1、江苏省扬州中学20132014学年第一学期月考高三数学试卷 2013.12一、填空题（每题5分，满分70分，将答案填在答题纸上）1.已知集合，则 2.已知命题“若，则”，则命题及其逆命题、否命题、逆否命题中，正确命题的个数是 3.设是纯虚数，是实数，且等于 4.已知，则的值为 5.在等差数列中，若，则该数列的前15项的和为 6.已知直线平面，直线m平面，有下面四个命题：m；m；m；m其中正确命题序号是 7.已知，与的夹角为，则与的夹角为 8.设均为正实数，且，则的最小值为 9.已知方程+=0有两个不等实根和，那么过点的直线与圆的位置关系是 10.若动直线与函数的图象分别交于两点，则的最大值为
2、11.设，且，则 【答案】【解析】试题分析：这类问题，实际上就是寻找规律，寻找数列有什么特征？是等差数列或等比数列还是周期数列？可以先求前面几个试试看，可猜测，作为填空题，我们就大胆地填上这个答案吧，当然考虑到数学的严密性（或解答题），我们应该可加以证明，即数列是公比为的等比数列考点：等比数列的定义12.函数在区间上是减函数,则的最大值为 13.已知椭圆与轴相切，左、右两个焦点分别为，则原点O到其左准线的距离为 【答案】【解析】试题分析：这一题已经超过江苏高考数学要求，同学们权当闲聊观赏由于本题椭圆不是标准方程，我们只能根据椭圆的定义来解题，所以椭圆短轴所在直线方程为，即，原点到短轴所在直线的
3、距离为由椭圆（实际上是所有圆锥曲线）的光学性质：从一焦点发出的光线经过椭圆反射后（或反射延长线）通过另一个焦点，本题中切线是轴，设切点为，则，于是，解得，因此，又，所以，因此原点到左准线的距离应该是考点：椭圆的光学性质，椭圆的定义14.设，的所有非空子集中的最小元素的和为，则= 二、解答题 （本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.(本小题满分14分)设向量，函数.（1）求函数的单调递增区间；（2）求使不等式成立的的取值集合16.(本小题满分14分)如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，垂直于底面，分别为的中点 （1）求证：；（2）求点到平面的距离17.(本小题
4、满分14分)某种商品原来每件售价为25元，年销售8万件（1）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？（2）为了扩大该商品的影响力，提高年销售量公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到元公司拟投入万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用试问：当该商品明年的销售量至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价【答案】（1）40元；（2）至少应达到10.2万件，每件定价为30元【解析】18.(本小题满分16分)已知函数，设
5、曲线在点处的切线与轴的交点为，其中为正实数（1）用表示；（2）,若，试证明数列为等比数列，并求数列的通项公式；（3）若数列的前项和，记数列的前项和，求（2）因为，所以即，所以数列为等比数列故 1019.(本小题满分16分)如图所示，已知圆为圆上一动点，点是线段的垂直平分线与直线的交点 （1）求点的轨迹曲线的方程；（2）设点是曲线上任意一点，写出曲线在点处的切线的方程；（不要求证明）（3）直线过切点与直线垂直，点关于直线的对称点为，证明：直线恒过一定点，并求定点的坐标【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析，定点为【解析】试题分析：（1）本题动点依赖于圆上中，本来这种问题可以用动点转移法求轨迹方
6、程，但本题用动点试题解析：（ 1）点是线段的垂直平分线, 动点N的轨迹是以点C（1，0），A（1，0）为焦点的椭圆.椭圆长轴长为焦距2c=2. 曲线E的方程为5（2）曲线在点处的切线的方程是.8（3）直线的方程为，即 . 设点关于直线的对称点的坐标为, 则，解得 直线PD的斜率为 从而直线PD的方程为： 即, 从而直线PD恒过定点.16考点：（1）椭圆的定义；（2）椭圆的切线方程；（3）垂直，对称，直线过定点问题20.(本小题满分16分)设，两个函数，的图像关于直线对称.（1）求实数满足的关系式；（2）当取何值时，函数有且只有一个零点；（3）当时，在上解不等式【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（2）当时，函数有且只有一个零点，两个函数的图像有且只有一个交点，两个函数关于直线对称，两个函数图像的交点就是函数，的图像与直线的切点.设切点为，,当时，函数有且只有一个零点；（3）当时，设 ，则，当时，当时，在上是减函数.又0，不等式解集是考点：（1）两个函数图象的对称问题；（2）函数的零点与切线问题；（3）解函数不等式