1、3.4 生活中的优化问题举例一、如何判断函数函数的单调性？f(x)为增函数f(x)为减函数设函数y=f(x)在某个区间内可导，二、如何求函数的极值与最值？求函数极值的一般步骤（1）确定定义域（2）求导数f(x)（3）求f(x)=0的根（4）列表（5）判断求f(x)在闭区间a,b上的最值的步骤：(1)求f(x)在区间(a,b)内极值；(2)将y=f(x)的各极值与f(a)、f(b）比较,从而确定函数的最值。生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题.通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具，本节我们运用导数，解决一些生活中的优化问题.例1：海
2、报版面尺寸的设计学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。现让你设计一张如图3.4-1所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm2，上、下两边各空2dm，左、右两边各空1dm，如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面积最小？x图3.4-1分析：已知版心的面积，你能否设出版心的高，求出版心的宽，从而列出海报四周的面积来？的极小值点，也是最小值点.所以当版心高为16dm，宽为时8dm，能使四周空白面积最小。S x因此,x=16是函数128(x)(x4)(2)128xS5122x8,xx0.=2512(x)20,x16xS解得x16(舍去)令128x于是宽为16128=8 解:设版心的高为m,则
3、版心的宽为m，此时四周空白面积为 .0,16016,0 xsxxsx时，；当时，当你还有其他解法吗？例如用基本不等式行不？规格（L）21.250.6价格（元）5.14.52.5例2：饮料瓶大小对饮料公司利润的影响下面是某品牌饮料的三种规格不同的产品，若它们的价格如下表所示，则（1）对消费者而言，选择哪一种更合算呢？（2）对制造商而言，哪一种的利润更大？某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本是0.8pr2分，其中r是瓶子的半径，单位是厘米，已知每出售1ml的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制造的瓶子的最大半径为6cm，则每瓶饮料的利润何时最大，何时最小呢？2()=0.8-20
4、=2()，f rrrr令得r(0，2)2(2，6f(r)0f(r)-+减函数增函数-1.07p324()0.20.83yf rrrpp32=0.8(-)3rr)60(r解：由于瓶子的半径为r，所以每瓶饮料的利润是ryo)3(8.0)(23rrrfp231、当半径为2cm时,利润最小,这时f(2)0,2、当半径为6cm时，利润最大。从图中可以看出:从图中，你还能看出什么吗？下文请看课本P102103例3图3.4-3解：存储量=磁道数每磁道的比特数设存储区的半径介于r与R之间，由于磁道之间的宽度必须大于m，且最外面的磁道不存储人行信息，所以磁道最多可达又由于每条磁道上的比特数相同，为获得最大的存储
5、量，最内一条磁道必须装满，即每条磁道上的比特数可达到所以，磁道总存储量,mrR.2nrp.22rRrmnrnrmrRrfpp（1）它是一个关于r的二次函数，从函数的解析式上可以判断，不是r越小，磁盘的存储量越大.(2)为求的最大值，计算 xf,0rf,2rRmnrfp令 0rf解得2Rr ,02;02rfRrrfRr时，当时，当因此，当时，磁道具有最大的存储量，最大存储量为2Rr.22mnRp由上述例子，我们不难发现，解决优化问题的基本思路是：优化问题用函数表示的数学问题用导数解决数学问题优化问题的答案上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程。1:在边长为60cm的正 方形铁皮的四角切去
6、相等的正方形,再把它的边沿虚线折起(如图),做成一个无盖的方底箱子,箱底边长为多少时,箱子的容积最大?最大容积是多少?解:设箱底边长为x,则箱高h=(60-x)/2.箱子容积V(x)=x2h=(60 x2-x3)/2(0 x60).令,解得x=0(舍去),x=40.且V(40)=16000.02360)(2 xxxV由题意可知,当x过小(接近0)或过大(接近60)时,箱子的容积很小,因此,16000是最大值.答:当x=40cm时,箱子容积最大,最大容积16000cm3.2:圆柱形金属饮料罐的容积一定时,它的高与底半径 应怎样选取,才能使所用的材料最省?解:设圆柱的高为h,底半径为r,则表面积S
7、=2rh+2r2.由V=r2h,得,则2rVhp.2222)(222rrVrrVrrSpppp令,解得,从而,即h=2r.042)(2rrVrSp32pVr 232)2(pppVVrVh33224ppVV 由于S(r)只有一个极值,所以它是最小值.答:当罐的高与底直径相等时,所用的材料最省.rhxy练习3 如图,在二次函数f(x)=4x-x2的图象与x轴所围成的图形中有一个内接矩形ABCD,求这 个矩形的最大面积.解:设B(x,0)(0 x2),则A(x,4x-x2).从而|AB|=4x-x2,|BC|=2(2-x).故矩形ABCD的面积为:S(x)=|AB|BC|=2x3-12x2+16x(0 x0得x=1.0)(xf而0 x1时,所以x=1是f(x)的极小值点.0)(xf0)(xf所以当x=1时,f(x)取最小值f(1)=1.从而当x0时,f(x)1恒成立,即:成立.2)1(211lnxxx3)1(321x作业：课本P104 习题3.4 A组1、3、5
