1、活用数学思想 追求高效解题 巧用答题模板 建立答题规范 第6讲 数学思想方法与答题模板建构 1数形结合思想所谓数形结合思想，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想数形结合思想的应用包括以下两个方面：(1)“以形助数”，把某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，揭示数学问题的本质；(2)“以数解形”，把直观图形数量化，使形更加精确本专题中集合的运算、求二次函数的最值，确定函数零点问题、求不等式恒成立中参数等都经常用数形结合思想例1(2011天津高考)对实数a和b，定义运算“”：aba，ab1，b，ab1.设函数f(x)(x22)(x1)，xR.
2、若函数yf(x)c的图像与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是()A(1,1(2，)B(2，1(1,2C(，2)(1,2 D2，1解析 令(x22)(x1)1，得1x2，f(x)x22，1x2，x1，x1或x2，yf(x)c与x轴恰有两个公共点，画函数的图像得知实数c的取值范围是(2，1(1,2答案 B2方程思想方程思想，就是未知和已知的思想，通过分析问题中的各个量及其关系，列出方程(组)、不等式(组)，或者构造方程(组)、不等式(组)，通过求方程(组)、不等式(组)的解或讨论方程(组)、不等式(组)的解的情况，使问题得以解决，方程思想应用非常普遍，在各类题目中，凡是不能直接计算的未知数，
3、都要列方程(组)来求解例2(2011湖北高考)若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)g(x)ex，则g(x)()AexexB.12(exex)C.12(exex)D.12(exex)解析 由f(x)g(x)ex可得f(x)g(x)ex，又f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，可得f(x)g(x)ex，则两式相减可得g(x)exex2.答案 D例3(2011浙江高考)设x，y为实数，若4x2y2xy1，则2xy的最大值是_解析 4x2y2xy1，(2xy)23xy1 32 2xy1 32(2xy2)21，(2xy)285，(2xy)max2 105.答案 2 105命题角度分析本
4、专题是每年高考的重点和难点，既有选择题又有填空题，还有解答题解答题一般难度较大，解答题常见的考查方式有以下几种形式：一是直接把导数应用于函数的研究中，考查函数的单调性、极值、最值等性质；二是把导数与函数、方程、不等式、数列等知识相联系，综合考查函数的最值或求参数的值(或范围)；三是用导数解决实际问题答题模板构建例4(2011陕西高考)(本小题满分12分)设f(x)lnx，g(x)f(x)f(x)(1)求g(x)的单调区间和最小值；(2)讨论g(x)与g(1x)的大小关系；(3)求a的取值范围，使得g(a)g(x)1a对任意x0成立解(1)由题设知f(x)lnx，g(x)lnx1x，g(x)x1
5、x2.令g(x)0得x1.(1分)当x(0,1)时，g(x)0，故(0,1)是g(x)的单调减区间，(2分)当x(1，)时，g(x)0，故(1，)是g(x)的单调增区间，(3分)因此，x1是g(x)的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以g(x)的最小值为g(1)1.(4分)第一步 确定使g(x)为零的点；第二步 确定g(x)的单调区间；第三步 确定g(x)的最小值(2)g(1x)lnxx，设h(x)g(x)g(1x)2lnxx1x，则h(x)x12x2，(5分)当x1时，h(1)0，即g(x)g(1x)；(6分)当x(0,1)(1，)时h(x)0，h(1)0，因此，h(x)在(0，)
6、内单调递减，(7分)当0 x1时，h(x)h(1)0，即g(x)g(1x)；(8分)当x1时，h(x)h(1)0，即g(x)g(1x)(9分)第一步求“差”函数 h(x)的导数确定单调性；第二步确定 h(x)在相应区间上的符号；第三步得 g(x)和 g(1x)的大小关系(3)由(1)知g(x)的最小值为1，所以g(a)g(x)1a，对任意x0成立所以g(a)11a.即lna1.(10分)从而得0ae.(12分)第一步 求g(a)g(x)的最大值；第二步 建立关于a的不等式；第三步 求a的范围例5(2011重庆高考)设f(x)2x3ax2bx1的导数为f(x)，若函数yf(x)的图像关于直线x1
7、2对称，且f(1)0.(1)求实数a，b的值；(2)求函数f(x)的极值套用模板解题解(1)因为f(x)2x3ax2bx1，故f(x)6x22axb.从而f(x)6(xa6)2ba26，即yf(x)关于直线xa6对称，从而由题设条件知a612，解得a3.又由于f(1)0，即62ab0，解得b12.(2)由(1)知f(x)2x33x212x1，f(x)6x26x126(x1)(x2)令f(x)0，即6(x1)(x2)0，解得x12，x21.当x(，2)时，f(x)0，故f(x)在(，2)上为增函数；当x(2,1)时，f(x)0，故f(x)在(1，)上为增函数从而函数f(x)在x12处取得极大值f
8、(2)21，在x21处取得极小值 f(1)6.点评 本题主要考查导数的运算、二次函数图像的对称性及利用导数求函数极值的方法例6(2011湖北高考)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/小时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20 x200时，车流速度v是车流密度x的一次函数(1)当0 x200时，求函数v(x)的表达式；(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某测观点的车辆数，单位：辆
9、/小时)f(x)xv(x)可以达到最大，并求出最大值(精确到1辆/小时)解(1)由题意：当0 x20时，v(x)60；当20 x200时，设v(x)axb，再由已知得200ab0，20ab60，解得a13，b2003.故函数v(x)的表达式为v(x)60，0 x20，13200 x，20 x200.(2)依题意并由(1)可得f(x)60 x，0 x20，13x200 x，20 x200.当0 x20时，f(x)为增函数，故当x20时，其最大值为60201 200；当20 x200时，f(x)13x(200 x)13x200 x2210 0003，当且仅当x200 x，即x100时，等号成立所以，当x100时，f(x)在区间20,200上取得最大值10 0003.综上，当x100时，f(x)在区间0,200上取得最大值10 00033 333，即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3 333辆/小时点评 本题主要考查利用函数解决实际问题的能力对分段函数求最值时，要先分别求出函数在各段上的最值，然后比较得到定义域内的最值