1、江苏省扬州中学2015届高三4月双周测数学试题一、选择题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则等于 【答案】【解析】试题分析：考点：集合的运算.2.已知虚数满足，则 【答案】【解析】试题分析：设，则，整理得，所以，即，.考点：复数的运算.3.抛物线的准线方程为 【答案】【解析】试题分析：标准方程为，所以其准线方程为.考点：抛物线的性质.4.函数的单调递减区间为 【答案】【解析】试题分析：，由于，所以的解集为，即减区间为.考点：导数与单调性.5.某射击运动员在四次射击中分别打出了10，x，10，8环的成绩，已知这组数据的平
2、均数为9，则这组数据的标准差是 【答案】1【解析】试题分析：由，得，考点：方差与标准差.6.已知直线与直线平行，则它们之间的距离是 【答案】2【解析】试题分析：由题意，所以直线方程为，即，.考点：两直线平行，平行线间的距离.7.角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则的值是 【答案】【解析】试题分析：由已知，.考点：三角函数的定义，诱导公式.8.若一个正四棱锥的底面边长为，侧棱长为3cm，则它的体积为 cm3.【答案】【解析】试题分析：由题意正四棱锥的高为，底面积为，因此考点：棱锥的体积，9.若实数满足，则的最大值为_.【答案】【解析】试题分析：作出约束条件表示的可行域，如图
3、内部（含边界），设是可行域内任一点，则的最大值为，最小值为，可见当取最大值3时，也取最大值为.考点：线性规划的应用.10.将一颗质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6）先后抛掷两次得到的点数、分别作为点的横、纵坐标，则点不在直线下方的概率为 .【答案】【解析】试题分析：由题意点共有个，由于满足的点有共6个，因此题意要求的点有30个，因此所求概率为.考点：古典概型.11.已知函数，若存在，使，则实数的取值范围_.【答案】【解析】试题分析：由题意，因为，所以，从而.考点：二次函数的对称性，三角函数的值域.12.已知点，圆点是圆上任意一点，若为定值，则_.【答案】0【解析】试
4、题分析：设，则，整理得，又是圆上的任意一点，故，圆的一般方程为，因此，解得.考点：圆的方程.13.在正项等比数列中，则的最小值为_.【答案】20【解析】试题分析：设，则，由于是等比数列，所以也成等比数列，因此，当且仅当，即时等号成立，故的最小值为20.考点：等比数列的性质，基本不等式.14.已知函数，不等式在上恒成立，则实数的取值范围为_.【答案】考点：不等式恒成立，函数的单调性.二、解答题 （本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.(本小题满分14分)如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是平行四边形.（1）若CFAE，ABAE，求证：平面ABFE平
5、面CDEF；（2）求证：EF/平面ABCD.ABCDEF【答案】证明见解析.【解析】试题分析：（1）要证面面垂直，一般要证线面垂直，本题中有，其中可得，从而有平面，由此可得结论；（2）由平面得，又，故得，从而有线面平行，也可由得平面，再得.试题解析：（1）四边形ABCD是平行四边形 AB/CD，又ABAE，AECD又AECF，CDCF=C，CD、CF平面CDEF，AE平面CDEF，又AE平面ABFE，平面ABFE平面CDEF7分（2）四边形ABCD是平行四边形 AB/CD又AB平面CDEF，CD平面CDEF，AB/平面CDEF又AB平面ABFE，平面ABFE平面CDEF=EF，AB/EF又EF
6、平面ABCD，AB平面ABCD，EF/平面ABCD.14分考点：面面垂直，线面平行.16.本小题满分14分)已知函数，点分别是函数图象上的最高点和最低点（1）求点的坐标以及的值；（2）设点分别在角的终边上，求的值【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）从题意可看出，首先由余弦函数的性质求得最大值和最小值，即相应的的坐标，然后应用向量的坐标运算求得数量积；（2）由（1）根据三角函数的定义可知，又能求得，然后应用二倍角公式和两角差的正弦公式得出结论.试题解析：（1），当时，即时，取得最大值1，当时，即时，取得最小值2，因此，所求的坐标为，即.（2）点分别在角的终边上，则，即，.考点：三角函
7、数的最值，向量的数量积，三角函数的定义，两角差的正弦公式.17.(本小题满分14分)在平面直角坐标系xoy中，椭圆C ：的离心率为，右焦点F（1,0），点P在椭圆C上，且在第一象限内，直线PQ与圆O：相切于点M.（1）求椭圆C的方程；（2）求|PM|PF|的取值范围；（3）若OPOQ，求点Q的纵坐标t的值.OPMQFxy【答案】（1）；（2）（0,1）；（3）【解析】试题分析：（1）根据椭圆的性质可得，又，这样有，椭圆方程可得；（2）是切线，因此我们设，则，再利用，可以把化为关于的函数，由求得其范围；（3）可以先讨论特殊情况下的值，当轴时，得，然后讨论当与轴不垂直时的情形，设方程为，由是圆的切
8、线（应用圆心到切线距离等于圆的半径）得，即，又由的方程可得坐标为，再由得，把刚才的关系及是椭圆的点的关系代入可化简得.试题解析：（1）2分c=1， a=2，椭圆方程为4分（2）设，则PM=，6分PF=8分 PMPF=，|PM|PF|的取值范围是（0,1）.10分（3）法一：当PMx轴时，P，Q或，由解得12分当PM不垂直于x轴时，设，PQ方程为，即PQ与圆O相切，13分又，所以由得14分=12，16分法二：设，则直线OQ：，OPOQ，OPOQ=OMPQ12分，14分，16分考点：椭圆的标准方程，直线和圆的位置关系，直线与椭圆的位置关系.18.(本小题满分16分)如图（1），有一块形状为等腰直角
9、三角形的薄板，腰AC的长为a米（a为常数），现在斜边AB上选一点D，将ACD沿CD折起，翻扣在地面上，做成一个遮阳棚，如图（2）. 设BCD的面积为S，点A到直线CD的距离为d. 实践证明，遮阳效果y与S、d的乘积Sd成正比，比例系数为k（k为常数，且k0）.（1）设ACD=，试将S表示为的函数；（2）当点D在何处时，遮阳效果最佳（即y取得最大值）？【答案】（1），；（2）D在AB的中点时，遮阳效果最佳.试题解析：（1）BCD中，4分 ，6分（其中范围1分）（2）8分10分令，则，在区间上单调递增，13分当时取得最大值，此时，即D在AB的中点时，遮阳效果最佳.16分考点：应用题，正弦定理，换元
10、法，同角间的三角函数关系，函数的最值.19.（本小题满分16分）对于函数，如果它们的图象有公共点P，且在点P处的切线相同，则称函数和在点P处相切，称点P为这两个函数的切点.设函数,.（1）当,时, 判断函数和是否相切？并说明理由； （2）已知，且函数和相切，求切点P的坐标； （3）设，点P的坐标为，问是否存在符合条件的函数和，使得它们在点P处相切？若点P的坐标为呢？（结论不要求证明）【答案】(1)不相切；（2）；（3）当点的坐标为时，存在符合条件的函数和，使得它们在点处相切；当点的坐标为时，不存在符合条件的函数和，使得它们在点处相切.【解析】试题分析：（1）由于，而，因此当时，即方程无解，故两
11、函数不存在相同的切线，不相切；（2），设切点为，则，消法得，要注意，故，因此下面我们要讨论方程 在上的解，这个方程的解借助函数的单调性来完成，设，由可得在时取得最大值，且，因此此方程只有一解，从而，即有；（3）这类问题，都是假设它存在，然后由公共点，及两函数在点的切线一样即斜率相等，联立方程组，解出，如能解出，说明存在，如不能解出，说明不存在.试题解析：（1）结论：当,时,函数和不相切.1分理由如下：由条件知，由，得， 又因为 ，所以当时，所以对于任意的，.当,时,函数和不相切. 3分（2）若，则，设切点坐标为 ，其中,由题意，得 ， ，由得 ，代入得.（*） 因为 ，且，所以.设函数 ，则
12、. 令 ，解得或(舍). 8分当变化时，与的变化情况如下表所示，10所以当时，取到最大值，且当时.因此，当且仅当时.所以方程（*）有且仅有一解.于是 ，因此切点P的坐标为. 12分（3）当点的坐标为时，存在符合条件的函数和，使得它们在点处相切； 14分当点的坐标为时，存在符合条件的函数和，使得它们在点处相切. 16分考点：导数与切线，导数与函数的单调性和最值.20.（本小题满分16分）设数列的通项公式为，数列定义如下：对于正整数，是使得不等式成立的所有中的最小值.（1）若，求;（2）若，求数列的前项和公式;（3）是否存在和，使得？如果存在，求和的取值范围？如果不存在，请说明理由.【答案】（1）
13、；（2）；（3）.【解析】试题分析：(1)已知说明，要求，只要求得不等式的最小整数解即可；（2）同样，为了求，我们要解不等式，即，因此按的奇偶分类讨论：当时，当时，这样在求数列的前项和时也要分组求和，奇数项一起，偶数项一起分别求和；（3）存在性命题，都是假设存在，然后计算，本题假设存在的意思就是说不等式的最小整数解为，由于，因此，则，即对任意的正整数都成立.于是有，代入上式又得.故结论为存在.试题解析：（1）由题意，得，解，则，所以成立的所有中的最小整数为7，即.（2）由题意，得，对于正整数由，得,根据的定义可知，当时，当时，=（3）假设存在和满足条件，由不等式及得，根据的定义可知，对于任意正
14、整数的都有即对任意的正整数都成立.当（或）时，得这与上述结论矛盾.当即时，所以存在和，使得满足条件的，且，的取值范围分别是：.考点：不等式的整数解，分类讨论，分组求和，存在性命题.附加题部分21B.选修42：矩阵与变换已知矩阵A，若矩阵A属于特征值6的一个特征向量为1，属于特征值1的一个特征向量为2 求矩阵A，并写出A的逆矩阵【答案】A， A的逆矩阵是【解析】试题分析：本题考查矩阵与其特征值与特征向量的关系，矩阵的属于特征值的特征向量为，则，由此可求得，逆矩阵满足，可列方程组求解.试题解析：由矩阵A属于特征值6的一个特征向量为1可得， 6，即cd6，由矩阵A属于特征值1的一个特征向量为2，可得
15、 ，即3c2d2，解得即A，所以A的逆矩阵是考点：特征值与特征向量.21C.选修44：极坐标与参数方程已知圆的极坐标方程为：（1）将极坐标方程化为普通方程；（2）若点P(x，y)在该圆上，求xy的最大值和最小值【答案】（1）；（2）最大值为6，最小值为2考点：极坐标方程与直角坐标方程的互化，圆的参数方程，三角函数的最值.22.(本题满分10分)为增强市民的节能环保意识,某市面向全市征召义务宣传志愿者，从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者,其年龄频率分布直方图如图所示，其中年龄分组区间是：（1）求图中的值并根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在岁的人数；（2）在抽出的100
16、名志愿者中按年龄采用分层抽样的方法抽取20名参加中心广场的宣传活动，再从这20名中采用简单随机抽样方法选取3名志愿者担任主要负责人，记这3名志愿者中“年龄低于35岁”的人数为，求的分布列及数学期望【答案】（1）150；（2）的分布列为：0123.【解析】试题分析：（1）在频率分布直方图中，各个小矩形的面积就是相应的频率，而所有小矩形的面积（频率）之和为1，由此可求得，这样所求人数为；（2）用分层抽样的方法，从中选取20名，其中年龄“低于35岁”的人有12名，“年龄不低于35岁”的人有8名从中任取3人，则的可能值分别为，各个概率分别为，,结论即得.试题解析：（1）因为小矩形的面积等于频率，所以除
17、外的频率和为0.70，所以，所以500名志愿者中，年龄在岁的人数为(人)；3分（2）用分层抽样的方法，从中选取20名，则其中年龄“低于35岁”的人有12名，“年龄不低于35岁”的人有8名故的可能取值为0,1,2,3，,故的分布列为：0123所以10分考点：频率分布直方图，分层抽样，随机变量的分布列及数学期望.23.(本题满分10分)若一个正实数能写成的形式，则称其为“兄弟数”.求证：（1）若为“兄弟数”，则也为“兄弟数”；（2）若为“兄弟数”，是给定的正奇数，则也为“兄弟数”.【答案】证明见解析.【解析】试题分析：首先要理解新定义“兄弟数”，即这种形式，相邻两个正整数的算术根的和.因此第（1）小题较简单，设，则，证得；（2）这一题有一定的难度，关键是在设后，引入，满足，借助完成证明，而，故，其中每一项都有这个因式，故可记：，同理：由，记：，进而，即，又，故，这样就得为“兄弟数”.试题解析：（1）设，则，是“兄弟数”（2）设，则而故，不妨记：同理：由，不妨记：进而，即又，故因此亦为“兄弟数”.考点：新定义，二项式定理的应用.