1、洛阳市20202021学年第二学期期中考试高二数学试卷（理）本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分第卷1至2页，第卷3至4页共150分考试时间120分钟第卷（选择题，共60分）注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上2考试结束，将答题卡交回一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1复数的虚部是（ ）A1BC2D2设函数满足，则（ ）AB1CD23现有如下的演绎推理过程：正弦函数是奇函数，是正弦函数，因此是奇函数在这一过程中（ ）A结论正确B大前提不正确C小前提不正确D推理形式不正确4用反证法证明命题“如果，
2、可被5整除，那么，中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为（ ）A，都能被5整除B，都不能被5整除C，不都能被5整除D，中至多有一个能被5整除5已知函数，则（ ）AB1CD6观察，由归纳推理可知，若定义在上的函数满足，记为的导函数则等于（ ）ABCD7若函数是增函数则实数的取值范围为（ ）ABCD8曲线上的点到直线的最短距离是（ ）ABCD9设函数有两个极值点，则实数的取值范围是（ ）ABCD10在确定（“”代表无限次重复）的值时，可采用如下方法：令，则，于是可得；类比上述方法，不难得到（“”代表无限次重复）的值为（ ）ABCD11若函数对任意的都有成立，则（ ）ABCD与大小关系不定12已
3、知函数，对任意，存在，使得，则的最小值为（ ）A1BCD2第卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13曲线，与轴围成的封闭图形的面积为_14已知复数与都是纯虚数，则_15已知函数与的图象在公共点处有共同的切线，则实数的值为_16设实数，若对任意的，关于的不等式恒成立，则的最大值为_三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17（本小题满分10分）已知复数，并且，求的取值范围18（本小题满分12分）已知函数（1）求的极值；（2）比较与的大小，并说明理由19（本小题满分12分）（1）设，求证三个数，中至少有一个不小于2；（
4、2）知，用分析法证明：20（本小题满分12分）如图，圆形纸片的圆心为，半径为5，该纸片上的正方形的中心为，为圆上的点，分别是以，为底边的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以，为折痕折起，使得，重合，得到四棱锥，设（1）试把四棱锥的体积表示为的函数；（2）多大时，四棱锥的体积最大？21（本小题满分12分）已知数列的前项和为，且满足（1）计算，根据计算结果，猜想的表达式；（2）用数学归纳法证明你对的猜想22（本小题满分12分）已知函数，（）（1）讨论函数的单调性；（2）若“，”为真命题，求实数的取值范围洛阳市20202021学年第二学期期中考试高二数学试卷参考答案（理）一、选择题1-5 AACBA6-
5、10 CDBDD11-12 BD二、填空题132141516三、解答题17解：，消去得，18解：（1）的定义域为，由得，由得，故在上单调递增，在上单调递减当时，有极大值，无极小值（2）由（1）知在上单调递减，又，故，即，又在内单调递增，故19证明：（1）假设，都小于2，则又，同理：，与矛盾假设不成立，原命题得证（2）要证，只需证，只需证，即证，只需证，只需证，该式显然成立，所以原不等式成立20解：（1）连接，交于点，四棱锥的高，（2），令，令得，当时，在上递增，当时，在上递减，当且仅当时，有最大值，21解：（1）在中，令得，令得，即，令得，即，令得，即，于是猜想（2）下面用数学归纳法证明，当时，显然成立；假设时，那么当时，由得，即时猜想成立根据和，可知猜想对任何都成立22解：（1）的定义域为，当时，由得；由得当时，由得；由得当时，在定义域上恒成立当时，由得；由得综上可知：当时，在递增，在，递减；当时，在递减；当时，在递增，在，递减；当时，在递增，在递减（2）不妨设，则由得，即令，为上的减函数又，应有即在上恒成立，而，故，的取值范围为