1、云南省民族大学附属中学 2020 届高考数学第二次仿真模拟试题 理 一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）1.已知集合，则的真子集的个数为 A.3 B.4 C.7 D.8【答案】C【解析】解：集合0，1，2，3，3，的真子集的个数为：个 故选：C 先分别求出集合 A 和 B，由此能求出的真子集的个数 本题考查交集中真子集个数的求法，考查交集、真子集的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题 2.在复平面内，复数对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】解：，复数对应的点的坐标为，位于第一象限 故选：A 利用复数代数形式的乘除运算化简，
2、求出复数所对应点的坐标得答案 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题 3.每年的台风都对泉州地区的渔业造成较大的经济损失某保险公司为此开发了针对渔船的险种，并将投保的渔船分为，两类，两类渔船的比例如图所示经统计，2019 年，两类渔船的台风遭损率分别为和年初，在修复遭损船只的基础上，对类渔船中的进一步改造保险公司预估这些经过改造的渔船 2020 年的台风遭损率将降为，而其他渔船的台风遭损率不变假设投保的渔船不变，则下列叙述中正确的是 A.2019 年投保的渔船的台风遭损率为 B.2019 年所有因台风遭损的投保的渔船中，I 类渔船所占的比例不超过 C.预估
3、2020 年 I 类渔船的台风遭损率会小于 II 类渔船的台风遭损率的两倍 D.预估 2020 年经过进一步改造的渔船因台风遭损的数量少于 II 类渔船因台风遭损的数量【答案】D【解析】解：设全体投保的渔船为 t 艘，对于 A，2019 年投保的渔船的台风台风遭损率为，故 A 错误；对于 B，2019 年所有因台风遭损的投保的渔船中，I 类渔船所占的比例为：，故 B 错误；对于 C，预估 2020 年 I 类渔船的台风遭损率为：，故 C 错误；对于 D，预估 2020 年经过进一步改造的渔船因台风遭损的数量：少于 II 类渔船因台风遭损的数量：，故 D 正确 故选：D 仔细观察频率分布直方图，
4、结合频率分布直方图的性质能求出结果 本题考查命题真假的判断，考查频率分布直方图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题 4.音乐与数学有着密切的联系，我国春秋时期有个著名的“三分损益法”：以“宫”为基本音，“宫”经过一次“损”，频率变为原来的，得到“徵”；“徵”经过一次“益”，频率变为原来的，得到“商”；依次损益交替变化，获得了“宫、徵、商、羽、角”五个音阶据此可推得 A.“宫、商、角”的频率成等比数列 B.“宫、徵、商”的频率成等比数列 C.“商、羽、角”的频率成等比数列 D.“徵、商、羽”的频率成等比数列【答案】A【解析】解：设“宫”的频率为 a，由题意经过一次“损”，可得“徵”的频率为，“
5、徵”经过一次“益”，可得“商”的频率为，“商”经过一次“损”，可得“羽”频率为，最后“羽”经过一次“益”，可得“角”的频率是，由于 a，成等比数列，所以“宫、商、角”的频率成等比数列，故选：A 根据文化知识，分别求出相对应的概率，即可判断 本题考查了等比数列的应用，考查了分析问题解决问题的能力，属于基础题 5.若 m，n 是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是 A.若，则 B.若，则 C.若，则 D.若，则【答案】B【解析】【分析】可以通过空间想象的方法，想象每个选项中的图形，并通过图形判断是否能得到每个选项中的结论，即可找出正确选项 考查空间想象能力，以及线面平行、线面垂
6、直、面面垂直、面面平行的概念【解答】解：错误，由，得不出内的直线都垂直于；B.正确，根据线面平行的性质定理知，内存在直线，；C.错误，若两个平面同时和一个平面垂直，可以想象这两个平面可能平行、可能相交，即不一定得到；D.错误，可以想象两个平面、都和相交，交线平行，这两个平面不一定平行 故选：B 6.若，函数的值域为，则的取值范围是 A.B.C.D.【答案】D【解析】解：函数，其中，令，且，即 当时，单调递减，的取值范围是 故选：D 由函数，其中，令，由，可得，由，且可得，可得当时，单调递减即可得出 本题考查了三角函数的单调性、不等式的性质、转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 7.已
7、知，则 a，b，c 的大小关系是 A.B.C.D.【答案】C【解析】解：，故选：C 由，可得 a，b 都小于 0，再与比较大小即可得出关系，c 大于 0 本题考查了指数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 8.函数的图象大致为 A.B.C.D.【答案】A【解析】解：因为，所以是偶函数，排除 C 和 D 当时，令，得；令，得 所以在处取得极小值，排除 B，故选：A 利用函数的奇偶性可排除 CD，利用导数研究可知当时，其在处取得极小值，可排除 B，由此得解 本题考查利用函数性质确定函数图象，属于基础题 9.已知向量，若，则 A.B.C.D.【答案】B【解析】解：，故选：B 直接
8、利用向量的数量积化简求解即可 本题考查向量的数量积的应用，向量的垂直条件的应用，是基础题 10.已知三棱锥中，侧面底面 BCD，是边长为 3 的正三角形，是直角三角形，且，则此三棱锥外接球的体积等于 A.B.C.D.【答案】B【解析】解：三棱锥中，侧面底面 BCD，把该三棱锥放入长方体中，如图所示；且；设三棱锥外接球的球心为 O，则，所以三棱锥外接球的半径为，所以三棱锥外接球的体积为 故选：B 把三棱锥放入长方体中，根据长方体的结构特征求出三棱锥外接球的半径，再计算三棱锥外接球的体积 本题考查了三棱锥外接球的体积计算问题，也考查了数形结合与转化思想，是中档题 11.已知双曲线与函数的图象交于点
9、 P，若函数的图象与点 P 处的切线过双曲线左焦点，则双曲线的离心率是 A.B.C.D.【答案】D【解析】解：设 P 的坐标为，左焦点，函数的导数，则在 P 处的切线斜率，即，得，则，设右焦点为，则，即，双曲线的离心率，故选：D 设 P 的坐标为，求函数导数，利用导数的几何意义以及切线斜率公式建立方程关系求出，根据双曲线的定义求出 a，c 即可 本题考查双曲线的离心率的求法，根据导数的几何意义，建立切线斜率关系，求出 a，c 是解决本题的关键考查运算能力 12.已知不等式对恒成立，则实数 a 的最小值为 A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】本题考查不等式恒成立求参数问题，利用导数讨论函数
10、的单调性，构造函数的构造思想，对数的等价变形等，属于难题 将原不等式化为 对恒成立；设函数，即 对恒成立；讨论函数的单调性；【解答】解：不等式对恒成立；即 对恒成立；即 对恒成立；设函数，则；所以在上单调递减，在上单调递增；即 对恒成立；时，；根据选项，只需讨论的情况；当时，在上单调递减，则；则，两边取 e 为底的对数，得：；即 设函数，则；所以在上单调递增，在上单调递减；则，即；故选：C 二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）13.设 x，y 满足约束条件，则目标函数的最小值为_【答案】【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由得，平移直线，由图象可知当直线经过点时，直线的截
11、距最小，此时 z 最小，此时，故答案为：作出不等式组对应的平面区域，利用 z 的几何意义，即可得到结论 本题主要考查线性规划的基本应用，利用数形结合，结合目标函数的几何意义是解决此类问题的基本方法 14.若顶点在原点的抛物线经过四个点，中的 2 个点，则该抛物线的标准方程可以是_【答案】或【解析】解：由题意可得，抛物线方程为或 若抛物线方程为，代入，得，则抛物线方程为，此时在抛物线上，符合题意；若抛物线方程为，代入，得，则抛物线方程为，此时在抛物线上，符合题意 抛物线的标准方程可以是或 故答案为：或 由题意可设抛物线方程为或，然后分类求解得答案 本题考查抛物线的标准方程，考查分类讨论的数学思想
12、方法，是基础题 15.中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若点 D 在边 BC上，且，则 AD 的最大值是_【答案】【解析】解：中，由正弦定理得，因为，所以；又因为，所以；设外接圆的圆心为 O，半径为 R，则由正弦定理得，；取 BC 的中点 M，如图所示；在中，；在中，；由，当且仅当圆心 O 在 AD 上时取“”；所以 AD 的最大值是 故答案为：中利用正弦定理转化求得 A 的值，再求出外接圆的半径；取 BC 的中点 M，利用直角三角形的边角关系与两边之和大于第三边，即可求出 AD 的最大值 本题考查了三角形的边角关系应用问题，也考查了数形结合与转化思想，是难题 16.已知下列命题
13、：函数在上单调递减，在上单调递增；若函数在 R 上有两个零点，则 a 的取值范围是；当时，函数的最大值为 0；函数在上单调递减；上述命题正确的是_ 填序号 【答案】【解析】解：根据复合函数同增异减的性质，可知函数在上单调递减，在上单调递增，故正确；令，则函数的图象与直线有两个交点，根据函数的图象可知，故正确；当时，所以 当且仅当，即时取等号，所以函数的最大值为，故不正确，当时，此时单调递减，故正确；故答案为：在上单调递减，在上单调递增；函数在R 上有两个零点，即方程在 R 上有两个不同的方程根，分别画出和的图象，可得 a 的取值范围是；由基本不等式可得当时，函数的最大值为；化简函数可得，函数在
14、上单调递减 本题考查命题的真假判断，以及函数的基本性质，指数函数的图象变换，基本不等式的应用和正余弦函数的性质，属于基础题 三、解答题（本大题共 7 小题，共 82.0 分）17.如图，矩形 ABCD 和菱形 ABEF 所在的平面相互垂直，G 为 BE 的中点 求证：平面 ADF；若，求二面角的余弦值【答案】证明：矩形 ABCD 和菱形 ABEF 所在的平面相互垂直，平面平面，平面 ABCD，平面 ABEF，平面 ABEF，菱形 ABEF 中，则为等边三角形，G 为 BE 的中点，又，得，平面平面 ADF，平面 ADF；解：由 可知 AD，AF，AG 两两垂直，如图所示以 A 为坐标原点，AG
15、 为 x 轴，AF 为 y 轴，AD 为 z 轴，建立空间直角坐标系，设，则，故 A0，0，则，设平面 ACD 的法向量，由，取，得，设平面 ACG 的法向量，由，取，得，设二面角的平面角为，由图可知 为钝角，则，二面角的余弦值为【解析】本题考查直线与平面垂直的判定，利用空间向量求解二面角，属于中档题 由已知矩形 ABCD 和菱形 ABEF 所在的平面相互垂直，由面面垂直的性质可得平面 ABEF，进一步得到，再由已知证得，则平面 ADF；由 可知 AD，AF，AG 两两垂直，以 A 为原点，AG 为 x 轴，AF 为 y 轴，AD 为 z 轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面 ACD 与平面
16、ACG 的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角的余弦值 18.设是公差不为 0 的等差数列，其前 n 项和为已知，成等比数列，求的通项公式；设，数列的前 n 项和为，求【答案】解：设等差数列的公差为，由题意，解得；，【解析】设等差数列的公差为，由已知列式求得首项与公差，则等差数列的通项公式可求；求出数列的通项公式，可得，再由数列的分组求和与等比数列的前 n 项和求解 本题考查数列递推式，考查等差数列通项公式与前 n 项和的求法，训练了数列的分组求和与等比数列的前 n 项和，是中档题 19.已知函数 讨论函数极值点的个数；当时，不等式在上恒成立，求实数 k 的取值范围【答案】解：，当时
17、，所以在 R 上单调递增，无极值 当时，令，得，当时，；当时，即函数在上单调递减，在 上单调递增，此时只有一个极值点 综上所述，当时，在 R 上无极值点；当时，函数在 R 上只有一个极值点 当时，由题即在上恒成立 令且，则，则且，当时，即时，由于，而，所以，故在上单调递增，所以，即，故在上单调递增，所以，即在上恒成立，故符合题意 当时，即时，由于在上单调递增，令因为，故在上存在唯一的零点，使，因此，当时，单调递减，所以，即，在上单调递减，故，与题不符 综上所述，k 的取值范围是【解析】求出导函数，通过当时，当时，判断导函数的符号，判断函数的单调性，求解函数的极值即可 当时，由题即在上恒成立，令
18、且，通过函数的导数，结合当时，当时，判断函数的单调性求解函数的最值，推出结果求解 k 的取值范围 本题考查函数的导数的应用，考查转化思想以及计算能力，分类讨论思想的应用，是难题 20.在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起，到机体出现反应或开始呈现该疾病对应的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期一研究团队统计了某地区 1000 名患者的相关信息，得到如下表格：潜伏期 单位：天 人数 85 205 310 250 130 15 5 求这 1000 名患者的潜伏期的样本平均数同一组中的数据用该组区间的中点值作代表；该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以
19、潜伏期是否超过6 天为标准进行分层抽样，从上述 1000 名患者中抽取 200 人，得到如下列联表请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有的把握认为潜伏期与患者年龄有关；潜伏期天 潜伏期天 总计 50 岁以上 含 50 岁 100 50 岁以下 55 总计 200 以这 1000 名患者的潜伏期超过 6 天的频率，代替该地区 1 名患者潜伏期超过 6 天发生的概率，每名患者的潜伏期是否超过 6 天相互独立为了深入研究，该研究团队随机调查了 20 名患者，其中潜伏期超过 6 天的人数最有可能 即概率最大 是多少？附：，其中【答案】解：根据统计数据，计算平均数为 天；根据题意，补充完整列联表如下
20、；潜伏期天 潜伏期天 总计 50 岁以上 含 50 岁 65 35 100 50 岁以下 55 45 100 总计 120 80 200 根据列联表计算，所以没有的把握认为潜伏期与年龄有关；根据题意得，该地区每 1 名患者潜伏期超过 6 天发生的概率为，设调查的 20 名患者中潜伏期超过 6 天的人数为 X，则，1，2，20；由，得，化简得，解得；又，所以，即这 20 名患者中潜伏期超过 6 天的人数最有可能是 8 人【解析】根据统计数据计算平均数即可；根据题意补充完整列联表，计算，对照临界值得出结论；根据题意知随机变量，计算概率，列不等式组并结合题意求出 k 的值 本题考查了频数分布表与平均
21、数、二项分布的随机变量概率值最大取值问题，也考查了分析问题、解决问题和处理数据与建模能力，是中档题 21.已知圆 C：与定点，动圆 I 过 M 点且与圆 C 相切，记动圆圆心 I 的轨迹为曲线 E 求曲线 E 的方程；斜率为 k 的直线 l 过点 M，且与曲线 E 交于 A，B 两点，P 为直线上的一点，若为等边三角形，求直线 l 的方程【答案】解：设圆 I 的半径为 r，题意可知，点 I 满足：，所以，由椭圆定义知点 I 的轨迹是以 C，M 为焦点的椭圆，所以，故轨迹 E 方程为：；直线 l 的方程为，联 消去 y 得 直线恒过定点，在椭圆内部，所以恒成立，设，则有，所以，设 AB 的中点为
22、，则，直线 PQ 的斜率为由题意知，又 P 为直线上的一点，所以，当为等边三角形时，即，解得，即直线 l 的方程为，或【解析】设圆 I 的半径为 r，由题意可得为定值，由椭圆的定义可得 E的轨迹为椭圆，且可知 a，c 的值，再由 a，b，c 之间的关系求出椭圆的方程；设直线 l 的方程，与椭圆联立求出两根之和及两根之积，求出 AB 的中点 D 的坐标，进而求出弦长，可得直线 PQ 的斜率，再由 P 在直线上，可得的长，由为等边三角形时，进而求出 k 的值 本题考查求轨迹方程和直线与椭圆的综合，及等边三角形的性质，属于中档题 22.在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为为参数，以坐
23、标原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 求直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程；若直线 l 与曲线 C 相交于 A，B 两点，求【答案】解：直线 l 的参数方程为为参数，直线 l 的普通方程为，曲线 C 的极坐标方程为，曲线 C 的直角坐标方程为 联立，得，设，则，直线 l 恰好过抛物线的焦点，【解析】由直线 l 的参数方程能求出直线 l 的普通方程，由曲线 C 的极坐标方程，能求出曲线 C的直角坐标方程 联立，得，由此利用韦达定理、弦长公式能求出 本题考查直线的普通方程、曲线的直角坐标方程、弦长的求法，考查参数方程、极坐标方程、直角坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 23.已知函数 求不等式；若不等式的解集包含，求实数 a 的取值范围【答案】解：当时，即，解得；当时，即，解得；当时，即，解得 综上，不等式的解集为 对，恒成立，即在恒成立，即，在恒成立，【解析】由绝对值的意义，讨论 x 的范围，去绝对值，解不等式，求并集可得所求解集；由题意可得在恒成立，即，由绝对值不等式的解法和参数分离，结合恒成立问题解法可得 a 的范围 本题考查绝对值不等式的解法，以及不等式恒成立问题解法，考查参数分离和化简运算能力，属于中档题