1、3.4 生活中的优化问题举例 类型一:面积、体(容)积有关的最值问题【典例1】(1)在周长为l的矩形中,面积的最大值为_.(2)(2015广州高二检测)有一块边长为a的正方形铁板,现从铁板的四个角各截去一个相同的小正方形,做成一个长方体形的无盖容器.为使其容积最大,截下的小正方形边长应为多少?【解题指南】(1)先设出一边长为x,依据题设条件写出另一条边的长,求出矩形面积,利用导数求其最值.(2)先设自变量x,依据长方体的体积公式建立体积关于x的函数,利用导数求出体积的最大值,最后得出结论.【解析】(1)设一边长为x，则另一边长为 其面积 由S(x)l2x0得x ，当0 x0，当 x 时,S(x
2、)0，所以当x=时，S(x)最大，最大为 .答案：12x2，l 1S xx2x(0 x)22 ，ll124l4l4l2l4l216l216l(2)设截下的小正方形边长为x,容器容积为V(x),则做成的长方体形无盖容器底面边长为a-2x,高为x,V(x)=(a-2x)2x,0 x .即V(x)=4x3-4ax2+a2x,0 x .实际问题归结为求V(x)在区间 上的最大值点.为此,先求V(x)的 极值点.在开区间 内,V(x)=12x2-8ax+a2.令V(x)=0,得12x2-8ax+a2=0.解得x1=a,x2=a(舍去).a2a2a(0,)2a(0,)21216x1=a在区间 内,且 当0
3、 x0;当x1x 时,V(x)0),l(x)=2-,由l(x)=2-=0,得x=或x=-(舍),因为当x(0,)时,l(x)0,所以当x=时,周长的最 小值为 Sx2Sx22Sx22SxSSSSS2SS2 S4 S.Sl【规律总结】1.利用导数解决实际问题中的最值的一般步骤(1)分析实际问题中各量之间的关系,找出实际问题的数学模型,写出实际问题中变量之间的函数关系式y=f(x).(2)求函数的导数f(x),解方程f(x)=0.(3)比较函数在区间端点和极值点的函数值大小,最大(小)者为最大(小)值.(4)把所得数学结论回归到实际问题中,看是否符合实际情况并下结论.其基本流程是 2.实际问题中函
4、数定义域确定的方法(1)根据图形确定定义域,如典例中长方体的长、宽、高都大于零.(2)根据问题的实际意义确定定义域.如人数必须为整数,销售单价大于成本价、销售量大于零等.【巩固训练】(2015厦门高二检测)请你设计一个包装盒.如图所示,ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片,切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得A,B,C,D四个点重合于图中的点P,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒.E,F在AB上,是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点.设AE=FB=x(cm).(1)某广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大,试问x应取何值.(2)某厂商要求包装盒的容积V(cm3
5、)最大,试问x应取何值.并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.【解析】设包装盒的高为h(cm),底面边长为a(cm).由已知得a=x,h=(30-x),0 x0;当x(20,30)时,V0.所以当x=20时,V取得极大值,也是最大值.此时 即包装盒的高与底面边长的比值为 .22h1a2 12【补偿训练】已知矩形的两个顶点位于x轴上,另两个顶点位于抛物线y=4-x2在x轴上方的曲线上,求这个矩形面积最大时的长和宽.【解析】如图所示,设出AD的长,进而求出AB,表示出面积S,然后利用导数求最值.设AD=2x(0 x2),则A(x,0),AB=y=4-x2,所以矩形面积为S=2x(4-x2)(0 x
6、2),即S=8x-2x3,S=8-6x2,令S=0,解得 当0 x0;当 x2时,S0,得2r ;令f(r)0,得0r0，得2r ;令y0，得0r15时,f(x)0;当0 x15时,f(x)0,因此当x=15时,f(x)取最小值,f(15)=2000.故为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为15层.2 160 10 0002 000 x10 800 x210 800 x，【补偿训练】某单位用木料制作如图所示的框架,框架的下部是边长分别为x,y(单位:m)的矩形,上部是等腰直角三角形,要求框架围成的总面积为8m2,问x,y分别为多少时用料最省?(精确到0.001m)【解析】依题意，有
7、 所以y 于是框架用料长度为l2x2y l 令l0，即 解得x184 ，x24 8(舍去)1xxyx822 ，2x88x40 x 4 2xx4 ，2x3162()(2)x.22x 23162.2x2316202x，22当0 x84 时，l0；当84 x4 时，l0，所以当x84 时，l取得最小值 此时，x84 2.343，y2.828.即当x为2.343 m，y为2.828 m时，用料最省 22222类型三:利润最大问题【典例3】(2015沈阳高二检测)某商品每件成本9元,售价为30元,每星期卖出432件,如果降低价格,销售量将会增加,且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x(单位:元,0
8、 x30)的平方成正比,已知商品单价降低2元时,一星期将多卖出24件.(1)将一个星期的商品销售利润表示成x的函数.(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大?【解题指南】(1)先求出比例系数,再依据题设求出多卖的商品数,再根据销售利润=销售收入-成本,列出函数关系式,即可得到答案;(2)根据f(x)的解析式,用导数求最值.【解析】(1)设商品降价x元,则多卖出的商品件数为kx2,若记商品一 个星期的获利为f(x),则依题意有f(x)=(30-x-9)(432+kx2)=(21-x)(432+kx2).又由已知条件,24=k22,于是有k=6.所以f(x)=-6x3+126x2-432x+
9、9072,x0,30.(2)根据(1)有f(x)=-18x2+252x-432=-18(x-2)(x-12),当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:故x=12时,f(x)取到极大值,因为f(0)=9072,f(12)=11664,所以定价为30-12=18(元)时能使一个星期的商品销售利润最大.x 0,2)2(2,12)12(12,30 f(x)-0+0-f(x)单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减【规律总结】有关利润问题四点注意(1)利润=收入-成本.(2)正确理解几个概念:成本、利润、单价、销售量、广告费.(3)建立利润函数关系,同时要注意函数的定义域.(4)商品的价格要
10、高于生产商品的成本,否则会亏本.【巩固训练】某生产饮料的企业拟投入适当的广告费对产品进行促销,在一年内,预计年销量Q(万件)与广告费x(万元)之间的函数关系为Q=(x0),已知生产此产品的年固定投入为3万元,每生产1万件此 产品需再投入32万元.若每件售价为“年平均每件成本的150%”与“年 平均每件所占广告费的50%”之和.(1)试将利润y(万元)表示为年广告费x(万元)的函数.如果年广告费投 入100万元,企业是亏损还是盈利?(2)当年广告费投入多少万元时,企业年利润最大?3x 1x 1【解析】(1)由题意,每年产销Q万件,共计成本为(32Q+3)万元.销售 收入是(32Q+3)150%+
11、x50%,所以年利润y=年收入-年成本-年广告费=(32Q+3-x)所以,所求的函数关系式为y=(x0).当x=100时,y0;x(7,+)时,f(x)0,所以f(x)极大值=f(7)=42.又因为在(0,+)上只有一个极值点,所以f(x)max=f(x)极大值=f(7)=42.故当年广告费投入7万元时,企业年利润最大.2x98x352 x 1 22222x98 x 1x98x35x2x63.2 x 12 x 1【补偿训练】工厂生产某种产品,次品率p与日产量x(万件)间的关系 为 (c为常数,且0cc时,当0 xc时,p=所以 所以日盈利额y(万元)与日产量x(万件)的函数关系为 2223py
12、(1)x 3x03332 ，；16x，23 9x2x113y1)x 3x.6x6x22 6x (23 9x2x,0 xc,y(c0c 6).2 6x0,xc为常数，且 (2)由(1)知，当xc时，日盈利额为0.当0 xc时，因为y 所以 令y0，得x3或x9(舍去)23 9x2x2 6x，2229 4x6x9x2x3 x3 x93y26x6x，所以当0c0,所以y在区间(0,c上单调递增,所以y最大值=f(c)=当3c0,在(3,c)上,y0,所以y在(0,3)上单调递增,在(3,c)上单调递减.所以y最大值=f(3)=.综上,若0c3,则当日产量为c万件时,日盈利额最大;若3c6,则当日产量为3万件时,日盈利额最大.9223(9c2c).2 6 c