1、2016-2017学年江苏省无锡市高三（上）期末数学试卷一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1设集合A=x|x0，B=x|1x2，则AB=2复数，（其中i是虚数单位），则复数z的共轭复数为3命题“x2，x24”的否定是4从3男2女共5名学生中任选2人参加座谈会，则选出的2人恰好为1男1女的概率为5根据如图所示的伪代码可知，输出的结果为6已知向量，若与垂直，则m的值为7设不等式表示的平面区域为M，若直线y=kx2上存在M内的点，则实数k的取值范围是8已知是奇函数，则f（g（2）=9设公比不为1的等比数列an满足，且a2，a4，a3成等差数列，则数列an的前4项和为10设，则f（
2、x）在上的单调递增区间为11已知圆锥的侧面展开图为一个圆心角为120，且面积为3的扇形，则该圆锥的体积等于12设P为有公共焦点F1，F2的椭圆C1与双曲线C2的一个交点，且PF1PF2，椭圆C1的离心率为e1，双曲线C2的离心率为e2，若3e1=e2，则e1=13若函数f（x）在m，n（mn）上的值域恰好为m，n，则称f（x）为函数的一个“等值映射区间”下列函数：y=x21；y=2+log2x；y=2x1；其中，存在唯一一个“等值映射区间”的函数有个14已知a0，b0，c2，且a+b=2，则的最小值为二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.15（14分）
3、在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sinA+cos2=1，D为BC上一点，且（1）求sinA的值；（2）若a=4，b=5，求AD的长16（14分）在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，AP平面PCD，E，F分别为PC，AB的中点求证：（1）平面PAD平面ABCD；（2）EF平面PAD17（14分）某地拟在一个U形水面PABQ（A=B=90）上修一条堤坝（E在AP上，N在BQ上），围出一个封闭区域EABN，用以种植水生植物为了美观起见，决定从AB上点M处分别向点E，N拉2条分割线ME，MN，将所围区域分成3个部分（如图），每部分种植不同的水生植物已知AB=a，EM=BM，ME
4、N=90，设所拉分割线总长度为l（1）设AME=2，求用表示的l函数表达式，并写出定义域；（2）求l的最小值18（16分）已知椭圆，动直线l与椭圆交于B，C两点（B在第一象限）（1）若点B的坐标为（1，），求OBC面积的最大值；（2）设B（x1，y1），C（x2，y2），且3y1+y2=0，求当OBC面积最大时，直线l的方程19（16分）数列an的前n项和为Sn，（1）求r的值及数列an的通项公式；（2）设，记bn的前n项和为Tn当nN*时，T2nTn恒成立，求实数的取值范围；求证：存在关于n的整式g（n），使得对一切n2，nN*都成立20（16分）已知f（x）=x2+mx+1（mR），g（x
5、）=ex（1）当x0，2时，F（x）=f（x）g（x）为增函数，求实数m的取值范围；（2）若m（1，0），设函数，求证：对任意x1，x21，1m，G（x1）H（x2）恒成立加试题说明：解答时，应写出文字说明、证明过程或演算步骤.选修4-4：坐标系与参数方程21设极坐标系的极点为直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴已知曲线C的极坐标方程为=8sin（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）设直线（t为参数）与曲线C交于A，B两点，求AB的长选修4-2：矩阵与变换22已知变换T将平面上的点分别变换为点设变换T对应的矩阵为M（1）求矩阵M；（2）求矩阵M的特征值23某小区停车场的收费标准为：每车每次停车时
6、间不超过2小时免费，超过2小时的部分每小时收费1元（不足1小时的部分按1小时计算）现有甲乙两人独立来停车场停车（各停车一次），且两人停车时间均不超过5小时设甲、乙两人停车时间（小时）与取车概率如表所示 （0，2 （2，3 （3，4 （4，5 甲 x x x 乙 y 0（1）求甲、乙两人所付车费相同的概率；（2）设甲、乙两人所付停车费之和为随机变量，求的分布列和数学期望E24如图，四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，四边形ABCD为直角梯形，ADBC，BAD=CBA=90，PA=AB=BC=1，AD=2，E，F，G分别为BC，PD，PC的中点（1）求EF与DG所成角的余弦值；（2）若M为EF上
7、一点，N为DG上一点，是否存在MN，使得MN平面PBC？若存在，求出点M，N的坐标；若不存在，请说明理由2016-2017学年江苏省无锡市高三（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1设集合A=x|x0，B=x|1x2，则AB=x|0x2【考点】交集及其运算【分析】由A与B，求出两集合的交集即可【解答】解：A=x|x0，B=x|1x2，AB=x|0x2，故答案为：x|0x2【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键2复数，（其中i是虚数单位），则复数z的共轭复数为1i【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】直接利用复数代数形
8、式的乘除运算化简复数z得答案【解答】解： =，则复数z的共轭复数为：1i故答案为：1i【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题3命题“x2，x24”的否定是x02，x024【考点】命题的否定【分析】直接利用全称命题是否定是特称命题写出结果即可【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“x2，x24”的否定是：x02，x024故答案为：x02，x024【点评】本题考查命题的否定特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查4从3男2女共5名学生中任选2人参加座谈会，则选出的2人恰好为1男1女的概率为【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率【分析】先求出
9、基本事件总数n=10，再求出选出的2人恰好为1男1女包含的基本事件个数m=，由此能求出选出的2人恰好为1男1女的概率【解答】解：从3男2女共5名学生中任选2人参加座谈会，基本事件总数n=10，选出的2人恰好为1男1女包含的基本事件个数m=，选出的2人恰好为1男1女的概率p=故答案为：【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用5根据如图所示的伪代码可知，输出的结果为70【考点】程序框图【分析】模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的S，i的值，可得当i=9时不满足条件i8，退出循环，输出S的值为70【解答】解：模拟程序的运行，可得i=1，S=2满足
10、条件i8，执行循环体，i=3，S=7满足条件i8，执行循环体，i=5，S=22满足条件i8，执行循环体，i=7，S=43满足条件i8，执行循环体，i=9，S=70不满足条件i8，退出循环，输出S的值为70故答案为：70【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图的应用，当循环的次数不多或有规律时，常采用模拟执行程序的方法解决，属于基础题6已知向量，若与垂直，则m的值为【考点】平面向量的坐标运算【分析】运用向量的数乘及加法运算求出向量若与，然后再由垂直向量的数量积为0列式求解m的值【解答】解：向量，=（1，2），=（2m+1，m1），与垂直（）（）=0，即2m+1+2（m1）=0，解得m=，故答案为
11、：【点评】本题考查向量的数量积判断两个向量的垂直关系，考查计算能力，是基础题7设不等式表示的平面区域为M，若直线y=kx2上存在M内的点，则实数k的取值范围是2，5【考点】简单线性规划【分析】由题意，做出不等式组对应的可行域，由于函数y=kx+1的图象是过点A（0，2），斜率为k的直线l，故由图即可得出其范围【解答】解：由约束条件作出可行域如图，如图因为函数y=kx2的图象是过点A（0，2），且斜率为k的直线l，由图知，当直线l过点B（1，3）时，k取最大值=5，当直线l过点C（2，2）时，k取最小值=2，故实数k的取值范围是2，5故答案为：2，5【点评】本题考查简单线性规划，利用线性规划的知
12、识用图象法求出斜率的最大值与最小值这是一道灵活的线性规划问题，还考查了数形结合的思想，属中档题8已知是奇函数，则f（g（2）=1【考点】函数奇偶性的性质【分析】根据函数奇偶性的性质进行转化求解即可【解答】解：f（x）是奇函数，g（2）=f（2）=f（2）=（223）=1，则f（1）=f（1）=（23）=1，故f（g（2）=1，故答案为：1【点评】本题主要考查函数值的计算，根据函数奇偶性的性质进行转化是解决本题的关键9设公比不为1的等比数列an满足，且a2，a4，a3成等差数列，则数列an的前4项和为【考点】等比数列的前n项和【分析】设等比数列an的公比为q，根据a2，a4，a3成等差数列，可得
13、=a2+a2q，q1，解得q再利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出【解答】解：设等比数列an的公比为q，a2，a4，a3成等差数列，2a4=a2+a3，=a2+a2q，化为：2q2q1=0，q1，解得q=， =，解得a1=1则数列an的前4项和=故答案为：【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题10设，则f（x）在上的单调递增区间为0，【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象【分析】根据三角函数的辅助角公式进行化简结合三角函数的性质进行求解即可【解答】解： =sin2x+sinxcosx=（1cos2x）+sin2x=sin（2
14、x）+，由2k2x2k+，kZ，得kxk+，kZ，x，当k=0时，x，即0x，即函数f（x）在上的单调递增区间为0，故答案为：0，【点评】本题主要考查三角函数图象和性质的考查，利用辅助角公式进行化简是解决本题的关键11已知圆锥的侧面展开图为一个圆心角为120，且面积为3的扇形，则该圆锥的体积等于【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）【分析】设圆锥的母线为l，底面半径为r，由已知条件求出l=3，r=1，从而求出圆锥的高，由此能求出圆锥的体积【解答】解：设圆锥的母线为l，底面半径为r，3=l2，l=3，120=360，r=1，圆锥的高是=2，圆锥的体积是122=故答案为：【点评】本题考查圆锥的体积的求
15、法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆锥的性质的合理运用12设P为有公共焦点F1，F2的椭圆C1与双曲线C2的一个交点，且PF1PF2，椭圆C1的离心率为e1，双曲线C2的离心率为e2，若3e1=e2，则e1=【考点】椭圆的简单性质【分析】根据椭圆的几何性质可得， =b12tan，根据双曲线的几何性质可得， =以及离心率以及a，b，c的关系即可求出答案【解答】解：设F1AF2=2根据椭圆的几何性质可得， =b12tan=b12，e1=，a1=，b12=a12c2=c2（1）根据双曲线的几何性质可得， =b22，e2=a2=b22=c2a22=c2（1），c2（1）=c2（1），即+=2，3e1
16、=e2，e1=故答案为：【点评】本题考查了圆锥曲线的几何性质，以及椭圆和双曲线的简单性质，属于中档题13若函数f（x）在m，n（mn）上的值域恰好为m，n，则称f（x）为函数的一个“等值映射区间”下列函数：y=x21；y=2+log2x；y=2x1；其中，存在唯一一个“等值映射区间”的函数有2个【考点】函数的值域【分析】若函数f（x）在m，n（mn）上的值域恰好为m，n，则称f（x）为函数的一个“等值映射区间”根据新定义可知，“等值映射区间”即是函数与另一函数y=x有两个交点即可判断【解答】解：根据新定义可知，“等值映射区间”即是函数与另一函数y=x有两个交点对于y=x21；根据新定义可得：x
17、21=x，方程有两个解，即函数y=x21与函数y=x有两个交点故是；对于y=2+log2x；根据新定义可得：2+log2x=x，即函数y=2+log2x与函数y=x有一个交点故不是；对于y=2x1；根据新定义可得：2x1=x，即函数y=2x1与函数y=x有一个交点故不是；对于；根据新定义可得：x2x=1，方程有两个解，即函数与函数y=x有两个交点故是；故答案为：2【点评】本题考查了新定义的理解和定义域，值域的关系的运用属于中档题14已知a0，b0，c2，且a+b=2，则的最小值为+【考点】基本不等式【分析】由2=，先将+变形为，运用基本不等式可得最小值，再求c+= （c2）+1的最小值，运用基
18、本不等式即可得到所求值【解答】解：a0，b0，c2，且a+b=2，则=c（+）+=+，由2=，可得=，当且仅当b=a时，取得等号则原式c+= （c2）+1 2+1=+当且仅当c=2+时，取得等号则所求最小值为+故答案为： +【点评】本题考查基本不等式的运用：求最值，注意变形和满足的条件：一正二定三等，考查化简和运算能力，属于中档题二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.15（14分）（2016秋无锡期末）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sinA+cos2=1，D为BC上一点，且（1）求sinA的值；（2）若a=4，b=5，求AD的长【考
19、点】余弦定理；正弦定理【分析】（1）利用降幂公式，三角形内角和定理，诱导公式化简已知可得5sin2A4sinA=0，结合范围A（0，），即可解得sinA的值（2）由余弦定理可得c26c7=0，解得c的值，利用平面向量的运算可求2的值，进而可求AD的值【解答】解：（1）sinA+cos2=1，sinA+=1，即2sinAcosA=1，2分（2sinA1）2=cos2A，即5sin2A4sinA=0，A（0，），sinA0，sinA=，cosA=6分（2）a=4，b=5，cosA=，由余弦定理可得：32=25+c225c，即：c26c7=0，解得：c=7，10分，2=+bccosA=+=25，12
20、分AD=514分【点评】本题主要考查了降幂公式，三角形内角和定理，诱导公式，余弦定理，平面向量的运算在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于中档题16（14分）（2016秋无锡期末）在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，AP平面PCD，E，F分别为PC，AB的中点求证：（1）平面PAD平面ABCD；（2）EF平面PAD【考点】直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定【分析】（1）利用线面垂直的性质可证APCD，又ABCD为矩形，ADCD，利用线面垂直的判定定理可证CD平面PAD，利用面面垂直的判定可证平面PAD平面ABCD（2）连接AC，BD交于点O，连接OE，OF，由ABCD为矩形
21、，O点为AC中点，可证OEPA，进而可证OE平面PAD，同理可得：OF平面PAD，通过证明平面OEF平面PAD，即可证明EF平面PAD【解答】证明：（1）AP平面PCD，CD平面PCD，APCD，ABCD为矩形，ADCD，2分又APAD=A，AP平面PAD，AD平面PAD，CD平面PAD，4分CD平面ABCD，平面PAD平面ABCD6分（2）连接AC，BD交于点O，连接OE，OF，ABCD为矩形，O点为AC中点，E为PC中点，OEPA，OE平面PAD，PA平面PAD，OE平面PAD，8分同理可得：OF平面PAD，10分OEOF=O，平面OEF平面PAD，12分EF平面OEF，EF平面PAD14
22、分【点评】本题主要考查了线面垂直的判定和性质，面面垂直的判定，线面平行的判定与面面平行的性质的综合应用，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题17（14分）（2016秋无锡期末）某地拟在一个U形水面PABQ（A=B=90）上修一条堤坝（E在AP上，N在BQ上），围出一个封闭区域EABN，用以种植水生植物为了美观起见，决定从AB上点M处分别向点E，N拉2条分割线ME，MN，将所围区域分成3个部分（如图），每部分种植不同的水生植物已知AB=a，EM=BM，MEN=90，设所拉分割线总长度为l（1）设AME=2，求用表示的l函数表达式，并写出定义域；（2）求l的最小值【考点】在实际问题中建立三
23、角函数模型【分析】（1）设AME=2，求出EM，MN，即可求用表示的l函数表达式，并写出定义域；（2）令f（）=sin（1sin），sin（0，），即可求l的最小值【解答】解：（1）EM=BM，B=MEN，BMNEMN，BNM=MNE，AME=2，BNM=MNE=，设MN=x，在BMN中，BM=xsin，EM=BM=xsin，EAM中，AM=EMcos2=xsincos2，AM+BM=a，xsincos2+xsin=a，x=，l=EM+MN=，（0，）；（2）令f（）=sin（1sin），sin（0，），f（），当且仅当=时，取得最大值，此时lmin=2a【点评】本题考查利用数学知识解决实际问
24、题，考查三角函数模型的运用，属于中档题18（16分）（2016秋无锡期末）已知椭圆，动直线l与椭圆交于B，C两点（B在第一象限）（1）若点B的坐标为（1，），求OBC面积的最大值；（2）设B（x1，y1），C（x2，y2），且3y1+y2=0，求当OBC面积最大时，直线l的方程【考点】椭圆的简单性质【分析】（1）直线OB的方程为：y=x，即3x2y=0，设经过点C且平行于直线OB的直线l方程为：y=x+b则当l与椭圆只有一个公共点时，OBC的面积最大此时直线与椭圆相切（2）直线l与y轴不垂直，设直线l的方程为：x=my+n，与椭圆方程联立化为：（3m2+4）y2+6mny+3n212=0，利用
25、根与系数的关系及其3y1+y2=0，可得n2=则SOBC=|y1y2|=2|n|y1|=进而得出结论【解答】解：（1）直线OB的方程为：y=x，即3x2y=0，设经过点C且平行于直线OB的直线l方程为：y=x+b则当l与椭圆只有一个公共点时，OBC的面积最大联立，化为：3x2+3bx+b23=0，由=9b212（b23）=0，解得b=当b=2时，C；当b=2时，CSOBC=（2）直线l与y轴不垂直，设直线l的方程为：x=my+n，联立，化为：（3m2+4）y2+6mny+3n212=0，y1+y2=，y1y2=3y1+y2=0，y1=， =， =，n2=SOBC=|y1y2|=2|n|y1|=
26、B在第一象限，x1=my1+n=+n0，n0y10，m0SOBC=，当且仅当m=时取等号此时n=此时直线l的方程为：x=y+，即2xy+=0【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交弦长问题、直线与椭圆相切问题、三角形面积计算公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题19（16分）（2016秋无锡期末）数列an的前n项和为Sn，（1）求r的值及数列an的通项公式；（2）设，记bn的前n项和为Tn当nN*时，T2nTn恒成立，求实数的取值范围；求证：存在关于n的整式g（n），使得对一切n2，nN*都成立【考点】数列的求和；数列与不等式的综合【分析】（1）n=1时，S
27、1=a1=a1，解得r，可得Sn=an利用递推关系可得=，（n2）利用“累乘求积”方法可得an（2）bn=，Tn=+，T2n=+，作差可得数列T2nTn的单调性利用当nN*时，T2nTn恒成立，可得的求值范围由可得：n2时TnTn1=，即（n+1）TnnTn1=Tn1+1，n2时，可得=（n+1）Tn1即可得出【解答】（1）解：n=1时，S1=a1=a1，解得r=，Sn=ann2时，Sn1=an1两式相减可得：an=anan1 =，（n2）an=2=n（n+1），n=1时也适合an=n（n+1）（2）解：bn=，Tn=+，T2n=+，T2nTn=+，令Bn=T2nTn，则Bn+1Bn=0，因此
28、数列Bn单调递增，（Bn）min=当nN*时，T2nTn恒成立，证明：由可得：n2时TnTn1=，即（n+1）TnnTn1=Tn1+1，n2时， =（3T22T1）+（4T33T2）+（n+1）TnnTn1=（n+1）Tn2T1=（n+1）Tn1存在关于n的整式g（n）=n+1，使得对一切n2，nN*都成立【点评】本题考查了数列的递推关系、“累乘求积”方法、“累加求和”方法、“作差法”，考查了推理能力与计算能力，属于难题20（16分）（2016秋无锡期末）已知f（x）=x2+mx+1（mR），g（x）=ex（1）当x0，2时，F（x）=f（x）g（x）为增函数，求实数m的取值范围；（2）若m（
29、1，0），设函数，求证：对任意x1，x21，1m，G（x1）H（x2）恒成立【考点】利用导数求闭区间上函数的最值【分析】（1）求出函数F（x）的导数，分离参数，问题转化为mex2x在0，2恒成立，令h（x）=ex2x，x0，2，根据函数的单调性求出m的范围即可；（2）问题转化为证G（x）maxH（x）min，根据函数的单调性分别求出G（x）的最大值和H（x）的最小值，从而证出结论【解答】解：（1）F（x）=x2+mx+1ex，F（x）=2x+mex，x0，2时，F（x）是增函数，F（x）0即2x+mex0在0，2上恒成立，即mex2x在0，2恒成立，令h（x）=ex2x，x0，2，则h（x）=
30、ex2，令h（x）=0，解得：x=ln2，h（x）在0，ln2递减，在ln2，2递增，h（0）=1，h（2）=e241，h（x）max=h（2）=e24；（2）G（x）=，则G（x）=，对任意x1，x21，1m，G（x1）H（x2）恒成立，即证G（x）maxH（x）min，x1，1m，G（x）在1，1m递增，G（x）max=G（1m）=，H（x）在1，1m递减，H（x）min=H（1m）=（1m）+，要证G（x）maxH（x）min，即证（1m）+，即证4（2m）e1m5（1m），令1m=t，则t（1，2），设r（x）=ex（5x）4（x+1），x1，2，即r（x）=5exxex4x4，r（x
31、）=（4x）ex42ex40，r（x）在1，2递增，r（1）=4e80，ex（5x）4（x+1），从而有（1m）+，即当x1，1m，G（x1）H（x2）恒成立【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题加试题说明：解答时，应写出文字说明、证明过程或演算步骤.选修4-4：坐标系与参数方程21（2016秋无锡期末）设极坐标系的极点为直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴已知曲线C的极坐标方程为=8sin（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）设直线（t为参数）与曲线C交于A，B两点，求AB的长【考点】参数方程化成普通方程【分析】（1）曲线C的极坐标方程为=8si
32、n，即2=8sin利用互化公式可得曲线C的直角坐标方程（2）设直线（t为参数）的直角坐标方程为y=x+2x2+y2=8y，配方为x2+（y4）2=16，可得圆心C（0，4），半径r=4求出圆心C到直线的距离d可得|AB|=2【解答】解：（1）曲线C的极坐标方程为=8sin，即2=8sin曲线C的直角坐标方程为x2+y2=8y（2）设直线（t为参数）的直角坐标方程为y=x+2x2+y2=8y，配方为x2+（y4）2=16，可得圆心C（0，4），半径r=4圆心C到直线的距离d=|AB|=2=2【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、点到直线的距离公式公式、直线与圆直角弦长问题，考查了推理能力
33、与计算能力，属于中档题选修4-2：矩阵与变换22（2016秋无锡期末）已知变换T将平面上的点分别变换为点设变换T对应的矩阵为M（1）求矩阵M；（2）求矩阵M的特征值【考点】特征向量的意义；几种特殊的矩阵变换【分析】（1）设M=，由矩阵变换可得方程组，解方程即可得到所求；（2）设矩阵M的特征多项式为f（），可得特征多项式，解方程可得特征值【解答】解：（1）设M=，则=，=，即为，即a=3，b=，c=4，d=4，则M=；（2）设矩阵M的特征多项式为f（），可得f（）=（3）（4）6=27+6，令f（）=0，可得=1或=6【点评】本题考查矩阵变换和特征值的求法，注意运用待定系数法，考查方程思想的运用
34、，属于基础题23（2016秋无锡期末）某小区停车场的收费标准为：每车每次停车时间不超过2小时免费，超过2小时的部分每小时收费1元（不足1小时的部分按1小时计算）现有甲乙两人独立来停车场停车（各停车一次），且两人停车时间均不超过5小时设甲、乙两人停车时间（小时）与取车概率如表所示 （0，2 （2，3 （3，4 （4，5 甲 x x x 乙 y 0（1）求甲、乙两人所付车费相同的概率；（2）设甲、乙两人所付停车费之和为随机变量，求的分布列和数学期望E【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列【分析】（1）首先求出x、y，个人停车所付费用相同即停车时间相同：都不超过两小时、都在两小
35、时以上且不超过三小时和都超过三小时且不超过四小时三类求解即可（2）随机变量的所有取值为0，1、2，3，4，5，由独立事件的概率分别求概率，列出分布列，再由期望的公式求期望即可【解答】解：（1）由题意得记甲乙两人所付车费相同的事件为A，P（A）=，甲、乙两人所付车费相同的概率为（2）设甲、乙两人所付停车费之和为随机变量，的所有取值为0，1、2，3，4，5P（=0）=，P（=1）=，P（=2）=，P（=3）= P（=4）=，P（=5）=所以的分布列为： 0 1 2 3 4 5 P的数学期望E=0+1+2+3【点评】本题考查独立事件、互斥事件的概率、离散型随机变量的分布列和数学期望，考查利用所学知识
36、解决问题的能力，属于中档题24（2016秋无锡期末）如图，四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，四边形ABCD为直角梯形，ADBC，BAD=CBA=90，PA=AB=BC=1，AD=2，E，F，G分别为BC，PD，PC的中点（1）求EF与DG所成角的余弦值；（2）若M为EF上一点，N为DG上一点，是否存在MN，使得MN平面PBC？若存在，求出点M，N的坐标；若不存在，请说明理由【考点】直线与平面垂直的判定；异面直线及其所成的角【分析】（1）以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出EF与DG所成角的余弦值（2）求出平面PBC的法向量，若存在MN，使
37、得MN平面PBC，则，由此利用向量法能求出结果【解答】解：（1）以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），P（0，0，1），E、F、G分别为BC、PD、PC的中点，F（0，1，），G（），=（1，），=（），设EF与DG所成角为，则cos=EF与DG所成角的余弦值为（2）设平面PBC的法向量为=（x，y，z），=（0，1，0），=（1，0，1），取x=1，得=（1，0，1），M为EF上一点，N为DG上一点，若存在MN，使得MN平面PBC，则，设M（），N（x2，y2，z2），则，点M，N分别是线段EF与DG上的点，=（），=（x2，y22，z2），且，把代入，得，解得，M（），N（）【点评】本题考查异面直线所成角的求法，考查满足条件的点的坐标的求法，是中档题，解题时要 认真审题，注意向量法的合理运用