1、第二章 函数概念与基本初等函数 I2.2 函数的单调性与最值内容索引 基础知识 自主学习 题型分类 深度剖析 答题模板系列 思想方法 感悟提高 练出高分 基础知识 自主学习 1.函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数 f(x)的定义域为 I，如果对于定义域 I内某个区间 D 上的任意两个自变量的值 x1，x2当 x1x2 时，都有_，那么就说函数 f(x)在区间 D 上是增函数当 x1f(x2)f(x1)0，则函数f(x)在D上是增函数.()(3)函数yf(x)在1，)上是增函数，则函数的单调递增区间是1，).()答案 思考辨析(4)函数y的单调递减区间是(，0)(0，
2、).()(5)所有的单调函数都有最值.()(6)对于函数yf(x)，若f(1)f(3)，则f(x)为增函数.()1x答案 1.(2014北京)下列函数中，在区间(0，)上为增函数的是()A.y x1B.y(x1)2C.y2xD.ylog0.5(x1)解析答案 12345考点自测 2 2.若函数f(x)|2xa|的单调递增区间是3，)，则a的值为()A.2B.2C.6D.6解析 由图象易知函数f(x)|2xa|的单调增区间是，)，令3，a6.a2a2C解析答案 123453.若函数 yax 与 ybx在(0，)上都是减函数，则 yax2bx在(0，)上是()A.增函数B.减函数C.先增后减D.先
3、减后增解析 由yax在(0，)上是减函数，知a0；由y在(0，)上是减函数，知b0.yax2bx的对称轴x0，又yax2bx的开口向下，yax2bx在(0，)上是减函数.故选B.bxb2aB解析答案 123454.(教材改编)已知函数 f(x)2x1，x2,6，则 f(x)的最大值为_，最小值为_.解析 可判断函数 f(x)2x1在2,6上为减函数，所以 f(x)maxf(2)2，f(x)minf(6)25.225解析答案 123455.(教材改编)已知函数f(x)x22ax3在区间1,2上具有单调性，则实数a的取值范围为_.解析 函数f(x)x22ax3的图象开口向上，对称轴为直线xa，画出
4、草图如图所示.由图象可知函数在(，a和a，)上都具有单调性，因此要使函数f(x)在区间1,2上具有单调性，只需a1或a2，从而a(，12，).(，12，)解析答案 12345返回 题型分类 深度剖析 题型一 确定函数的单调性(区间)命题点1 给出具体解析式的函数的单调性例 1(1)下列函数中，在区间(0，)上为增函数的是()A.yln(x2)B.y x1C.y(12)xD.yx1x解析 yln(x2)的增区间为(2，)，在区间(0，)上为增函数.A解析答案(2)函数 f(x)的单调递增区间是()A.(0，)B.(，0)C.(2，)D.(，2)解析 因为 在定义域上是减函数，D212log(4)
5、x 所以求原函数的单调递增区间，即求函数tx24的单调递减区间，结合函数的定义域，可知所求区间为(，2).12logyt解析答案(3)yx22|x|3的单调增区间为_.解析 由题意知，当x0时，yx22x3(x1)24；当x0)，则 f(x)在(1,1)上的单调性如何？解析答案 引申探究 思维升华 已知 a0，函数 f(x)xax(x0)，证明：函数 f(x)在(0，a 上是减函数，在 a，)上是增函数.解析答案 跟踪训练1 题型二 函数的最值 例 3 已知函数 f(x)x22xax，x1，)，a(，1.(1)当 a12时，求函数 f(x)的最小值；解 当 a12时，f(x)x 12x2 在1
6、，)上为增函数，f(x)minf(1)72.解析答案(2)若对任意x1，)，f(x)0恒成立，试求实数a的取值范围.解f(x)xax2，x1，).当 a0 时，f(x)在1，)内为增函数.最小值为f(1)a3.要使f(x)0在x1，)上恒成立，只需a30，即a3，所以3a0.当00，a3，所以0a1.综上所述，f(x)在1，)上恒大于零时，a的取值范围是(3,1.解析答案 思维升华(1)函数 f(x)1x，x1，x22，x1的最大值为_.解析 当 x1 时，函数 f(x)1x为减函数，当x0，x0)，若 f(x)在12，2 上的值域为12，2，则 a_.解析由反比例函数的性质知函数 f(x)1
7、a1x(a0，x0)在12，2 上单调递增，所以f12 12，f22，即1a212，1a122，解得 a25.25解析答案 题型三 函数单调性的应用 命题点1 比较大小例 4 已知函数 f(x)log2x 11x，若 x1(1,2)，x2(2，)，则()A.f(x1)0，f(x2)0 B.f(x1)0C.f(x1)0，f(x2)0，f(x2)0解析 函数 f(x)log2x 11x在(1，)上为增函数，且 f(2)0，当x1(1,2)时，f(x1)f(2)0，即f(x1)0.B解析答案 命题点2 解不等式例 5 已知函数 f(x)为 R 上的减函数，则满足 f1x f(1)的实数 x的取值范围
8、是()解析 由 f(x)为 R 上的减函数且 f1x 1，x0，即|x|1，x0.1x0或0 x14B.a14C.14a0 D.14a0解析答案(2)已 知 f(x)(2a)(x1)，x0 成立，那么 a 的取值范围是_.解析 由已知条件得 f(x)为增函数，2a0，a1，(2a)11a，解得32a0，x80，x(x8)9，解得 80，故00时，恒有f(x)1.(1)求证：f(x)在R上是增函数；思维点拨对于抽象函数的单调性的证明，只能用定义.应该构造出f(x2)f(x1)并与0比较大小.思维点拨 解析答案(2)若f(3)4，解不等式f(a2a5)2.思维点拨将函数不等式中的抽象函数符号“f”
9、运用单调性“去掉”是本题的切入点.要构造出f(M)0且a10，a1.C 1234567891011121314解析答案 3.已知函数 yf(x)的图象关于 x1 对称，且在(1，)上单调递增，设 af12，bf(2)，cf(3)，则 a，b，c 的大小关系为()A.cbaB.bacC.bca D.abc解析 函数图象关于x1对称，af12 f52，又 yf(x)在(1，)上单调递增，f(2)f52 f(3)，即 ba0，4(a3)4a3，得 01，若f(x)在(0，)上单调递增，则实数 a 的取值范围为_.解析 由题意，得 1212a20，则a2，又axa是增函数，故a1，所以a的取值范围为1
10、a2.(1,2234567891011121314解析答案 18.函数 f(x)13xlog2(x2)在区间1,1上的最大值为_.解析 由于 y13x在 R 上递减，ylog2(x2)在1，1上递增，所以f(x)在1,1上单调递减，故f(x)在1,1上的最大值为f(1)3.3234567891011121314解析答案 19.已知 f(x)xxa(xa).(1)若 a2，试证明 f(x)在(，2)内单调递增；证明 任设x1x20，x1x20，f(x1)0且f(x)在(1，)上单调递减，求a的取值范围.解 任设1x10，x2x10，要使f(x1)f(x2)0，只需(x1a)(x2a)0在(1，)
11、上恒成立，a1.综上所述，a的取值范围是(0,1.234567891011121314解析答案 110.设函数yf(x)是定义在(0，)上的函数，并且满足下面三个条件：对任意正数x，y，都有f(xy)f(x)f(y)；当x1时，f(x)0；f(3)1.(1)求 f(1)，f(19)的值；解 令xy1易得f(1)0.而f(9)f(3)f(3)112，且 f(9)f19 f(1)0，故 f19 2.234567891011121314解析答案 1(2)如果不等式f(x)f(2x)2成立，求x的取值范围.解 设 0 x11，fx2x1 0，由f(xy)f(x)f(y)得f(x2)fx1x2x1 f(
12、x1)fx2x1 f(x1)，所以f(x)是减函数.由条件及(1)的结果得：fx(2x)f19，其中 0 x19，0 x2，由此解得 x 的取值范围是12 23，12 23.234567891011121314解析答案 111.函数f(x)|x2|x的单调减区间是()A.1,2B.1,0 C.0,2D.2，)解析 由于 f(x)|x2|xx22x，x2，x22x，x2.结合图象可知函数的单调减区间是1,2.A234567891011121314解析答案 112.定义新运算：当ab时，aba；当ab时，abb2，则函数f(x)(1x)x(2x)，x2,2的最大值等于()A.1 B.1 C.6 D
13、.12解析 由已知，得当2x1时，f(x)x2，当10，得x22xax0，当a1时，x22xa0恒成立，定义域为(0，)，当a1时，定义域为x|x0且x1，当 0a1 时，定义域为x|0 x11a.234567891011121314解析答案 1(2)当a(1,4)时，求函数f(x)在2，)上的最小值；解 设 g(x)xax2，当 a(1,4)，x2，)时，g(x)1ax2x2ax2 0 恒成立，所以 g(x)xax2 在2，)上是增函数.所以 f(x)lgxax2 在2，)上是增函数.所以 f(x)lgxax2 在2，)上的最小值为 f(2)lga2.234567891011121314解析答案 1(3)若对任意x2，)恒有f(x)0，试确定a的取值范围.解对任意x2，)恒有f(x)0，即 xax21 对 x2，)恒成立.所以a3xx2，令h(x)3xx2，而 h(x)3xx2x32294在 x2，)上是减函数，所以h(x)maxh(2)2，所以a2.234567891011121314解析答案 返回 1
