1、2015-2016学年江苏省徐州市高二（上）期末数学试卷（文科）一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共计70分）1抛物线y2=12x的焦点坐标是2命题“xR，x20”的否定为3底面边长为2，高为3的正三棱锥的体积为4已知椭圆+=1的两个焦点分别为F1，F2，点P是椭圆上一点，则PF1F2的周长为5已知正方体的体积为64，则与该正方体各面均相同的球的表面积为6已知函数f（x）=xsinx，则f（）=7双曲线=1的焦点到渐近线的距离为8“m”是“方程+=1表示在y轴上的椭圆”的条件（填写“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”“既不充分也不必要”之一）9若直线4x3y=0与圆x2+y22x
2、+ay+1=0相切，则实数a的值为10若函数f（x）=exax在（1，+）上单调增，则实数a的最大值为11已知F为椭圆C： +=1（ab0）的右焦点，A、B分别为椭圆C的左、上顶点，若BF的垂直平分线恰好过点A，则椭圆C的离心率为12若直线l与曲线y=x3相切于点P，且与直线y=3x+2平行，则点P的坐标为13在平面直角坐标系xOy中，已知圆（xm1）2+（y2m）2=4上有且只有两个点到原点O的距离为3，则实数m的取值范围为14已知函数f（x）=a（x1）2lnx，g（x）=，若对任意的x0（0，e，总存在两个不同的x1，x2（0，e，使得f（x1）=f（x2）=g（x0）则实数a的取值范围
3、为二、解答题：本大题共6小题，共计90分.15已知p：4x2+12x70，q：a3xa+3（1）当a=0时，若p真q假，求实数x的取值范围；（2）若p是q的充分条件，求实数a的取值范围16如图，在四棱锥PABCD中，四边形ABCD是矩形，平面PCD平面ABCD，M为PC中点求证：（1）PA平面MDB；（2）PDBC17已知直线l与圆C：x2+y2+2x4y+a=0相交于A，B两点，弦AB的中点为M（0，1）（1）若圆C的半径为，求实数a的值；（2）若弦AB的长为4，求实数a的值；（3）求直线l的方程及实数a的取值范围18如图，ABCD是长方形硬纸片，AB=80cm，AD=50cm，在硬纸片的四
4、角切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的长方体纸箱，设切去的小正方形的白边长为x（cm）（1）若要求纸箱的侧面积S（cm2）最大，试问x应取何值？（2）若要求纸箱的容积V（cm3）最大，试问x应取何值？19在平面直角坐标系xOy中，椭圆C： +=1（ab0）的离心率为，连接椭圆C的四个顶点所形成的四边形面积为4（1）求椭圆C的标准方程；（2）如图，过椭圆C的下顶点A作两条互相垂直的直线，分别交椭圆C于点M，N，设直线AM的斜率为k，直线l：y=x分别与直线AM，AN交于点P，Q，记AMN，APQ的面积分别为S1，S2，是否存在直线l，使得=？若存在，求出所有直线l的方程；
5、若不存在，说明理由20已知函数f（x）=lnxax+1（aR）（1）当a=1时，求函数f（x）的极大值；（2）若对任意的x（0，+），都有f（x）2x成立，求a的取值范围；（3）设h（x）=f（x）+ax，对任意的x1，x2（0，+），且x1x2，证明：恒成立2015-2016学年江苏省徐州市高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共计70分）1抛物线y2=12x的焦点坐标是（3，0）【考点】抛物线的简单性质【分析】确定抛物线的焦点位置，进而可确定抛物线的焦点坐标【解答】解：抛物线y2=12x的焦点在x轴上，且p=6，=3，抛物线y2=12x
6、的焦点坐标为（3，0）故答案为：（3，0）2命题“xR，x20”的否定为xR，x20【考点】命题的否定【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“xR，x20”的否定为：xR，x20故答案为：xR，x203底面边长为2，高为3的正三棱锥的体积为【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】求出正三棱锥的底面面积，然后求解体积【解答】解：底面边长为2，高为3的正三棱锥的体积为： =故答案为：4已知椭圆+=1的两个焦点分别为F1，F2，点P是椭圆上一点，则PF1F2的周长为18【考点】椭圆的简单性质【分析】由题意知a=5，b=3，c=4，从而可
7、得|PF1|+|PF2|=2a=10，|F1F2|=2c=8【解答】解：由题意作图如右图，椭圆的标准方程为+=1，a=5，b=3，c=4，|PF1|+|PF2|=2a=10，|F1F2|=2c=8，PF1F2的周长为10+8=18；故答案为：185已知正方体的体积为64，则与该正方体各面均相同的球的表面积为16【考点】球内接多面体；球的体积和表面积【分析】由已知求出正方体的棱长为4，所以正方体的内切球的半径为2，由球的表面积公式得到所求【解答】解：因为正方体的体积为64，所以棱长为4，所以正方体的内切球的半径为2，所以该正方体的内切球的表面积为422=16故答案为：166已知函数f（x）=xs
8、inx，则f（）=【考点】导数的运算【分析】直接求出函数的导数即可【解答】解：函数f（x）=xsinx，则f（x）=sinx+xcosx，f（）=sin+cos=故答案为：7双曲线=1的焦点到渐近线的距离为2【考点】双曲线的简单性质【分析】求出双曲线的焦点坐标，渐近线方程，利用距离公式求解即可【解答】解：双曲线=1的一个焦点（，0），一条渐近线方程为：y=，双曲线=1的焦点到渐近线的距离为： =2故答案为：28“m”是“方程+=1表示在y轴上的椭圆”的必要不充分条件（填写“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”“既不充分也不必要”之一）【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】根据椭圆
9、的定义，求出m的范围，结合集合的包含关系判断充分必要性即可【解答】解：若“方程+=1表示在y轴上的椭圆”，则，解得：1m，故“m”是“方程+=1表示在y轴上的椭圆”的必要不充分条件，故答案为：必要不充分9若直线4x3y=0与圆x2+y22x+ay+1=0相切，则实数a的值为1或4【考点】圆的切线方程【分析】把圆的方程化为标准方程后，找出圆心坐标和圆的半径，然后根据直线与圆相切得到圆心到直线的距离等于圆的半径，列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值【解答】解：把圆的方程化为标准方程得：（x1）2+（y+）2=，所以圆心坐标为（1，），半径r=|，由已知直线与圆相切，得到圆心到直线的距离d=
10、r=|，解得a=1或4故答案为：1或410若函数f（x）=exax在（1，+）上单调增，则实数a的最大值为e【考点】变化的快慢与变化率【分析】根据导数和函数单调性的关系，再分离参数，求出最值即可【解答】解：f（x）=exa函数f（x）在区间（1，+）上单调递增函数f（x）=exa0在区间（1，+）上恒成立，aexmin在区间（1，+）上成立而exe，ae故答案为：e11已知F为椭圆C： +=1（ab0）的右焦点，A、B分别为椭圆C的左、上顶点，若BF的垂直平分线恰好过点A，则椭圆C的离心率为【考点】椭圆的简单性质【分析】利用线段垂直平分线的性质可得线段BF的垂直平分线的方程，进而得出【解答】解
11、：由已知可得：A（a，0），B（0，b），F（c，0），线段BF的中点M，kBF=，可得线段BF的垂直平分线的斜率为线段BF的垂直平分线的方程为：y=，BF的垂直平分线恰好过点A，0=，化为：2e2+2e1=0，解得e=故答案为：12若直线l与曲线y=x3相切于点P，且与直线y=3x+2平行，则点P的坐标为（1，1），（1，1）【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】利用直线平行斜率相等求出切线的斜率，再利用导数在切点处的值是曲线的切线斜率求出切线斜率，列出方程解得即可【解答】解：设切点P（m，m3），由y=x3的导数为y=3x2，可得切线的斜率为k=3m2，由切线与直线y=3x+2平行
12、，可得3m2=3，解得m=1，可得P（1，1），（1，1）故答案为：（1，1），（1，1）13在平面直角坐标系xOy中，已知圆（xm1）2+（y2m）2=4上有且只有两个点到原点O的距离为3，则实数m的取值范围为（，）（0，2）【考点】圆的标准方程【分析】由已知得圆C：（xm1）2+（y2m）2=4与圆O：x2+y2=9恰有两个交点，由此能求出实数m的取值范围【解答】解：圆（xm1）2+（y2m）2=4上有且只有两个点到原点O的距离为3，圆C：（xm1）2+（y2m）2=4与圆O：x2+y2=9恰有两个交点，圆C的圆心C（m+1，2m），半径r1=2，圆O的圆心O（0，0），半径r2=3，圆心
13、距离|OC|=，323+2，解得m或0m2实数m的取值范围为（，）（0，2）故答案为：（，）（0，2）14已知函数f（x）=a（x1）2lnx，g（x）=，若对任意的x0（0，e，总存在两个不同的x1，x2（0，e，使得f（x1）=f（x2）=g（x0）则实数a的取值范围为a【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；函数与方程的综合运用【分析】求导数，确定函数的单调性，即可求函数f（x）的值域；g（x）（0，e，分类讨论，研究f（x）的单调性，即可求a的取值范围【解答】解：g（x）=，令=0，解得x=1，ex0，x（0，1）时，g（x）0；x（1，e时，g（x）0，g（x）在（0，1上单调递增
14、，在（1，e单调单调递减，根据极大值的定义知：g（x）极大值是g（1）=1，又g（0）=0，g（e）=，所以g（x）的值域是（0，1函数f（x）=a（x1）2lnx，x0，f（x）=2ax2a=，令h（x）=2ax22ax1，h（x）恒过（0，1），当a=0时，f（x）0，f（x）是减函数，不满足题意h（x）=0，可得2ax22ax1=0，=4a2+8a，0解得a2或a0当2a0时，h（x）的对称轴为：x=，h（x）0恒成立，f（x）0，f（x）是减函数，不满足题意当a2时，x（0，），h（x）0恒成立，f（x）0，f（x）是减函数，x，f（x）0，f（x）是增函数，x，f（x）0，f（x）是
15、减函数，若对任意的x0（0，e，总存在两个不同的x1，x2（0，e，使得f（x1）=f（x2）=g（x0）可知f（x）极大值1，f（x）极小值0可得，f（x）=a（x1）2lnx，不等式不成立当a0时，x（0，），h（x）0恒成立，f（x）0，f（x）是减函数，x，f（x）0，f（x）是增函数，因为x=1时，f（1）=0，只需f（e）1可得：a（e1）211，解得a综上：实数a的取值范围为：a二、解答题：本大题共6小题，共计90分.15已知p：4x2+12x70，q：a3xa+3（1）当a=0时，若p真q假，求实数x的取值范围；（2）若p是q的充分条件，求实数a的取值范围【考点】必要条件、充分
16、条件与充要条件的判断；复合命题的真假【分析】（1）将a=0代入q，求出x的范围即可；（2）根据集合的包含关系得到关于a的不等式组，解出即可【解答】解：由4x2+12x70，解得：x，q：a3xa+3（1）当a=0时，q：3x3，若p真q假，则x3；（2）若p是q的充分条件，则，解得：x，（“=”不同时取到）16如图，在四棱锥PABCD中，四边形ABCD是矩形，平面PCD平面ABCD，M为PC中点求证：（1）PA平面MDB；（2）PDBC【考点】直线与平面平行的判定【分析】（1）连接AC，交BD与点O，连接OM，先证明出MOPA，进而根据线面平行的判定定理证明出PA平面MDB（2）先证明出BC平
17、面PCD，进而根据线面垂直的性质证明出BCPD【解答】证明：（1）连接AC，交BD与点O，连接OM，M为PC的中点，O为AC的中点，MOPA，MO平面MDB，PA平面MDB，PA平面MDB（2）平面PCD平面ABCD，平面PCD平面ABCD=CD，BC平面ABCD，BCCD，BC平面PCD，PD平面PCD，BCPD17已知直线l与圆C：x2+y2+2x4y+a=0相交于A，B两点，弦AB的中点为M（0，1）（1）若圆C的半径为，求实数a的值；（2）若弦AB的长为4，求实数a的值；（3）求直线l的方程及实数a的取值范围【考点】直线与圆的位置关系【分析】（1）利用配方法得到圆的标准方程，根据圆C的
18、半径为，求实数a的值；（2）求出直线l的方程，求出圆心到直线的距离，根据弦AB的长为4，求实数a的值；（3）点与圆的位置关系即可求出a的取值范围【解答】解：（1）圆的标准方程为（x+1）2+（y2）2=5a，则圆心C（1，2），半径r=，圆C的半径为，=，a=2；（2）弦的中点为M（0，1）直线CM的斜率k=1，则直线l的斜率k=1，则直线l的方程为y1=x，即xy+1=0圆心C到直线xy+1=0的距离d=，若弦AB的长为4，则2+4=5a=6，解得a=1；（3）由（2）可得直线l的方程为xy+1=0弦AB的中点为M（0，1）点M在圆内部，即，5a2，即a318如图，ABCD是长方形硬纸片，A
19、B=80cm，AD=50cm，在硬纸片的四角切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的长方体纸箱，设切去的小正方形的白边长为x（cm）（1）若要求纸箱的侧面积S（cm2）最大，试问x应取何值？（2）若要求纸箱的容积V（cm3）最大，试问x应取何值？【考点】基本不等式在最值问题中的应用【分析】（1）求出纸箱的侧面积S，利用基本不等式，求最大值；（2）求出纸箱的容积V，利用导数，求最大值【解答】解：（1）S=2x（502x+802x）=2x=，当且仅当4x=1304x，即x=cm，纸箱的侧面积S（cm2）最大；（2）V=x（502x）（802x）（0x12.5），V=（502x）
20、（802x）2x（802x）2x（502x）=4（3x100）（x10），0x10，V0，10x12.5，V0，x=10cm时，V最大19在平面直角坐标系xOy中，椭圆C： +=1（ab0）的离心率为，连接椭圆C的四个顶点所形成的四边形面积为4（1）求椭圆C的标准方程；（2）如图，过椭圆C的下顶点A作两条互相垂直的直线，分别交椭圆C于点M，N，设直线AM的斜率为k，直线l：y=x分别与直线AM，AN交于点P，Q，记AMN，APQ的面积分别为S1，S2，是否存在直线l，使得=？若存在，求出所有直线l的方程；若不存在，说明理由【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质【分析】
21、（1）由椭圆的离心率公式及菱形的面积公式求得a和b的值，可求得椭圆的方程；（2）利用椭圆方程及直线AM，AN的方程求得xM、xN、xP及xQ的值根据三角形面积公式求得k的值，求得直线方程【解答】解：（1）由题意可知：e=，且2ab=4，且a2b2=c2，解得a=2，b=，椭圆的标准方程：，（2）由（1）可知，A（0，），则直线AM的方程为y=kx，将直线方程代入椭圆方程得：消去并整理得：（3+4k2）x28kx=0，解得xM=，直线AN的方程y=，同理可得：xN=，解得xP=k，同理可得xQ=，=丨丨=，即3k410k2+3=0，解得k2=3或k2=，所以=或，故存在直线l：y=x，y=x，满
22、足题意20已知函数f（x）=lnxax+1（aR）（1）当a=1时，求函数f（x）的极大值；（2）若对任意的x（0，+），都有f（x）2x成立，求a的取值范围；（3）设h（x）=f（x）+ax，对任意的x1，x2（0，+），且x1x2，证明：恒成立【考点】利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用【分析】（1）a=1时，f（x）=lnxx+1，（x0），f（x）=1=，对x分类讨论即可得出函数f（x）的单调性极值（2）f（x）2x化为：a2=g（x），利用导数研究函数g（x）的单调性极值最值即可得出（3）h（x）=f（x）+ax=lnx+1，对任意的x1，x2（0，+），且x1x
23、2，恒成立ln令=t1，上式等价于：lnt令=m1，则上式等价于：u（m）=2lnm0利用导数研究函数u（m）的单调性即可得出【解答】（1）解：a=1时，f（x）=lnxx+1，（x0），f（x）=1=，0x1时，函数f（x）单调递增；1x时，函数f（x）单调递减因此x=1时函数f（x）取得极大值，f（1）=0（2）解：f（x）2x化为：a2=g（x），g（x）=，可知：x（0，1）时，g（x）0，函数g（x）单调递增；x（1，+）时，g（x）0，函数g（x）单调递减x=1时函数g（x）取得极大值即最大值，g（1）=12=1a1，a的取值范围是1，+）（3）证明：h（x）=f（x）+ax=lnx+1，对任意的x1，x2（0，+），且x1x2，恒成立ln令=t1，上式等价于：lnt令=m1，则上式等价于：u（m）=2lnm0u（m）=1+=0，因此函数u（m）在m（1，+）上单调递增，u（m）u（1）=0，恒成立2016年7月21日