考点：对数的运算性质 专题：计算题分析：由lgx+lgy=2lg（x2y），先求出的值，然后再求的值解答：解：lgx+lgy=2lg（x2y），lgxy=lg（x2y）2，xy=（x2y）2，x25xy+4y2=0，解得（舍去）或，=故答案为：4点评：本题考查对数的运算性质，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的灵活运用9（5分）已知集合A=，B=（，a），若AB，则实数a的取值范围是（1
11、，+）考点：集合的包含关系判断及应用 专题：规律型分析：先求出集合A，利用AB，确定实数a的取值范围解答：解：集合A=x|x1，B=（，a），若AB，则a1，即实数a的取值范围是 （1，+）故答案为：（1，+）点评：本题主要考查集合关系的应用，比较基础，利用数轴是解决此类问题的基本方法10（5分）已知幂函数f（x）=x的图象过点，则f（16）=考点：幂函数的性质 专题：函数的性质及应用分析：根据题意，求出幂函数f（x）的解析式，再计算函数值f（16）解答：解：幂函数f（x）=x的图象过点，2=，解得=，f（x）=（x0）；f（16）=故答案为：点评：本题考查了幂函数的定义与性质的应用问题，解题
12、时应用待定系数法求出函数的解析式，是基础题11（5分）已知函数f（x）=ax22x4在（，1）是单调递减函数，则实数a的取值范围是0a1考点：二次函数的性质 专题：计算题分析：分类讨论，利用一次函数与二次函数的单调性，即可确定实数a的取值范围解答：解：当a=0时，函数f（x）=2x4在（，1）是单调递减函数，符合题意；当a0时，所以0a1，实数a的取值范围是0a1故答案为：0a1点评：本题考查函数的单调性，考查分类讨论的数学思想，利用一次函数与二次函数的单调性是解题的关键12（5分）已知y=f（x）是定义在R上的奇函数，且当x0时，f（x）=1+2x，则=9考点：函数奇偶性的性质 专题：计算题
13、；转化思想分析：先根据已知条件把转化为f（3）；再结合奇函数以及x0时，f（x）=1+2x即可得到结论解答：解：因为：log8=3；=f（3）；y=f（x）是定义在R上的奇函数，且当x0时，f（x）=1+2x，f（3）=f（3）=（1+23）=9故答案为：9点评：本题主要考察函数的奇偶性性质的应用属于基础题目13（5分）关于x的方程|x22x4|=a有三个不相等的实数解，则实数a的值是5考点：根的存在性及根的个数判断 专题：计算题；数形结合法；函数的性质及应用分析：构造函数y1=|x22x4|，y2=a，画出函数的图形，即可得关于x的方程|x22x4|=a有三个不等的实数解时，a的值解答：解：
14、构造函数y1=|x22x4|，y2=a，画出函数的图形，如图所示则可得关于x的方程|x22x4|=a有三个不等的实数解时，a=5故答案为：5点评：本题考查方程的解，考查函数与方程思想，考查数形结合的数学思想，属于中档题14（5分）下列说法正确的有（填序号）若函数f（x）为奇函数，则f（0）=0； 函数在（，1）（1，+）上是单调减函数；若函数y=f（2x+1）的定义域为2，3，则函数f（x）的定义域为；要得到y=f（2x1）的图象，只需将y=f（2x）的图象向右平移个单位考点：命题的真假判断与应用 专题：函数的性质及应用分析：根据奇函数的定义域可能不包括0，可判断的真假；类比反比例函数的单调性
15、和单调区间的定义，可判断的真假；根据抽象函数定义域的求法，可判断的真假；根据函数图象的平移变换，可判断的真假，进而得到答案解答：解：若函数f（x）为奇函数，但函数的定义域不包括0，则f（0）无意义，故错误；函数的在（，1），（1，+）上是单调减函数，但在（，1）（1，+）上无单调性，故错误；若函数y=f（2x+1）的定义域为2，3，2x+15，7，即函数f（x）的定义域为5，7，故错误；将y=f（2x）的图象向右平移个单位，可得y=f2（x）=f（2x1）的图象，故正确，故答案为：点评：本题又命题的真假判断为载体考查了函数的图象和性质，熟练掌握基本初等函数的图象和性质，是解任的关键二、解答题：
16、（本大题共6小题，计90分，解答题应写出文字说明证明过程或演算步骤）15（14分）设全集为R，集合A=x|x3或x6，B=x|2x9（1）求AB，（RA）B；（2）已知C=x|axa+1，若CB，求实数a的取值范围考点：集合关系中的参数取值问题；交、并、补集的混合运算 专题：计算题分析：（1）由A=x|x3或x6，B=x|2x9，知RA=x|3x6，由此能求出AB和（RA）B（2）由C=x|axa+1，且CB，知，由此能求出实数a的取值范围解答：解：（1）A=x|x3或x6，B=x|2x9AB=R，RA=x|3x6，（RA）B=x|3x6（2）C=x|axa+1，B=x|2x9，且CB，解得2
17、a8，所求实数a的取值范围是2，8点评：本题考查集合的交、并、补的混合运算，解题时要认真审题，注意集合的包含关系的合理运用16（14分）已知函数f（x）=log2x+3，x1，64（1）求函数f（x）的值域；（2）若g（x）=f（x2）f（x）2，求g（x）的最小值以及相应的x的值考点：对数函数的图像与性质 专题：计算题；函数的性质及应用分析：（1）由观察法及单调性求函数的值域；（2）首先求出g（x）的定义域，再令log2x=t，（t0，3），利用换元法及配方法求函数的最小值解答：解：（1）x1，64，log2x0，6，f（x）=log2x+33，9，即函数f（x）的值域为3，9； （2）由题
18、意可知，g（x）中，解得g（x）的定义域为1，8，令log2x=t，（t0，3），则=2t+3（t+3）2=t24t6=（t2）210，t0，3，当t=2，即x=4时，g（x）的最小值为10点评：本题考查了函数的值域与定义域的求法，同时考查了函数的最值的求法，用到了换元法及配方法，属于基础题17（14分）销售甲、乙两种商品所得利润分别是y1、y2万元，它们与投入资金x万元的关系分别为，y2=bx，（其中m，a，b都为常数），函数y1，y2对应的曲线C1、C2如图所示（1）求函数y1、y2的解析式；（2）若该商场一共投资4万元经销甲、乙两种商品，求该商场所获利润的最大值考点：根据实际问题选择函数
19、类型；函数解析式的求解及常用方法 专题：函数的性质及应用分析：（1）根据所给的图象知，两曲线的交点坐标为，由此列出关于m，a的方程组，解出m，a的值，即可得到函数y1、y2的解析式；（2）对甲种商品投资x（万元），对乙种商品投资（4x）（万元），根据公式可得甲、乙两种商品的总利润y（万元）关于x的函数表达式；再利用配方法确定函数的对称轴，结合函数的定义域，即可求得总利润y的最大值解答：解：（1）由题意，解得，（4分）又由题意得，（x0）（7分）（不写定义域扣一分）（2）设销售甲商品投入资金x万元，则乙投入（4x）万元由（1）得，（0x4）（10分）令，则有=，当t=2即x=3时，y取最大值1答
20、：该商场所获利润的最大值为1万元（14分）（不答扣一分）点评：本题考查了函数模型的构建以及换元法、配方法求函数的最值，体现用数学知识解决实际问题，属于基础题18（16分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x0时，f（x）=x22x1（1）求f（x）的函数解析式；（2）作出函数f（x）的简图，写出函数f（x）的单调区间及最值；（3）当x的方程f（x）=m有四个不同的解时，求m的取值范围考点：函数解析式的求解及常用方法；函数奇偶性的性质 专题：计算题；数形结合；函数的性质及应用分析：（1）当x0时，x0，由已知的函数式，结合偶函数的定义，即可得到x0的表达式，进而得到f（x）的表达式；（2）
21、根据偶函数的图象关于原点对称，画出图象，由图象即可得到单调区间和最值；（3）x的方程f（x）=m有四个不同的解，即有直线y=m与f（x）的图象有四个交点，结合图象即可得到m的取值范围解答：解：（1）当x0时，x0，则当x0时，f（x）=x22x1，则f（x）=（x）22（x）1=x2+2x1，f（x）是偶函数，f（x）=f（x）=x2+2x1，；（2）函数f（x）的简图：则单调增区间为1，0和1，+），单调减区间为（，1和0，1；当x=1或1时，f（x）有最小值2，无最大值；（3）x的方程f（x）=m有四个不同的解，即有直线y=m与f（x）的图象有四个交点，由图象可知，m的取值范围是（2，1）
22、点评：本题考查函数的解析式的求法，注意运用偶函数的定义，考查函数的图象，以及通过图象观察得到函数的性质，以及方程根的个数和函数的图象的交点个数的关系，属于中档题19（16分）设函数f（x）=a（1）若函数f（x）是奇函数，求实数a的值；（2）求证：不论a为何实数，函数f（x）是增函数；（3）若f（1）=2，求函数f（x）的值域考点：函数的值域；函数奇偶性的性质 专题：函数的性质及应用分析：本题（1）利用函数奇偶性的定义得到相应的恒等式，化简后，求出参数a的值；（2）利用函数单调性证明出函数是定义域上的增函数，得到本题结论；（3）根据条件f（1）=2，求出a的值，再利用指数函数的值域，求出原函数
23、的值域，得到本题结论解答：解：（1）由题意可知，故a=3；（2）由题意知，xR，设x1x2，则，x1x2，0，0，f（x1）f（x2）0，即f（x1）f（x2），不论a为何实数，函数f（x）是增函数；（3）由f（1）=a2=2可得，a=4，2x0，2x+11，故，点评：本题考查了函数的奇偶性、单调性和函数的值域，本题难度不大，属于基础题20（16分）已知集合是满足下列性质的函数f（x）的全体：在定义域D内存在x0，使得f（x0+1）=f（x0）+f（1）成立（1）函数是否属于集合M？说明理由；（2）若函数f（x）=kx+b属于集合M，试求实数k和b的取值范围；（3）设函数属于集合M，求实数a的
24、取值范围考点：一元二次方程的根的分布与系数的关系；对数的运算性质 专题：计算题；新定义分析：（1）做出所给的函数的定义域，假设这个函数属于集合，则得到方程x02+x0+1=0，因为此方程无实数解，得到不存在x0使得等式成立，所以函数（2）做出函数的定义域R，根据f（x）=kx+bM，则存在实数x0，使得k（x0+1）+b=kx0+b+k+b，解得b=0，得到实数k和b的取得范围是kR，b=0（3）根据所给的函数符合集合的条件，写出符合条件的关系式，得到一个关于自变量的一元二次方程，根据有解得到判别式大于0，得到结果解答：解：（1）根据题意得到D=（，0）（0，+），若，则存在非零实数x0，使得
25、，（2分）即x02+x0+1=0，（3分）因为此方程无实数解，所以函数（4分）（2）D=R，由f（x）=kx+bM，存在实数x0，使得k（x0+1）+b=kx0+b+k+b，（6分）解得b=0，（7分）所以，实数k和b的取得范围是kR，b=0（8分）（3）由题意，a0，D=R由，存在实数x0，使得，（10分）所以，化简得（a22a）x02+2a2x0+2a22a=0，（12分）当a=2时，符合题意（13分）当a0且a2时，由0得4a48（a22a）（a2a）0，化简得a26a+40，解得（15分）综上，实数a的取值范围是（16分）点评：本题考查一元二次方程根与系数的关系，本题解题的关键是根据所给的满足集合的条件写出关于变量的关系式进行求解，本题是一个难题，难点在于理解题意