1、浙江省丽水市高中发展共同体2020-2021学年高二下学期2月第一次联合测试数学试题一、单选题（共12题；共60分）1.过点 P(2,1) ， Q(4,5) 的直线斜率为（ ） A.1B.2C.3D.122.下列命题正确的是（ ） A.在空间中两条直线没有公共点，则这两条直线平行B.一条直线与一个平面可能有无数个公共点C.经过空间任意三点可以确定一个平面D.若一个平面上有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行3.已知空间向量 a=(-2,1,2) , b=(x,-2,-4) ,若 a/b ,则实数 x= ( ) A.-5B.5C.-4D.44.已知直线 l1:(3+a)x+4y-5+3
2、a=0 与 l2:2x+(5+a)y-8=0 平行，则a等于（ ）. A.-7或-1B.7或1C.-7D.-15.已知椭圆的焦点是F1 ， F2 ， P是椭圆上的一个动点，如果延长F1P到Q，使得|PQ|=|PF2|，那么动点Q的轨迹是（）A.椭圆B.双曲线的一支C.抛物线D.圆6.已知实数x，y满足不等式 x-y+202x+y-50y1 ，则 z=yx+3 的最大值为（ ） A.35B.45C.34D.327.“ 0t0) 与抛物线 C:x2=8y 相交于 A ， B 两点，点 F 为 C 的焦点， |FA|=4|FB| ，则 k= （ ） A.34B.54C.3D.32211.正四棱锥 S
3、-ABCD 中，侧棱与底面所成的角为 ，侧面与底面所成的角为 ，侧面等腰三角形的底角为 ，相邻两侧面所成的二面角为 ，则 、 、 、 的大小关系是（ ） A.B.C.D.0) 的右焦点，直线 y=kx ， k33,3 与双曲线 C 交于 A ， B 两点，若 AFBF ，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）. A.2,3+1B.2,2+6C.2,3+1D.22+6二、填空题（共7题；共34分）13.已知椭圆方程为 x24+y23=1 ，则其长轴长为_，焦点坐标为_. 14.将一张坐标纸折叠一次，使点 (3,2) 与点 (1,4) 重合，则折痕所在直线方程为_，与点 (-2,-2) 重合的点的坐
4、标是_. 15.若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是_ cm3 ， 表面积是_ cm2. 16.一个三角形的斜二测画法的直观图是一个边长为 a 的正三角形，则原三角形的面积等于_. 17.如图所示，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，点 E 为线段 AB 的中点，点 F 在线段 AD 上移动，异面直线 B1C 与 EF 所成角最小时，其余弦值为_. 18.设 A 、 B 分别为双曲线 C:x2a2-y2b2=1(a0,b0) 的左、右顶点， P 、 Q 是双曲线 C 上关于 x 轴对称的不同两点，设直线 AP 、 BQ 的斜率分别为 m 、 n ，若 mn=-1
5、，则双曲线 C 的离心率 e 是_. 19.如图，直线 l 平面 ，垂足为 O ，正四面体(所有棱长都相等的三棱锥) ABCD 的棱长为2， C 在平面 内， B 是直线 l 上的动点，当 O 到 AD 的距离为最大时，正四面体在平面 上的射影面积为_三、解答题（共4题；共56分）20.如图，已知四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 的底面是菱形，且 AA1 平面 ABCD ， DAB=60 ， AD=AA1 ， F 为棱 AA1 的中点， M 为线段 BD1 的中点. （1）求证： MF/ 平面 ABCD ； （2）求证： MF 平面 BDD1B1 . 21.已知直线 l 平行于直线 3x+4
6、y-7=0 ，并且与两坐标轴围成的 OAB 的面积为24. （1）求直线 l 的方程； （2）求 OAB 的内切圆的方程. 22.如图所示，已知平行四边形 ABCD 和矩形 ACEF 所在平面互相垂直， AB=1 ， AD=2 ， ADC=60 ， AF=1 ， M 是线段 EF 的中点. （1）求证： ACBF ； （2）求直线 AD 与平面 BDF 所成角的余弦值； （3）设点 P 为一动点，若点 P 从 M 出发，沿棱按照 MEC 的路线运动到点 C ，求这一过程中形成的三棱锥 P-BFD 的体积的最小值. 23.曲线 C1:x216+y24=1(y0) ，曲线 C2:x2=4y .自曲
7、线 C1 上一点 A 作 C2 的两条切线，切点分别为 B ， C . （1）若 A 点坐标为 (23,-1) ，曲线 C2 的焦点为 F .求证： B ， F ， C 三点共线； （2）求 SABC 的最大值. 答案解析部分一、单选题（共12题；共60分）1.过点 P(2,1) ， Q(4,5) 的直线斜率为（ ） A.1B.2C.3D.12【答案】 B 【考点】斜率的计算公式 【解析】【解答】因为 P(2,1) ， Q(4,5) ， 所以过P、Q的直线的斜率 k=y2-y1x2-x1=5-14-2=2 ，故答案为：B 【分析】将P,Q点坐标代入斜率公式，即可求得答案。2.下列命题正确的是（
8、 ） A.在空间中两条直线没有公共点，则这两条直线平行B.一条直线与一个平面可能有无数个公共点C.经过空间任意三点可以确定一个平面D.若一个平面上有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行【答案】 B 【考点】空间中直线与平面之间的位置关系 【解析】【解答】由题意，对于A中， 在空间中两条直线没有公共点，则这两条直线平行或异面，所以不正确；对于B中， 当一条直线在平面内时，此时直线与平面可能有无数个公共点，所以是正确的；对于C中， 经过空间不共线的三点可以确定一个平面，所以是错误的；对于D中， 若一个平面上有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行或相交，所以不正确， 故答案为：B
9、。【分析】根据平面的基本性质和空间中两直线的位置关系，逐一判定，即可得到答案。3.已知空间向量 a=(-2,1,2) , b=(x,-2,-4) ,若 a/b ,则实数 x= ( ) A.-5B.5C.-4D.4【答案】 D 【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示 【解析】【解答】 a/b a=b可得: -2=x1=-22=-4 解得: =-12x=4故答案为：D.【分析】根据向量平行可得 a=b ,即可求得答案.4.已知直线 l1:(3+a)x+4y-5+3a=0 与 l2:2x+(5+a)y-8=0 平行，则a等于（ ）. A.-7或-1B.7或1C.-7D.-1【答案】 C 【考点】两条
10、直线平行与倾斜角、斜率的关系 【解析】【解答】由题意 (3+a)(5+a)-42=0 ，解得 a=-1 或 a=-7 ， a=-1 时，两直线方程为 2x+4y-8=0 ， 2x+4y-8=0 ，重合，舍去，a=-7 时，两直线方程为 -4x+4y-26=0 ， 2x-2y-8=0 ，平行故答案为：C.【分析】由两直线平行的条件求解5.已知椭圆的焦点是F1 ， F2 ， P是椭圆上的一个动点，如果延长F1P到Q，使得|PQ|=|PF2|，那么动点Q的轨迹是（）A.椭圆B.双曲线的一支C.抛物线D.圆【答案】 D 【考点】圆锥曲线的轨迹问题 【解析】【解答】解：|PF1|+|PF2|=2a，|P
11、Q|=|PF2|，|PF1|+|PF2|=|PF1|+|PQ|=2a|F1Q|=2a动点Q到定点F1的距离等于定长2a，动点Q的轨迹是圆故选D【分析】由椭圆定义有|PF1|+|PF2|=2a，又|PQ|=|PF2|，代入上式，可得|F1Q|=2a再由圆的定义得到结论6.已知实数x，y满足不等式 x-y+202x+y-50y1 ，则 z=yx+3 的最大值为（ ） A.35B.45C.34D.32【答案】 C 【考点】简单线性规划 【解析】【解答】根据约束条件 x-y+202x+y-50y1 画出可行域， 图中阴影部分为可行域，目标函数 z=yx+3 ，表示可行域中点 (x,y) 与 (-3,0
12、) 连线的斜率，由图可知点 P(1,3) 与 (-3,0) 连线的斜率最大，故 z 的最大值为 34 ，故答案为：C. 【分析】 作出不等式组对应的平面区域，把所求问题转化为斜率即可得到结论.7.“ 0t01-t0t1-t ，解得 0t1 且 t12 ，所以“ 0t1 ”是“ 0t0) 与抛物线 C:x2=8y 相交于 A ， B 两点，点 F 为 C 的焦点， |FA|=4|FB| ，则 k= （ ） A.34B.54C.3D.322【答案】 A 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题 【解析】【解答】解：设 A(x1,y1),B(x2,y2) ，由题知抛物线的焦点坐标为 F(0,2) ， 直线线
13、 y=kx+2(k0) 与抛物线 C:x2=8y 联立方程得： x2-8kx-16=0 ，所以 x1+x2=8k,x1x2=-16 ，所以 y1+y2=k(x1+x2)+4=8k2+4 ， y1y2=(kx1+2)(kx2+2)=4 ，又因为 |FA|=4|FB| ，所以 y1+2=4(y2+2) ，即 y1=4y2+6 ，所以由 y1=4y2+6 和 y1y2=4 解得 y1=8,y2=12 （负的舍去）所以 y1+y2=8k2+4=8+12 ，解得 k2=916 ，所以 k=34故答案为：A 【分析】设 A(x1,y1),B(x2,y2) ，进而 联立方程得： x2-8kx-16=0 ，再
14、结合韦达定理得 y1+y2=k(x1+x2)+4=8k2+4 ， y1y2=(kx1+2)(kx2+2)=4 ，又因为抛物线焦点在y轴正半轴且 |FA|=4|FB|，故y1=4y2+6 进而解得 y1=8,y2=12 ， k=34。11.正四棱锥 S-ABCD 中，侧棱与底面所成的角为 ，侧面与底面所成的角为 ，侧面等腰三角形的底角为 ，相邻两侧面所成的二面角为 ，则 、 、 、 的大小关系是（ ） A.B.C.D.【答案】 A 【考点】二面角的平面角及求法 【解析】【解答】如图，不妨设正四棱锥 S-ABCD 的底面边长为 AB=2 ，高 SO=h ，取BC中点H ， 连接OH，OB，SH ，
15、 BD ， 在 RtSOB 中， tan=tanSBO=SOOB=h2=2h2 ，在 RtSOH 中， tan=tanSHO=SOOH=h1=h ，在 RtSHC 中， SH=SO2+OH2=h2+12 ，所以 tan=tanSCH=SHCH=h2+121=h2+12 ，所以 0tantantan ，所以 2 .过D做 DESA 于E ， 连接EB ， 因为 SADSAB ，所以 BESA ，所以 BED 即为相邻两侧面所成的角 ，因为四个侧面全等，所以 SAB 的面积 S=12SAEB=12BCSH ，所以 12h2+2EB=122h2+12 ，所以 EB=2h2+12h2+2,EB2=4(
16、h2+12)h2+2 ，所以 DE2+EB2=2EB2=8(h2+12)h2+2=8(1-1h2+2)8=BD2 ，所以 =BED 为钝角，所以 0) 的右焦点，直线 y=kx ， k33,3 与双曲线 C 交于 A ， B 两点，若 AFBF ，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）. A.2,3+1B.2,2+6C.2,3+1D.22+6【答案】 A 【考点】双曲线的简单性质 【解析】【解答】因为点 F 为双曲线 C:x2a2-y2b2=1(a,b0) 的右焦点，则 F(c,0) ， 设 A(x,y) ，由题意有 B(-x,-y) ，则 AF=(c-x,-y) ， BF=(c+x,y) ，又
17、 AFBF ，所以 AFBF=(c+x)(c-x)-y2=0 ，则 x2+y2-c2=0 ，又 A(x,y) 在双曲线上，所以 x2a2-y2b2=1 ，由 x2a2-y2b2=1x2+y2=c2c2=a2+b2 解得 x2=a2(2c2-a2)c2y2=c4-2a2c2+a4c2 ，又 A 在直线 y=kx 上， k33,3 ，所以 k2=y2x2=c4-2a2c2+a4a2(2c2-a2)=e4-2e2+12e2-1=e42e2-1-113,3 ，即 e42e2-143e42e2-14 ，整理得 3e4-8e2+40e4-8e2+40 ，解得 2e24+23 或 4-23e223 （舍，因
18、为双曲线离心率大于1），所以 2e3+1 ，故答案为：A. 【分析】 利用已知条件，求出A的坐标，代入双曲线方程，转化求解双曲线的离心率的范围即可.二、填空题（共7题；共34分）13.已知椭圆方程为 x24+y23=1 ，则其长轴长为_，焦点坐标为_. 【答案】 4；(1,0)【考点】椭圆的简单性质 【解析】【解答】根据椭圆的方程得 a2=4,b2=3 ， 所以长轴长 2a=4 ，又 c2=a2-b2=4-3=1 ，即 c=1 ，所以焦点坐标为 (1,0) .故答案为：4； (1,0) 【分析】 直接利用椭圆方程求解,长轴长以及椭圆的焦点坐标即可.14.将一张坐标纸折叠一次，使点 (3,2)
19、与点 (1,4) 重合，则折痕所在直线方程为_，与点 (-2,-2) 重合的点的坐标是_. 【答案】y=x+1；(-3,-1)【考点】中点坐标公式，与直线关于点、直线对称的直线方程 【解析】【解答】记点 A(3,2) 、 B(1,4) ，则 kAB=2-43-1=-1 ，线段 AB 的中点坐标为 (2,3) ， 所以，折痕所在直线的斜率为 k=-1-1=1 ，且折痕所在直线过点 (2,3) ，所以，折痕所在直线的方程为 y-3=x-2 ，即 y=x+1 .设点 (-2,-2) 关于直线 y=x+1 的对称点为 (a,b) ，则 b-22=a-22+1b+2a+2=-1 ，解得 a=-3b=-1
20、 .因此，与点 (-2,-2) 重合的点的坐标是 (-3,-1) .故答案为： y=x+1 ； (-3,-1) . 【分析】 直接利用中点坐标公式和点关于直线的对称问题的应用求出结果.15.若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是_ cm3 ， 表面积是_ cm2. 【答案】533；12+3【考点】由三视图还原实物图，棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积 【解析】【解答】由三视图可还原几何体如下：各棱长均为2的直三棱柱去掉一个直三棱锥所得到的几何体. VADC-ABC=VABC-ABC-VB-ADC=21223-1311223=533cm3 ，SADC-ABC=SABC-ABC
21、-2SADB-SABC+SADC=12+23-2-3+2=12+3cm2 ，故答案为： 533 ， 12+3 . 【分析】 首先把三视图转换为几何体的直观图，进而求出几何体的体积和表面积.16.一个三角形的斜二测画法的直观图是一个边长为 a 的正三角形，则原三角形的面积等于_. 【答案】62a2【考点】斜二测画法直观图 【解析】【解答】解：根据斜二测画法画平面图形的直观图的规则，可以得出一个平面图形的面积 S 与它的直观图的面积 S 之间的关系是 S=24S ， 本题中直观图的面积为 12aasin60=34a2 ，所以原三角形的面积等于 34a224=62a2 故答案为： 62a2 【分析】
22、 求出直观图正三角形的面积，利用一个平面图形的面积 S 与它的直观图的面积 S 之间的关系是 S=24S ，求出直观图的面积.17.如图所示，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，点 E 为线段 AB 的中点，点 F 在线段 AD 上移动，异面直线 B1C 与 EF 所成角最小时，其余弦值为_. 【答案】105【考点】用空间向量求直线间的夹角、距离 【解析】【解答】以 D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 设正方体的边长为 1 ，则 C(0,1,0) ， B1(1,1,1) ， E(1,12,0) ， F(x,0,0) ，所以 CB1=(1,0,1) ， EF=(x-1,-12,
23、0) ，所以 |cosCB1,EF|=|CB1EF|CB1|EF|=|x-1|2(x-1)2+14=22(x-1)2(x-1)2+14=2211+14(x-1)2 ， 0x1当异面直线 B1C 与 EF 所成角最小时，则 |cosCB1,EF| 最大，即 x=0 时， |cosCB1,EF|=2211+14=105 .故答案为： 105 【分析】以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量数量积的坐标运算即可求解。18.设 A 、 B 分别为双曲线 C:x2a2-y2b2=1(a0,b0) 的左、右顶点， P 、 Q 是双曲线 C 上关于 x 轴对称的不同两点，设直线 AP 、 BQ 的斜
24、率分别为 m 、 n ，若 mn=-1 ，则双曲线 C 的离心率 e 是_. 【答案】2【考点】双曲线的简单性质 【解析】【解答】设 P(x0,y0),Q(x0,-y0) ，而 A(-a,0),B(a,0) ，则 m=y0x0+a,n=-y0x0-a ， mn=-y02x02-a2 ，又 x02a2-y02b2=1 ，则 mn=-b2a2 ，而 mn=-1 ， b2=a2 ，即 e=a2+b2a2=2 .故答案为： 2 . 【分析】 设出P、Q坐标，求出直线的斜率，利用已知条件转化求解双曲线的离心率即可.19.如图，直线 l 平面 ，垂足为 O ，正四面体(所有棱长都相等的三棱锥) ABCD
25、的棱长为2， C 在平面 内， B 是直线 l 上的动点，当 O 到 AD 的距离为最大时，正四面体在平面 上的射影面积为_【答案】1+22【考点】空间中直线与直线之间的位置关系，空间中直线与平面之间的位置关系 【解析】【解答】如下图所示，取 BC 中点 E ， AD 中点 F ，连 AE ， DE ， OE ，易得 ADE 为等腰三角形， EF=AE2-AF2=(3)2-12=2 ，而点 O 是以 BC 为直径的球面上的点， O 到 AD 的距离为四面体上以 BC 为直径的球面上的点到 AD 的距离，故当 O ， E ， F 三点共线时，最大距离 d=OE+EF=1+2 ，此时 AD/ ，故
26、投影为以 AD 为底边， dcos4=1+22 为高的等腰三角形， S=122(1+22)=1+22 【分析】先确定直线BC与动点O的位置关系，得到最大距离是AD到球心的距离+半径，再考虑取得最大距离时四面体的投影情况，即可求得结论三、解答题（共4题；共56分）20.如图，已知四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 的底面是菱形，且 AA1 平面 ABCD ， DAB=60 ， AD=AA1 ， F 为棱 AA1 的中点， M 为线段 BD1 的中点. （1）求证： MF/ 平面 ABCD ； （2）求证： MF 平面 BDD1B1 . 【答案】 （1）证明：连结 AC 、 BD 交于点 O ，再
27、连结 MO OM/12A1A 且 OM=12A1A ，又 AF=12A1A ， OM/AF 且 OM=AF四边形 MOAF 是平行四边形， MF/OA又 OA 面 ABCD MF/ 面 ABCD（2）证明：底面是菱形， ACBD又 B1B 面 ABCD ， AC 面 ABCD ACB1B ， AC 面 BDD1B1又 MF/AC ， MF 面 BDD1B1【考点】直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定，直线与平面垂直的性质 【解析】【分析】（1） 连结AC、BD交于点O，再连结MO ，利用中位线的性质有 OM/AF且OM=AF ，结合平行四边形的性质，线面平行的判定即可证MF/平面ABCD
28、； （2）由已知，易证 AC面BDD1B1 ，利用线面垂直的性质定理即可证 MF面BDD1B1 。 21.已知直线 l 平行于直线 3x+4y-7=0 ，并且与两坐标轴围成的 OAB 的面积为24. （1）求直线 l 的方程； （2）求 OAB 的内切圆的方程. 【答案】 （1）解：设 l:3x+4y+m=0 . 当 y=0 时， x=-m3 ；当 x=0 时， y=-m4 .直线 l 与两坐标轴围成的三角形面积为24， 12|-m3|-m4|=24 . m=24 .直线 l 的方程为 3x+4y+24=0 或 3x+4y-24=0 .（2）直线 l 的方程为 x8+y6=1 ， OAB 直角
29、边长为6和8，斜边长为10， ABC 的内切圆半径 r=6+8-102=2 ，圆心 (2,2) 或 (-2,-2) ABC 的内切圆的方程为 (x-2)2+(y-2)2=4 或 (x+2)2+(y+2)2=4 【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系，圆的标准方程 【解析】【分析】 (1) 设l:3x+4y+m=0 ，利用直线与两坐标轴围成的OAB的面积为24 ，即可求直线l的方程； (2) ABC的内切圆半径r=6+8-102=2，圆心(2,2)或(-2,-2) ，即可求 OAB的内切圆的方程。 22.如图所示，已知平行四边形 ABCD 和矩形 ACEF 所在平面互相垂直， AB=1 ， A
30、D=2 ， ADC=60 ， AF=1 ， M 是线段 EF 的中点. （1）求证： ACBF ； （2）求直线 AD 与平面 BDF 所成角的余弦值； （3）设点 P 为一动点，若点 P 从 M 出发，沿棱按照 MEC 的路线运动到点 C ，求这一过程中形成的三棱锥 P-BFD 的体积的最小值. 【答案】 （1）在平行四边形 ABCD 中， ADC=60 ， CD=AB=1 ， AD=2 ， 由余弦定理可得 AC2=AD2+CD2-2ADCDcosADC=3 ， AC=3 ，BC=AD=2 ， AB2+AC2=BC2 ， BAC=90 ， ABAC ，因为四边形 ACEF 为矩形，则 AFA
31、C ，ABAF=A ， AC 平面 ABF ，BF 平面 ABF ，所以 ACBF ；（2）在 ABD 中， AB=1 ， AD=2 ， BAD=180-ADC=120 ， 由余弦定理可得 BD2=AB2+AD2-2ABADcosBAD=7 ，ABAC ，平面 ABCD 平面 ACEF ，平面 ABCD 平面 ACEF=AC ， AB 平面 ABCD ， AB 平面 ACEF ，AF 平面 ACEF ， ABAF ，则 BF=AB2+AF2=2 ，AFAC ， ABAC=A ， AF 平面 ABCD ，AD 平面 ABCD ， ADAF ， DF=AD2+AF2=5 ，BF2+DF2=BD2
32、，由勾股定理的逆定理知 BFD=90 ， SBDF=12BFDF=102 ，设点 A 在平面 BFD 内的射影为 O ，连接 DO ，则 ADO 为直线 AD 与平面 BDF 所成角， SABD=SABC=12ABAC=32 ，由 VA-BDF=VF-ABD ，可得 13AOSBDF=13AFSABD ，可得 AO=AFSABDSBDF=132102=3010 ，又 AD=2 ， sinADO=AOAD=301012=3020 ， cosADO=1-sin2ADO=37020 ，因此，直线 AD 与平面 BDF 所成角的余弦值为 37020 ；（3）设 AC 与 BD 相交于 N ，连接 FN
33、 、 CM ， 因为四边形 ABCD 为平行四边形，且 ACBD=N ，则 N 为 AC 的中点，AC/EF 且 AC=EF ， M 为 EF 的中点， CN/FM 且 CN=FM ，所以，四边形 CMFN 为平行四边形，则 CM/FN ，FN 平面 BDF ， CM 平面 BDF ， CM/ 平面 BDF ，由图可知，当点 P 在 M 或 C 时，三棱锥 P-BFD 的体积最小，(VP-BFD)min=VC-BFD=VF-BCD=131221sin1201=36 .【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积，直线与平面所成的角，余弦定理 【解析】【分析】 (1) 由余弦定理及勾股定理推出ABCA,结合
34、AFAC ，证明AC平面ABF，然后证明ACBF； (2)点A在平面BFD内的射影为O，连结DO，ADO为直线AD与平面BDF所成角.利用等体积法求得点A到平面BFD的距离，然后求解三角形，推出直线AD与平面BDF所成角的余弦值； (3) 设AC与BD相交于N ， 连接FN、CM ， 则 CM/FN，CM/平面BFD，说明当点P在M或C时，三棱锥P-BFD的体积最小，然后求解即可. 23.曲线 C1:x216+y24=1(y0) ，曲线 C2:x2=4y .自曲线 C1 上一点 A 作 C2 的两条切线，切点分别为 B ， C . （1）若 A 点坐标为 (23,-1) ，曲线 C2 的焦点为
35、 F .求证： B ， F ， C 三点共线； （2）求 SABC 的最大值. 【答案】 （1）解：抛物线焦点为 F(0,1) ， y=x24 , y=x2 ，若切点是 (x0,y0) ，则切线斜率是 k=x02 ， 方程为 y-y0=x02(x-x0) ，即 x0x=2y-2y0+x02=2y+2y0 ， x0x=4y+y02 设 B(x1,y1) ， C(x2,y2) ，则 lAB:x1x=4y1+y2 ，点 A(23,-1) 在直线 AB 上，则 23x1=4y1-12同理， 23x2=4y2-12则直线 BC 的方程为： 23x=4y-12点 F(0,1) 在直线 BC 上，即 B ，
36、 C ， F 三点共线.（2）设 B(x1,x124) ， C(x2,x224) ， lBC:y=kx+b ，则 x2=4yy=kx+b ， 即 x2-4kx-4b=0 ， x1+x2=4kx1x2=-4b=16k2+16b0则直线 AB:y=k1(x-x1)+x124 ，代入 x2=4y ，得 x2-4k1x+4k1x1-x12=0=16k12-16k1x1+4x12=0 ， k1=12x1 ， AB:y=12x1x-x124同理 AC:y=12x2x-x224 ，由 y=12x1-x124y=12x2-x224 ，解得 x=12(x1+x2)y=14x1x2 ， A(12(x1+x2),1
37、4x1x2) ， A(2k,-b) ， A 在椭圆上，则 4k216+b24=1 ， k2+b2=4(0b2) ， dA-BC=|-2k2-2b|1+k2|x1-x2|=16k2+16b ， |BC|=1+k2|x1-x2|SABC=121+k2|x1-x2|-2k2-2b|1+k2=16k2+16b|k2+b|=4(k2+b)32=4(4-b2+b)32=4(-(b-12)2+174)3217172当 b=12 ， k=152 时取等号.【考点】直线与圆锥曲线的综合问题 【解析】【分析】 (1)利用导数的几何意义求出直线BC的方程 23x=4y-12 ，由F(0,1)在直线BC上，能证明B，F,C三点共线； (2)设 lBC:y=kx+b ，由 x2=4yy=kx+b ， 得 x2-4kx-4b=0 ， 设B(x1,x124) ， C(x2,x224) ， 由已知条件求出 A(2k,-b) ， 从而得到 SABC=121+k2|x1-x2|-2k2-2b|1+k217172 ， 由此能求出 SABC 的最大值.