1、江苏省扬州中学2019-2020学年高二数学下学期6月月考试题（含解析）一、单选题（每小题5分，计40分）1.若复数满足（i为虚数单位），则（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】根据，先求得，进而求得的值，得到结果.【详解】由，得，则，故选：B.【点睛】该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数的除法运算，复数的模，属于简单题目.2.若，则n的值为（ ）A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】C【解析】【分析】利用排列数和组合数公式求解即可.【详解】因为，所以 ，即 故选：C【点睛】本题主要考查了排列数和组合数公式的计算，属于基础题.3.在某项测量中，测量结果服
2、从正态分布，若在内取值的概率为0.8，则在内取值的概率为（ ）A. 0.9B. 0.1C. 0.5D. 0.4【答案】A【解析】【分析】根据服从正态分布，得到曲线对称轴是直线，根据所给的在内取值的概率为，根据正态曲线的对称性，即可求出在内取值的概率【详解】因为服从正态分布，所以曲线的对称轴是直线， 又在内取值的概率为， 根据正态曲线的性质，则在内取值的概率为 故选：A【点睛】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，主要考查正态曲线的对称性；一般地，是服从正态分布，正态分布一般记为，为正态分布的均值（均值就是对称轴），是正态分布是标准差；本题属于基础题4.函数的图象在点处的切线方程是（ ）
3、A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析：由函数知，所以，在点处的切线方程是，化简得考点：1、导数的运算；2、导数的几何意义5.已知两变量和的一组观测值如下表所示：如果两变量线性相关，且线性回归方程为,则（ ）234546A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据回归直线方程过样本点的中心，求出，代入线性回归方程中即可【详解】把代入中，得，故本题选D【点睛】本题考查了回归直线方程过样本点的中心6.2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是A. 36B. 24C. 72D. 144【答案】C【解析】【分析】两位女生相邻，将其捆
4、绑在一起，和另一位女生不相邻，采用插空法【详解】根据题意，把3位女生的两位捆绑在一起看做一个复合元素，和剩下的一位女生，插入到2位男生全排列后形成的3个空中的2个空中，故有种，故选【点睛】本题考查排列组合，需熟练掌握捆绑、插空法，属于基础题7.若的展开式中二项式系数最大的项只有第6项，则展开式的各项系数的绝对值之和为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由的展开式中二项式系数最大的项只有第6项，求得，结合二项展开式的通项，合理赋值，即可求解.【详解】由的展开式中二项式系数最大的项只有第6项，可得，即二项式，则展开式的通项为，令，可得即展开式的各项系数的绝对值之和为.故选：C.
5、【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用，其中解答中根据二项展开式的性质，求得的值，以及合理利用赋值法求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.8.对于任意正实数，都有，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】，求导得到，根据导函数单调递减得到函数的单调区间，得到，计算得到答案.【详解】，则，设，则，恒成立，导函数单调递减，故时，函数单调递增；当时，函数单调递减.故，故，故.故选：A.【点睛】本题考查了利用导数解决不等式恒成立问题，设消元是解题的关键.二、多选题（每小题5分，计20分，多选得0分，少选得3分）9.某工程队有卡车、挖掘机、吊车、混凝土搅拌车4辆工
6、程车，将它们全部派往3个工地进行作业，每个工地至少派一辆工程车，共有多少种方式？下列结论正确的有（ ）A. 18B. C. D. 【答案】CD【解析】【分析】根据捆绑法得到共有种派法，先选择一个工地有两辆工程车，再剩余的两辆车派给两个工地，共有种派法，得到答案.【详解】根据捆绑法得到共有，先选择一个工地有两辆工程车，再剩余的两辆车派给两个工地，共有.故选：.【点睛】本题考查了排列组合的综合应用，意在考查学生的计算能力和应用能力.10.下面是关于复数（i为虚数单位）的四个命题： ； ； 的共轭复数为；若，则的最大值为.其中正确的命题有( )A. B. C. D. 【答案】BD【解析】【分析】根据
7、复数运算法则求出，求出模长和共轭复数，根据运算法则求出，结合几何意义求解的最大值.【详解】由题，其共轭复数为，所以，若，设，则，即是圆上的点，可以看成圆上的点到原点的距离，最大值为所以正确的命题为.故选：BD【点睛】此题考查复数的运算法则和几何意义以及模长问题，关键在于熟练掌握运算法则，根据已知条件建立等量关系求解.11.若满足，对任意正实数，下面不等式恒成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】BD【解析】【分析】根据，设，得到在R上是增函数，再根据是正实数，利用单调性逐项判断.【详解】设，因为，所以，在R上是增函数，因为是正实数，所以，所以，因为， 大小不确定，故A错误,因为，所以，即
8、，故B正确.因为，所以，因为，大小不确定.故C错误.，因为，所以，故D正确.故选：BD【点睛】本题主要考查导数与函数单调性比较大小，还考查了运算求解的能力，属于中档题.12.设定义在上的函数满足，且当时，.己知存在，且为函数(为自然对数的底数)的一个零点，则实数的取值可能是（ ）A. B. C. D. 【答案】BCD【解析】【分析】先构造函数，判断函数的奇偶性，求函数的导数，研究函数的单调性，结合函数零点的性质建立不等式关系进行求解即可【详解】解：令函数，因为，为奇函数，当时，在上单调递减，在上单调递减存在，得，即，；，为函数的一个零点；当时，函数在时单调递减，由选项知，取，又，要使在时有一个
9、零点，只需使，解得，的取值范围为， 故选：【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，根据条件构造函数，研究函数的奇偶性和单调性是解决本题的关键综合性较强，运算量较大，属于中档题三、填空题（每小题5分，计20分）13.已知随机变量，且期望，则方差_.【答案】【解析】【分析】根据二项分布的均值与方差的关系求得.【详解】,所以,又因为,故答案为：.【点睛】本题主要考查了二项分布的均值与方差的计算,属于基础题.14.若，则_.【答案】80.【解析】【分析】分别令和，再将两个等式相减可求得的值.【详解】令，则；令，则.上述两式相减得.故答案为：.【点睛】本题考查系数和的计算，一般运用赋值法，令和，通过对等式
10、相加减求得，考查计算能力，属于中等题.15.已知三棱锥PABC的底面是边长为2的正三角形，PC底面ABC，PC2，E为棱PA中点，则点E到平面PBC的距离为_.【答案】【解析】【分析】取的中点，连接，利用线面垂直判定和面面垂直的性质定理，证得平面，进而得到平面，进而求得的长，即可求解.【详解】取的中点，连接，再取的中点，连接，在等边中，可得，又因为平面，平面，可得平面平面，又因为平面平面，所以平面，又由平面，所以平面平面，在中，分别为的中点，可得，且所以平面，在等边中，所以，所以，即点到平面的距离为.故答案为：.【点睛】本题主要考查了点到平面的距离的求解，以及线面位置关系的应用，其中解答中熟练
11、应用线面位置关系的判定定理与性质定理，结合点到平面的距离的概念是解答的关键，着重考查推理与运算能力.16.设奇函数定义在上，其导函数为，且，当时，,则关于的不等式的解集为 【答案】【解析】【详解】设，是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数，当时，在上单调递减，在上单调递增，或，或.关于x的不等式的解集为.考点：利用导数研究函数的单调性.四、解答题（共6小题，计70分）17.已知二项式展开式中的第4项是常数项，其中nN.（1）求n的值；（2）求展开式中的系数.（用数字作答）【答案】（1）12；（2）264【解析】【分析】（1）根据二项式的通项公式，结合已知进行求解即可；（2）根据（1）中的结论，
12、结合二项式的通项公式进行求解即可.【详解】二项式的通项公式为：.（1）因为二项式展开式中的第4项是常数项，所以且，解得；（2）由（1）可知：，因为，所以令，解得，因此展开式中的系数为：.【点睛】本题考查了二项式定理的应用，考查了已知二项式展开式中某项是常数项求参数问题，考查了二项式展开式中某项的系数，考查了数学运算能力.18.下表提供了工厂技术改造后某种型号设备的使用年限x和所支出的维修费y（万元）的几组对照数据：x（年）23456y（万元）12.5344.5（1）若知道y对x呈线性相关关系，请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程；（2）已知该工厂技术改造前该型号设备使用
13、10年的维修费用为9万元，试根据（1）求出的线性回归方程，预测该型号设备技术改造后，使用10年的维修费用能否比技术改造前降低?参考公式：，.【答案】（1）；（2）可以预测该型号设备技术改造后，使用10年的维修费用能比技术改造前降低.【解析】【分析】（1）先根据平均数的公式求出，再结合题中所给的公式求出，最后写出y关于x的线性回归方程即可；（2）根据（1）中的线性回归方程，通过计算预测该型号设备技术改造后，使用10年的维修费用，然后与该工厂技术改造前该型号设备使用10年的维修费用9万元进行比较即可.【详解】（1）因为，所以y关于x的线性回归方程为；（2）由（1）可知：y关于x的线性回归方程为，因
14、此预测该型号设备技术改造后，使用10年的维修费用为，而改造前该型号设备使用10年的维修费用为9万元，显然可以预测该型号设备技术改造后，使用10年的维修费用能比技术改造前降低.【点睛】本题考查了求线性回归方程，考查了应用线性回归方程解决生活中实际问题，考查了数学运算和推理论证能力.19.已知四棱锥中，底面是矩形，平面，是的中点，. （1）求异面直线AE与CD所成角的大小；（2）求二面角EADB大小的余弦值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据底面是矩形，平面，以D为原点，以DA，DC，DP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求得的坐标，设异面直线AE与CD所成角为，代入公式求解.
15、（2）由（1）求得平面EAD的一个法向量，再由平面ADB的一个法向量为：，代入公式求解.【详解】（1）因为底面是矩形，平面，以D为原点，以DA，DC，DP分别为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系：则，设异面直线AE与CD所成角为，则，因为，所以.（2）由（1）知：，设平面EAD的一个法向量为，则，所以，令，得，所以，又平面ADB的一个法向量为：，所以，所以二面角EADB大小的余弦值.【点睛】本题主要考查异面直线所成的角二面角的向量求法，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于中档题.20.为调研高中生的作文水平.在某市普通高中的某次联考中，参考的文科生与理科生人数之比为，且成绩分布在的范围内
16、，规定分数在50以上（含50）的作文被评为“优秀作文”，按文理科用分层抽样的方法抽取400人的成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图，如图所示.其中构成以2为公比的等比数列.（1）求的值；（2）填写下面列联表，能否在犯错误的概率不超过0.01的情况下认为“获得优秀作文”与“学生的文理科”有关？文科生理科生合计获奖6不获奖合计400（3）将上述调查所得的频率视为概率，现从全市参考学生中，任意抽取2名学生，记“获得优秀作文”的学生人数为，求的分布列及数学期望.附：，其中.0.150.100.050.02500100.00500012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.8
17、28【答案】（1），.（2）填表见解析；在犯错误概率不超过0.01的情况下，不能认为“获得优秀作文”与“学生的文理科”有关（3）详见解析【解析】【分析】（1）根据频率分步直方图和构成以2为公比的等比数列，即可得解；（2）由频率分步直方图算出相应的频数即可填写列联表，再用的计算公式运算即可；（3）获奖的概率为，随机变量，再根据二项分布即可求出其分布列与期望.【详解】解：（1）由频率分布直方图可知，因为构成以2为公比的等比数列，所以，解得，所以，.故，.（2）获奖的人数为人，因为参考的文科生与理科生人数之比为，所以400人中文科生的数量为，理科生的数量为.由表可知，获奖的文科生有6人，所以获奖的理
18、科生有人，不获奖的文科生有人.于是可以得到列联表如下：文科生理科生合计获奖61420不获奖74306380合计80320400所以在犯错误的概率不超过0.01的情况下，不能认为“获得优秀作文”与“学生的文理科”有关.（3）由（2）可知，获奖的概率为，的可能取值为0，1，2，分布列如下：012数学期望为.【点睛】本题考查频率分布直方图、统计案例和离散型随机变量的分布列与期望，考查学生的阅读理解能力和计算能力，属于中档题21.已知函数.（1）当时，求函数的单调区间；（2）当时，证明: （其中e为自然对数的底数）.【答案】（1）当时， 的递增区间为；当时，的递增区间为，递减区间为；当时，的递增区间为
19、，递减区间为；（2）见解析【解析】【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论的取值范围，求出函数的单调区间即可.（2）问题转化为，令 ，根据函数的单调性证明即可.【详解】（1）由题意，函数的定义域为, 当时，恒成立，故的递增区间为；当时，在区间，时，时，所以的递增区间为，递减区间为；当时，在区间，时，时，所以的递增区间为，递减区间为；综上所述，当时， 的递增区间为；当时，的递增区间为，递减区间为；当时，的递增区间为，递减区间为；（2）当时，由,只需证明. 令 ，.设，则. 当时，单调递减;当时，单调递增,当时，取得唯一的极小值，也是最小值. 的最小值是 成立.故成立.【点睛】本题主要考查利用导数求
20、函数的单调区间，导函数在证明不等式中的应用，考查学生的逻辑推理能力、运算求解能力，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算，属于中档题.22.已知函数，其中.（1）当时，求函数的极值；（2）当时，若不等式在时恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求出函数导数，分析函数单调性即可求出函数极值；（2）由题意原问题可转化为在时恒成立，构造函数，求导后分类讨论，利用导数确定函数单调性、最值，即可求解.详解】（1）时，（）所以，令可得，当时，当时，所以函数在上单调递增，在上单调递减，故当时，的极大值为.（2）当时，即在时恒成立，化简得：在时恒成立，令，当，时，显然不满足恒成立，所以，当时，又在上单调递减，在上单调递减，故，所以在上恒成立.当时，又在上单调递减，存在唯一，使得当时，当时，所以函数在递增，在上递减，又在处连续，在上恒成立，不符合题意，综上.【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性、极值、最值，利用导数研究不等式恒成立，分类讨论思想，考查了推理论证能力，属于难题.