1、2015-2016学年江苏省扬州中学高三（上）开学数学试卷（理科）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应位置）1已知集合A=x|x|2，B=x|0，则AB=2已知命题p：x（1，+），log2x0，则p为3若复数（其中i为虚数单位）的实部与虚部相等，则实数a=4记不等式x2+x60的解集为集合A，函数y=lg（xa）的定义域为集合B若“xA”是“xB”的充分条件，则实数a的取值范围为5袋子里有两个不同的红球和两个不同的白球，从中任取两个球，则这两个球颜色相同的概率为6曲线y=xcosx在点（，）处的切线方程为7已知（+）n的二项展开式中，前三项系数成等差数
2、列，则n=8若函数f（x）=是奇函数，则使f（x）3成立的x的取值范围为9已知为第二象限角，则cos2=10若函数f（x）=2|xa|（aR）满足f（1+x）=f（1x），且f（x）在m，+）上单调递增，则实数m的最小值等于11已知知函数f（x）=，xR，则不等式f（x22x）f（3x4）的解集是12已知函数f（x）=若|f（x）|ax，则a的取值范围是13已知f（x）是定义在2，2上的奇函数，当x（0，2时，f（x）=2x1，函数g（x）=x22x+m如果对于x12，2，x22，2，使得g（x2）=f（x1），则实数m的取值范围是14已知函数y=f（x）是定义域为R的偶函数，当x0时，f（x
3、）=，若关于x的方程f（x）2+af（x）+=0，aR有且仅有8个不同实数根，则实数a的取值范围是二、解答题（本大题共6小题，计90分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15已知，求值：（1）tan；（2）16已知命题p：关于实数x的方程x2+mx+1=0有两个不等的负根；命题q：关于实数x的方程4x2+4（m2）x+1=0无实根（1）命题“p或q”真，“p且q”假，求实数m的取值范围（2）若关于x的不等式（xm）（xm+5）0（mR）的解集为M；命题q为真命题时，m的取值集合为N当MN=M时，求实数m的取值范围17设f（x）=sinxcosxcos2（x+）（）求f（x）的单调区间
4、；（）在锐角ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（）=0，a=1，求ABC面积的最大值18如图为某仓库一侧墙面的示意图，其下部是矩形ABCD，上部是圆AB，该圆弧所在的圆心为O，为了调节仓库内的湿度和温度，现要在墙面上开一个矩形的通风窗EFGH（其中E，F在圆弧AB上，G，H在弦AB上）过O作OPAB，交AB 于M，交EF于N，交圆弧AB于P，已知OP=10，MP=6.5（单位：m），记通风窗EFGH的面积为S（单位：m2）（1）按下列要求建立函数关系式：（i）设POF=（rad），将S表示成的函数；（ii）设MN=x（m），将S表示成x的函数；（2）试问通风窗的高度MN为多少时
5、？通风窗EFGH的面积S最大？19已知函数f（x）=+（1）求函数f（x）的定义域和值域；（2）设F（x）=f2（x）2+f（x）（a为实数），求F（x）在a0时的最大值g（a）；（3）对（2）中g（a），若m2+2tm+g（a）对a0所有的实数a及t1，1恒成立，求实数m的取值范围20设函数f（x）=lnx，g（x）=（m0）（1）当m=1时，函数y=f（x）与y=g（x）在x=1处的切线互相垂直，求n的值；（2）若函数y=f（x）g（x）在定义域内不单调，求mn的取值范围；（3）是否存在实数a，使得f（）f（eax）+f（）0对任意正实数x恒成立？若存在，求出满足条件的实数a；若不存在，请
6、说明理由【选修4-4：坐标系与参数方程】21在平面直角坐标xOy中，已知曲线C的参数方程为（t为参数），曲线与直线l：y=x相交于A，B两点，求线段AB的长【选修4-4：坐标系与参数方程】22在极坐标系中，求圆=2cos的圆心到直线的距离23一位网民在网上光顾某淘宝小店，经过一番浏览后，对该店铺中的A，B，C，D，E五种商品有购买意向已知该网民购买A，B两种商品的概率均为，购买C，D两种商品的概率均为，购买E种商品的概率为假设该网民是否购买这五种商品相互独立（1）求该网民至少购买4种商品的概率；（2）用随机变量表示该网民购买商品的种数，求的概率分布和数学期望24设Pn=（1x）2n1，Qn=1
7、（2n1）x+（n1）（2n1）x2，xR，nN*（1）当n2时，试指出Pn与Qn的大小关系；（2）当n3时，试比较Pn与Qn的大小，并证明你的结论2015-2016学年江苏省扬州中学高三（上）开学数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应位置）1已知集合A=x|x|2，B=x|0，则AB=x|1x2【考点】交集及其运算【专题】计算题【分析】利用绝对值不等式及分式不等式的解法，我们易求出集合A，B，再根据集合交集运算法则，即可求出答案【解答】解：集合A=x|x|2=（2，2）B=x|0=（1，+）AB=（1，2）=x|1x2故
8、答案为：x|1x2【点评】本题考查的知识点是交集及其运算，其中根据绝对值不等式及分式不等式的解法，求出集合A，B，是解答本题的关键2已知命题p：x（1，+），log2x0，则p为x（1，+），log2x0【考点】命题的否定【专题】阅读型【分析】首先分析题目已知命题p：x（1，+），log2x0，求p由否命题的定义：否命题是一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定可直接得到答案【解答】解：已知命题p：x（1，+），log2x0，因为否命题是一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定则p为x（1，+），log2x0即答案为x（1，+），log2x0【点评】此题
9、主要考查否命题的概念问题，需要注意的是否命题与命题的否定形式的区别，前者是对条件结论都否定，后者只对结论做否定3若复数（其中i为虚数单位）的实部与虚部相等，则实数a=1【考点】复数代数形式的乘除运算【专题】数系的扩充和复数【分析】利用复数的运算法则、实部与虚部的定义即可得出【解答】解：复数=ai+1，Z的实部与虚部相等，a=1，解得a=1故答案为：1【点评】本题考查了复数的运算法则、实部与虚部的定义，属于基础题4记不等式x2+x60的解集为集合A，函数y=lg（xa）的定义域为集合B若“xA”是“xB”的充分条件，则实数a的取值范围为（，3【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】简易
10、逻辑【分析】根据条件求出A，B，结合充分条件和必要条件的定义进行求解即可【解答】解：由x2+x60得3x2，即A（3，2），由xa0，得xa，即B=（a，+），若“xA”是“xB”的充分条件，则AB，即a3，故答案为：（，3【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的关系的应用，比较基础5袋子里有两个不同的红球和两个不同的白球，从中任取两个球，则这两个球颜色相同的概率为【考点】古典概型及其概率计算公式【专题】排列组合【分析】从中任取两个球共有红1红2，红1白1，红1白2，红2白1，红2白2，白1白2，共6种取法，其中颜色相同只有2种，根据概率公式计算即可【解答】解：从中任取两个球共有红1红2，红1
11、白1，红1白2，红2白1，红2白2，白1白2，共6种取法，其中颜色相同只有2种，故从中任取两个球，则这两个球颜色相同的概率P=；故答案为：【点评】本题考查了古典概型概率的问题，属于基础题6曲线y=xcosx在点（，）处的切线方程为2xy=0【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【专题】计算题；导数的概念及应用；直线与圆【分析】求出函数的导数，求得切线的斜率，再由点斜式方程即可得到所求切线方程【解答】解：y=xcosx的导数为y=1+sinx，即有在点（，）处的切线斜率为k=1+sin=2，则曲线在点（，）处的切线方程为y=2（x），即为2xy=0故答案为：2xy=0【点评】本题考查导数的运用：
12、求切线方程，掌握导数的几何意义和运用点斜式方程是解题的关键7已知（+）n的二项展开式中，前三项系数成等差数列，则n=8【考点】二项式定理【专题】计算题；二项式定理【分析】展开式中前三项的系数分别为1，成等差数列可得n的值【解答】解：展开式中前三项的系数分别为1，由题意得2=1+，n=8或1（舍）故答案为：8【点评】本题考查二项式定理的运用，考查学生的计算能力，比较基础8若函数f（x）=是奇函数，则使f（x）3成立的x的取值范围为（0，1）【考点】函数奇偶性的性质【专题】函数的性质及应用【分析】根据f（x）为奇函数，便有f（x）=f（x），从而可以求出a=1，从而得到，容易判断该函数在（0，+）
13、上单调递减，并可判断x0时，f（x）1，且f（1）=3，从而可由f（x）3得到f（x）f（1），从而便得到0x1，这便求出了使f（x）3成立的x的取值范围【解答】解：f（x）为奇函数；f（x）=f（x）；即；1a2x=a2x；a=1；x0时，x增大时，2x1增大，从而f（x）减小；f（x）在（0，+）上单调递减；由f（x）3得，f（x）f（1）；解得0x1；x0时，2x10，f（x）1；不满足f（x）3；综上所述，使f（x）3的x的取值范围为（0，1）故答案为：（0，1）【点评】考查奇函数的定义，根据单调性定义判断函数单调性的方法，指数函数的单调性，以及根据减函数的定义解不等式的方法9已知为第
14、二象限角，则cos2=【考点】二倍角的正弦；同角三角函数间的基本关系【专题】计算题；压轴题；三角函数的求值【分析】由为第二象限角，可知sin0，cos0，从而可求得sincos的值，利用cos2=（sincos）（sin+cos）可求得cos2【解答】解：，两边平方得：1+sin2=，sin2=，（sincos）2=1sin2=，为第二象限角，sin0，cos0，sincos=，cos2=（sincos）（sin+cos）=（）=故答案为：【点评】本题考查同角三角函数间的基本关系，突出二倍角的正弦与余弦的应用，求得sincos的值是关键，属于中档题10若函数f（x）=2|xa|（aR）满足f（
15、1+x）=f（1x），且f（x）在m，+）上单调递增，则实数m的最小值等于1【考点】指数函数单调性的应用【专题】开放型；函数的性质及应用【分析】根据式子f（1+x）=f（1x），对称f（x）关于x=1对称，利用指数函数的性质得出：函数f（x）=2|xa|（aR），x=a为对称轴，在1，+）上单调递增，即可判断m的最小值【解答】解：f（1+x）=f（1x），f（x）关于x=1对称，函数f（x）=2|xa|（aR）x=a为对称轴，a=1，f（x）在1，+）上单调递增，f（x）在m，+）上单调递增，m的最小值为1故答案为：1【点评】本题考查了指数型函数的单调性，对称性，根据函数式子对称函数的性质是本
16、题解决的关键，难度不大，属于中档题11已知知函数f（x）=，xR，则不等式f（x22x）f（3x4）的解集是（1，2）【考点】其他不等式的解法【专题】函数的性质及应用；不等式的解法及应用【分析】讨论x的符号，去绝对值，作出函数的图象，由图象可得原不等式即为或，分别解出它们，再求并集即可【解答】解：当x0时，f（x）=1，当x0时，f（x）=1，作出f（x）的图象，可得f（x）在（，0）上递增，不等式f（x22x）f（3x4）即为或，即有或，解得x2或1x，即有1x2则解集为（1，2）故答案为：（1，2）【点评】本题考查函数的单调性的运用：解不等式，主要考查二次不等式的解法，属于中档题和易错题1
17、2已知函数f（x）=若|f（x）|ax，则a的取值范围是2，0【考点】绝对值不等式的解法；函数的图象【专题】不等式的解法及应用【分析】当x0时，根据ln（x+1）0恒成立，求得a0当x0时，可得x22xax，求得a的范围再把这两个a的取值范围取交集，可得答案【解答】解：当x0时，根据ln（x+1）0恒成立，则此时a0当x0时，根据x2+2x的取值为（，0，|f（x）|=x22xax，x=0时 左边=右边，a取任意值x0时，有ax2，即a2综上可得，a的取值为2，0，故答案为2，0【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题13已知f（x）是定义在2，2上的奇函数
18、，当x（0，2时，f（x）=2x1，函数g（x）=x22x+m如果对于x12，2，x22，2，使得g（x2）=f（x1），则实数m的取值范围是5，2【考点】指数函数综合题；特称命题【专题】函数的性质及应用【分析】求出函数f（x）的值域，根据条件，确定两个函数的最值之间的关系即可得到结论【解答】解：f（x）是定义在2，2上的奇函数，f（0）=0，当x（0，2时，f（x）=2x1（0，3，则当x2，2时，f（x）3，3，若对于x12，2，x22，2，使得g（x2）=f（x1），则等价为g（x）max3且g（x）min3，g（x）=x22x+m=（x1）2+m1，x2，2，g（x）max=g（2）=
19、8+m，g（x）min=g（1）=m1，则满足8+m3且m13，解得m5且m2，故5m2，故答案为：5，2【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用，以及函数最值之间的关系，综合性较强14已知函数y=f（x）是定义域为R的偶函数，当x0时，f（x）=，若关于x的方程f（x）2+af（x）+=0，aR有且仅有8个不同实数根，则实数a的取值范围是（，）【考点】函数的零点与方程根的关系；函数奇偶性的性质；根的存在性及根的个数判断【专题】函数的性质及应用；不等式的解法及应用【分析】求出f（x）的单调性，以及极值和值域，可得要使关于x的方程f（x）2+af（x）+=0，aR，有且仅有8个不同实数根，转化为t2
20、+at+=0的两根均在（1，），由二次方程实根的分布，列出不等式组，解得即可【解答】解：当0x2时，y=x2递减，当x2时，y=（）x递增，由于函数y=f（x）是定义域为R的偶函数，则f（x）在（，2）和（0，2）上递减，在（2，0）和（2，+）上递增，当x=0时，函数取得极大值0；当x=2时，取得极小值1当0x2时，y=x21，0当x2时，y=（）x1，）要使关于x的方程f（x）2+af（x）+=0，aR，有且仅有8个不同实数根，设t=f（x），则t2+at+=0的两根均在（1，）则有，即为，解得a即有实数a的取值范围是（，）故答案为：（，）【点评】本题考查函数的单调性和奇偶性的运用，主要考
21、查方程与函数的零点的关系，掌握二次方程实根的分别是解题的关键，属于中档题二、解答题（本大题共6小题，计90分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15已知，求值：（1）tan；（2）【考点】两角和与差的正切函数；同角三角函数间的基本关系；二倍角的余弦【专题】计算题【分析】（1）由题意，可由正切的和角公式展开得，由此方程解出tan；（2）由正弦与余弦的二倍角公式将这形为，再由同角三角关系，将其变为将正切值代入即可求出代数式的值【解答】解：（1）由题意，可得，解得tan=（2）=由（1）tan=，=【点评】本题考查了两角的和的正切公式，正弦、余弦的二倍角公式，同角三角函数的基本关系，解题的
22、关键是牢固记忆公式，能根据这些公式灵活变形，求出代数式的值，三角函数由于公式多，可选择的方法多，故解题时要注意选取最合适的方法解题16已知命题p：关于实数x的方程x2+mx+1=0有两个不等的负根；命题q：关于实数x的方程4x2+4（m2）x+1=0无实根（1）命题“p或q”真，“p且q”假，求实数m的取值范围（2）若关于x的不等式（xm）（xm+5）0（mR）的解集为M；命题q为真命题时，m的取值集合为N当MN=M时，求实数m的取值范围【考点】复合命题的真假【专题】简易逻辑【分析】（1）分别求出命题p，q为真时的m的范围，通过讨论p，q的真假得到关于m的不等式组，解出即可；（2）先求出关于M
23、、N的x的范围，根据NM，得到不等式组，解出即可【解答】解：（1）若方程x2+mx+1=0有两不等的负根，则，解得：m2，即命题p：m2，若方程4x2+4（m2）x+1=0无实根，则=16（m2）216=16（m24m+3）0解得：1m3即命题q：1m3由题意知，命题p、q应一真一假，即命题p为真，命题q为假或命题p为假，命题q为真或，解得：m3或1m2（2）MN=M，NM，M=（m5，m），N=（1，3），解得：3m6【点评】本题考查了复合命题的判断，考查二次函数的性质，集合的关系，是一道中档题17设f（x）=sinxcosxcos2（x+）（）求f（x）的单调区间；（）在锐角ABC中，角A
24、，B，C的对边分别为a，b，c，若f（）=0，a=1，求ABC面积的最大值【考点】正弦函数的单调性；两角和与差的正弦函数；余弦定理【专题】三角函数的图像与性质；解三角形【分析】（）由三角函数恒等变换化简解析式可得f（x）=sin2x，由2k2x2k，kZ可解得f（x）的单调递增区间，由2k2x2k，kZ可解得单调递减区间（）由f（）=sinA=0，可得sinA，cosA，由余弦定理可得：bc，且当b=c时等号成立，从而可求bcsinA，从而得解【解答】解：（）由题意可知，f（x）=sin2x=sin2x=sin2x由2k2x2k，kZ可解得：kxk，kZ；由2k2x2k，kZ可解得：kxk，k
25、Z；所以f（x）的单调递增区间是k，k，（kZ）；单调递减区间是：k，k，（kZ）；（）由f（）=sinA=0，可得sinA=，由题意知A为锐角，所以cosA=，由余弦定理a2=b2+c22bccosA，可得：1+bc=b2+c22bc，即bc，且当b=c时等号成立因此S=bcsinA，所以ABC面积的最大值为【点评】本题主要考查了正弦函数的图象和性质，余弦定理，基本不等式的应用，属于基本知识的考查18如图为某仓库一侧墙面的示意图，其下部是矩形ABCD，上部是圆AB，该圆弧所在的圆心为O，为了调节仓库内的湿度和温度，现要在墙面上开一个矩形的通风窗EFGH（其中E，F在圆弧AB上，G，H在弦AB
26、上）过O作OPAB，交AB 于M，交EF于N，交圆弧AB于P，已知OP=10，MP=6.5（单位：m），记通风窗EFGH的面积为S（单位：m2）（1）按下列要求建立函数关系式：（i）设POF=（rad），将S表示成的函数；（ii）设MN=x（m），将S表示成x的函数；（2）试问通风窗的高度MN为多少时？通风窗EFGH的面积S最大？【考点】函数模型的选择与应用【专题】计算题；应用题；函数的性质及应用；导数的综合应用【分析】（1）由题意知，OF=OP=10，MP=6.5，OM=3.5（i）在RtONF中与矩形EFGH中表示出边长，从而由S=EFFG写出面积公式S=10sin（20cos7），注意角
27、的取值范围；（ii）在RtONF中与矩形EFGH中利用勾股定理等表示出边长，从而写出S=EFFG=x，注意x的取值范围；（2）方法一：选择（i）中的函数模型，利用导数确定函数的单调性，从而示函数的最大值及最大值点，再代入求NM的长度即可；方法二：选择（ii）中的函数模型，利用导数确定函数的单调性，从而示函数的最大值及最大值点即可【解答】解：（1）由题意知，OF=OP=10，MP=6.5，故OM=3.5（i）在RtONF中，NF=OFsin=10sin，ON=OFcos=10cos在矩形EFGH中，EF=2MF=20sin，FG=ONOM=10cos3.5，故S=EFFG=20sin（10cos
28、3.5）=10sin（20cos7）即所求函数关系是S=10sin（20cos7），00，其中cos0=（ii）因为MN=x，OM=3.5，所以ON=x+3.5在RtONF中，NF=在矩形EFGH中，EF=2NF=，FG=MN=x，故S=EFFG=x即所求函数关系是S=x，（0x6.5） （2）方法一：选择（i）中的函数模型：令f（）=sin（20cos7），则f（）=cos（20cos7）+sin（20sin）=40cos27cos20由f（）=40cos27cos20=0，解得cos=，或cos=因为00，所以coscos0，所以cos=设cos=，且为锐角，则当（0，）时，f（）0，f（
29、）是增函数；当（，0）时，f（）0，f（）是减函数，所以当=，即cos=时，f（）取到最大值，此时S有最大值即MN=10cos3.5=4.5m时，通风窗的面积最大方法二：选择（ii）中的函数模型：因为S=，令f（x）=x2（35128x4x2），则f（x）=2x（2x9）（4x+39），因为当0x时，f（x）0，f（x）单调递增，当x时，f（x）0，f（x）单调递减，所以当x=时，f（x）取到最大值，此时S有最大值即MN=x=4.5m时，通风窗的面积最大【点评】本题考查了导数在实际问题中的应用及三角函数的应用，属于中档题19已知函数f（x）=+（1）求函数f（x）的定义域和值域；（2）设F（x
30、）=f2（x）2+f（x）（a为实数），求F（x）在a0时的最大值g（a）；（3）对（2）中g（a），若m2+2tm+g（a）对a0所有的实数a及t1，1恒成立，求实数m的取值范围【考点】函数恒成立问题；函数的定义域及其求法；函数的值域【专题】函数的性质及应用【分析】（1）由1+x0且1x0可求得定义域，先求f（x）2的值域，再求f（x）的值域；（2）F（x）=a+，令t=f（x）=+，则=1，由此可转化为关于t的二次函数，按照对称轴t=与t的范围，2的位置关系分三种情况讨论，借助单调性即可求得其最大值；（3）先由（2）求出函数g（x）的最小值，g（a）对a0恒成立，即要使gmin（a）恒成立
31、，从而转化为关于t的一次不等式，再根据一次函数的单调性可得不等式组，解出即可【解答】解：（1）由1+x0且1x0，得1x1，所以函数的定义域为1，1，又f（x）2=2+22，4，由f（x）0，得f（x），2，所以函数值域为，2；（2）因为F（x）=a+，令t=f（x）=+，则=1，F（x）=m（t）=a（1）+t=，t，2，由题意知g（a）即为函数m（t）=，t，2的最大值注意到直线t=是抛物线m（t）=的对称轴因为a0时，函数y=m（t），t，2的图象是开口向下的抛物线的一段，若t=（0，即a，则g（a）=m（）=；若t=（，2，即a，则g（a）=m（）=a；若t=（2，+），即a0，则g（
32、a）=m（2）=a+2，综上有g（a）=，（3）易得，由g（a）对a0恒成立，即要使gmin（a）=恒成立，m22tm0，令h（t）=2mt+m2，对所有的t1，1，h（t）0成立，只需，解得m的取值范围是m2或m=0，或m2【点评】本题考查函数恒成立问题，考查函数定义域、值域的求法，考查学生对问题的转化能力，恒成立问题往往转化为函数最值问题解决20设函数f（x）=lnx，g（x）=（m0）（1）当m=1时，函数y=f（x）与y=g（x）在x=1处的切线互相垂直，求n的值；（2）若函数y=f（x）g（x）在定义域内不单调，求mn的取值范围；（3）是否存在实数a，使得f（）f（eax）+f（）0
33、对任意正实数x恒成立？若存在，求出满足条件的实数a；若不存在，请说明理由【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程【专题】导数的概念及应用；导数的综合应用；不等式的解法及应用【分析】（1）分别求出f（x）、g（x）的导数，求得在x=1处切线的斜率，由两直线垂直的条件，解方程即可得到n；（2）求出y=f（x）g（x）的导数，可得，得的最小值为负，运用基本不等式即可求得mn的范围；（3）假设存在实数a，运用构造函数，求出导数，求得单调区间和最值，结合不等式恒成立思想即有三种解法【解答】解：（1）当m=1时，y=g（x）在x=1处的切线斜率，由，y=f（x）在x=1处的
34、切线斜率k=1，n=5（2）易知函数y=f（x）g（x）的定义域为（0，+），又，由题意，得的最小值为负，m（1n）4，m+（1n）4或m+1n4，mn3或mn5；（3）解法一、假设存在实数a，使得f（）f（eax）+f（）0对任意正实数x恒成立令（x）=，其中x0，a0，则（x）=，设，（x）在（0，+）单调递减，（x）=0在区间（0，+）必存在实根，不妨设（x0）=0，即，可得（*）（x）在区间（0，x0）上单调递增，在（x0，+）上单调递减，所以（x）max=（x0），（x0）=（ax01）ln2a（ax01）lnx0，代入（*）式得，根据题意恒成立又根据基本不等式，当且仅当时，等式成立
35、即有，即ax0=1，即代入（*）式得，即，解得解法二、假设存在实数a，使得f（）f（eax）+f（）0对任意正实数x恒成立令（x）=axln2aaxlnx+lnxln2a=（ax1）（ln2alnx），其中x0，a0根据条件对任意正数x恒成立，即（ax1）（ln2alnx）0对任意正数x恒成立，且，解得且，即时上述条件成立，此时解法三、假设存在实数a，使得f（）f（eax）+f（）0对任意正实数x恒成立令（x）=axln2aaxlnx+lnxln2a=（ax1）（ln2alnx），其中x0，a0要使得（ax1）（ln2alnx）0对任意正数x恒成立，等价于（ax1）（2ax）0对任意正数x恒成
36、立，即对任意正数x恒成立，设函数，则（x）的函数图象为开口向上，与x正半轴至少有一个交点的抛物线，因此，根据题意，抛物线只能与x轴有一个交点，即，所以【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值和最值，主要考查函数的单调性的运用，以及不等式恒成立思想的运用，考查运算能力，具有一定的综合性【选修4-4：坐标系与参数方程】21在平面直角坐标xOy中，已知曲线C的参数方程为（t为参数），曲线与直线l：y=x相交于A，B两点，求线段AB的长【考点】参数方程化成普通方程【专题】坐标系和参数方程【分析】将曲线C的参数方程化为普通方程为：x=8y2（亦可直接用参数方程解A，B点），与直线l构造方
37、程组，解得求出点的坐标，根据点到点的距离公式即可求出答案【解答】解：，x=（4y）2，即x=8y2，方程组，解得或，所以，故AB=【点评】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系：相交关系的应用，考查学生的计算能力，属于基础题【选修4-4：坐标系与参数方程】22在极坐标系中，求圆=2cos的圆心到直线的距离【考点】圆的参数方程；直线的参数方程【专题】坐标系和参数方程【分析】将圆=2cos化为2=2cos，利用化为直角坐标方程，可得圆心（1，0），把展开即可直角坐标方程，利用点到直线的距离公式即得出圆心到直线的距离【解答】解：将圆=2cos化为2=2cos，普通方程为x2+y22x=0，圆心为（1，
38、0），又，即，直线的普通方程为，故所求的圆心到直线的距离【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、点到直线的距离公式，考查了计算能力，属于基础题23一位网民在网上光顾某淘宝小店，经过一番浏览后，对该店铺中的A，B，C，D，E五种商品有购买意向已知该网民购买A，B两种商品的概率均为，购买C，D两种商品的概率均为，购买E种商品的概率为假设该网民是否购买这五种商品相互独立（1）求该网民至少购买4种商品的概率；（2）用随机变量表示该网民购买商品的种数，求的概率分布和数学期望【考点】离散型随机变量的期望与方差；互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列【专题】概率与
39、统计【分析】（1）记“该网民购买i种商品”为事件Ai，i=4，5，由互斥事件概率加法公式能求出该网民至少购买4种商品的概率（2）随机变量的可能取值为0，1，2，3，4，5，分别求出相应的概率，由此能求出的概率分布和数学期望【解答】解：（1）记“该网民购买i种商品”为事件Ai，i=4，5，则：，所以该网民至少购买4种商品的概率为答：该网民至少购买4种商品的概率为（2）随机变量的可能取值为0，1，2，3，4，5， ， =， =，所以：随机变量的概率分布为：012345P故【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，解题时要认真审题，注意排列组合的合理运用，是中档题24设
40、Pn=（1x）2n1，Qn=1（2n1）x+（n1）（2n1）x2，xR，nN*（1）当n2时，试指出Pn与Qn的大小关系；（2）当n3时，试比较Pn与Qn的大小，并证明你的结论【考点】不等式比较大小【专题】计算题；证明题【分析】（1）分n=1和n=2两种情况进行解答；（2）分类讨论：x=0，x0和x0三种情况利用复合函数的单调性进行解答即可【解答】解：（1）当n=1时，Pn=1x，Qn=1x，则Pn=Qn；当n=2，x=0时，Pn=1，Qn=1，则Pn=Qn；当n=2，x0时，Pn=（1x）3=13x+3x2x3，Qn=13x+3x2，则PnQn=x30，所以PnQn；当n=2，x0时，Pn
41、Qn=x30，所以PnQn；（2）当n3时，当x=0时，Pn=Qn；当x0时，令F（x）=1（2n1）x+（n1）（2n1）x2，则F（x）=（2n1）（1x）2n2+（2n1）2（n1）（2n1）x，F（x）=（2n1）（2n2）（1x）2n32（n1）（2n1）=（2n1）（2n2）（1x）2n31当x0时，F（x）0F（x）单调递减；当x0时，F（x）0F（x）单调递增；F（x）F（0）=0，F（x）单调递减；当x0时，F（x）F（0）=0，当x0时，F（x）F（0）=0，当x0时，PnQn当x0时，PnQn【点评】本题考查了不等式比较大小总结：不等式大小比较的常用方法（1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；（2）作商（常用于分数指数幂的代数式）；（3）分析法；（4）平方法；（5）分子（或分母）有理化；（6）利用函数的单调性；（7）寻找中间量或放缩法；（8）图象法其中比较法（作差、作商）是最基本的方法