1、高一数学精英对抗赛（六）一 选择题（共12小题,第1-6题每题5分，第7-12题每题6分）1. 在长方体中，点P在线段上运动，当异面直线CP与所成的角最大时，则三棱锥的体积为 A. B. C. D. 2. 已知边长为2的正所在平面外有一点P，当三棱锥的体积最大时，三棱锥外接球的表面积为A. B. C. D. 3. 已知三棱锥的顶点均在球O的球面上，且，若H是点A在平面BCD内的正投影，且，则球O的表面积为A. B. C. D. 4. 如图，在直三棱柱中，D是AB上一点，且，E是的中点，F是上一点当时，平面CDE，则三棱柱外接球的表面积为 A. B. C. D. 5. 如图，在正方体中，M，N，
2、P分别是，BC，的中点，有下列四个结论：与CM是异面直线；，CM，相交于一点；平面D.其中所有正确结论的编号是 A. B. C. D. 6. 在四面体ABCD中，和均是边长为1的等边三角形，已知四面体ABCD的四个顶点都在同一球面上，且AD是该球的直径，则四面体ABCD的体积为 A. B. C. D. 7. 已知球O是正三棱锥底面BCD为正三角形，顶点A在底面BCD的射影为底面中心的外接球，点E在线段BD上，且，过点E作球O的截面，则所得截面圆面积的取值范围是 A. B. C. D. 8. 如图，正方体的棱长为a，作平面与底面不平行与棱，分别交于E，F，G，H，记EA，FB，GC，HD分别为，
3、若，则多面体EFGHABCD的体积为A. B. B. C. D. 9. 以A，B，C，D，E为顶点的多面体中，则该多面体的体积的最大值为A. B. 80C. 90D. 10. 如图，在棱长为1的正方体中，点分别是棱的中点，P是侧面内一点，若平面 则线段长度的取值范围是 A. B. C. D. 11. 如图，在棱长为1的正方体中，点M是线段上的动点，下列四个结论：存在点M，使得平面；存在点M，使得的体积为；存在点M，使得平面交正方体的截面为等腰梯形；若，过点M作正方体的外接球的截面，则截面的面积最小值为则上述结论正确的是 A. B. C. D. 12. 已知长方体，M是的中点，点P在长方体内部或
4、表面上，且平面，则动点P的轨迹所形成的区域面积是 A. 6B. C. D. 9二 填空题（共2小题，每题5分）13. 如图所示，正方体的棱长为a，点E，F，G分别为棱AB，BC，的中点，下列结论中，正确的是_过E，F，G三点作正方体的截面，所得截面为正六边形平面EFG 异面直线FG与所成角的正切值为1四面体的体积为 14. 如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点E，F，且，现有如下四个结论：；平面平面异面直线AE，BF所成的角为定值； 三棱锥的体积为定值，其中正确结论的序号是_ 三解答题（共2小题，每题12分）15. 定义两类新函数：若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在唯一的，使得
5、成立，则称该函数为“LZ函数”；若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在唯一的，使得成立，则称该函数为“LZplus函数”(1) 设函数的定义域为，已知是某一类新函数，试判断是“LZ函数”还是“LZplus函数”不需说明理由，并求此时的范围；已知函数在定义域上为“LZplus函数”，若存在实数，使得对任意的，不等式都成立，求实数p的取值范围16.已知为定义在实数集R上的函数，把方程称为函数的特征方程，特征方程的两个实根、，称为的特征根 已知m为给定实数，求的表达式；把函数，的最大值记作，最小值记作，研究函数，的单调性，令，若恒成立，求的取值范围 高一数学精英对抗赛（六）参考答案与试题解析
6、1-5BCCCB 6-10BACCB 11-12 BD 13. 14. 7. 解：如图：设三角形BDC的中心为，球O的半径为R，连接，OD，OE，则，在中，解得，因为，所以，在中，所以，过点E作圆O的截面，当截面与OE垂直时，截面的面积最小，此时截面圆的半径为，最小面积为，当截面过球心时，截面的面积最大，最大面积为故截面圆的面积的取值范围为故选A 8.解：由正方体的对面平行及面面平行的性质定理得：，四边形EFGH是平行四边形，连结AC，BD交于点O，连结EG，FH，交于点，连结，则32，h1，两个多面体EFGHABCD可以拼成一个长方体，多面体EFGHABCD的体积为：故选：C 9.解：取AB
7、的点O，因为，所以，故点C，D，E在以AB为直径的球面O上设A，B到平面CDE的距离分别为，则，所以该多面体的体积，过点C，D，E作球的截面圆，设圆的半径为r，则，且，即，所以，又点E到CD的距离最大值为，所以，因为函数在单调递增，所以，从而故选C 10.解：如图所示：分别取棱、的中点M、N，连接MN，连接，、N、E、F为所在棱的中点，又平面AEF，平面AEF，平面AEF；，四边形为平行四边形，又平面AEF，平面AEF，平面AEF，又，、平面，平面平面AEF，是侧面内一点，且平面AEF，则P必在线段MN上，在中，同理，在中，求得，为等腰三角形，当P在MN中点O时，此时最短，P位于M、N处时最长
8、，所以线段长度的取值范围是故选B 11.解析：对于，连接，显然平面平面，令平面，则存在点M，使得平面，故正确；对于，方法一、极限法：时，时，易判定不存在点M，使得的体积为；方法二、常规推导：连接，则平面与平面共面，所以不存在点M，使的体积为，故错误；对于，因为平面，平面交平面的交线与平行，显然存在点M，使截面为等腰梯形，故正确；对于，当且仅当M为截面圆得圆心时，截面圆得面积最小，易求截面的面积最小值小于，故错误；故选B 12.解：如图所示，E，F，G，H，N分别为，DA，AB的中点，则EFNH，MNFG，由于平面，平面，可得平面，同理可证：平面，又，所以平面MEFGHN平面，所以动点P的轨迹是
9、六边形MEFGHN及其内部因为，所以，E到GM的距离为，所以故选D 13. 解：延长EF分别与DC，DA的延长线交于N，Q，连接GN交于H，设HG与的延长线交于P，连接PQ交于I，交于M，连FH，HG，GI，IM，ME，则截面六边形EFHGIM为正六边形，故正确；与ME相交，故AB与平面EFG相交，所以不正确；，所以为异面直线FG与所成角或其补角，在中，由余弦定理求得，故不正确；四面体的体积等于正方体的体积减去四个正三棱锥的体积，即为，故正确故答案为 14. 解：设与相交与根据正方体的性质可知，而，BD，平面，所以平面，平面，所以故正确根据正方体的性质可知，平面，面，所以平面同理可证平面，而，
10、平面，所以平面平面，也即平面平面故正确由于正方体的边长为，所以，而，根据正方体的性质可知，所以四边形是平行四边形，所以，所以是异面直线所成的角，所以，其中为定值，长度不固定，所以不是定值，所以错误由可知平面，所以为定值，所以正确故答案为： 15解：函数在定义域上是“LZ函数“因为在内单调递增，由定义需满足，即，因为，所以，所以的范围为若图象对称轴，设，且，关于对称，此时，分析知存在，使这与“LZplus函数”定义矛盾所以在上单调，且，由，得，解得或检验：在上单调，所以不等式即，整理得，由题意知，上式对任意恒成立，得，整理得，由题意知，存在使得该不等式成立，所以或，解得或所以实数p的取值范围是 16.解：方程的两个实根、，即方程的两个实根、；，； ;函数在上是单调递增函数；证明：任取；，；两式相加得：；又；所以函数在上是单调递增函数；则；则恒成立，即恒成立；所以；故的取值范围是：