1、第二章第十一讲(文)A组基础巩固一、选择题1f (x)是f(x)的导函数，若f (x)的图象如图所示，则f(x)的图象可能是()答案C分析解析由导函数的图象可知，当x0时，f (x)0，即函数f(x)为增函数；当0xx1时，f (x)0，即函数f(x)为减函数；当xx1时，f (x)0，即函数f(x)为增函数观察选项易知C正确2设函数f(x)在R上可导，其导函数为f (x)，且函数y(1x)f (x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是()A函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)C函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)D函数f(x)
2、有极大值f(2)和极小值f(2)答案D分析解析由图可知，当x2时，f (x)0；当2x1时，f (x)0；当1x2时，f (x)0；当x2时，f (x)0.由此可以得到函数f(x)在x2处取得极大值，在x2处取得极小值3(2015重庆一模)函数f(x)x3bx2cxd的图象如图，则函数ylog2(x2bx)的单调递减区间为()A，)B3，)C2,3D(，2)答案D解析因为f(x)x3bx2cxd，所以f (x)3x22bxc.由图可知f (2)f(3)0.所以解得令g(x)x2bx，则g(x)x2x6，g(x)2x1.由g(x)x2x60，解得x2或x3.当x时，g(x)0，所以g(x)x2x
3、6在(，2)上为减函数所以函数ylog2(x2bx)的单调递减区间为(，2)故选D4(2015陕西)对二次函数f(x)ax2bxc(a为非零整数)，四位同学分别给出下列结论，其中有且只有一个结论是错误的，则错误的结论是()A1是f(x)的零点B1是f(x)的极值点C3是f(x)的极值D点(2,8)在曲线yf(x)上答案A解析由A知abc0；由B知f (x)2axb,2ab0；由C知f (x)2axb，令f (x)0可得x，则f()3，则3；由D知4a2bc8.假设A选项错误，则，得，满足题意，故A结论错误同理易知当B或C或D选项错误时不符合题意，故选A5若函数f(x)(a0)在1，)上的最大值
4、为，则a的值为()ABC1D1答案D解析f (x)，若a1，当x时，f (x)0，f(x)单调递减，当1x时，f (x)0，f(x)单调递增，当x时，令f(x)，1，不合题意若0a1，则f (x)0，f(x)在1，)上单调递减，f(x)maxf(1)，a1，故选D6(20152016学年重庆中学高三月考试题)已知函数f(x)x22x1alnx有两个极值点x1，x2，且x1x2，则实数a的取值范围为()A(，)B(0，)C(，)D(0，答案B分析对f(x)求导数，f (x)0有两个不同的正实根x1，x2，由判别式以及根与系数的关系求出a的取值范围解析由题意，f(x)x22x1alnx的定义域为(
5、0，)，f (x)2x2；f(x)有两个极值点x1，x2，f (x)0有两个不同的正实根x1，x2，2x22xa0的判别式48a0，解得a；方程的两根为x1，x2；x1x21，x1x20，a0；综上，a的取值范围为(0，)故选：B点拨本题考查了利用函数的性质求参数取值，考查转化思想的应用，是容易出错的题目7函数f(x)在定义域R内可导，若f(x)f(2x)，且当x(，1)时，(x1)f (x)0，设af(0)，bf()，cf(3)，则()AabcBcabCcbaDbca答案B解析由f(x)f(2x)可得对称轴为x1，故f(3)f(12)f(12)f(1)又x(，1)时，(x1)f (x)0，可
6、知f (x)0.即f(x)在(，1)上单调递增，f(1)f(0)f()，即cab.二、填空题8函数yx2sinx在(0,2)内的单调增区间为_.答案(，)解析y12cosx，由即得x.函数yx2sinx在(0,2)内的增区间为(，)9若函数f(x)的定义域为R，且满足f(2)2，f (x)1，则不等式f(x)x0的解集为_.答案(2，)解析令g(x)f(x)x，g(x)f (x)1.由题意知g(x)0，g(x)为增函数g(2)f(2)20，g(x)0的解集为(2，)10若yalnxbx2x在x1和x2处有极值，则a_，b_.答案解析y2bx1.由已知解得11已知yf(x)是奇函数，当x(0,2
7、)时，f(x)lnxax(a)，当x(2,0)时，f(x)的最小值为1，则a_.答案1解析f(x)是奇函数，且当x(2,0)时，f(x)的最小值为1，f(x)在(0,2)上的最大值为1.当x(0,2)时，f (x)a，令f (x)0得x，又a，02.当x时，f (x)0，f(x)在(0，)上单调递增；当x时，f (x)0，f(x)在(，2)上单调递减，f(x)maxf()lna1，解得a1.三、解答题12已知函数f(x)exkx2，xR.若f(x)在区间(0，)上单调递增，试求k的取值范围.答案(，解析方法一(分离参数法)：f (x)ex2kx.当x0时，由ex2kx0，得k在(0，)上恒成立
8、，令p(x)，则有kp(x)min，则p(x)，令p(x)0，解得x1，列表如下：x(0,1)1(1，)p(x)0p(x)极小值故函数p(x)在x1处取得极小值，亦即最小值因为p(x)minp(1)，所以k，故实数k的取值范围是(，方法二(分类讨论法)：f (x)ex2kx，若k0，显然f (x)0，则f(x)在区间(0，)上单调递增；记(x)ex2kx，则(x)ex2k，当0k时，因为exe01,2k1，所以(x)0，则(x)在(0，)上单调递增，于是f (x)(x)(0)10，所以f(x)在(0，)上单调递增当k时，(x)ex2kx在(0，ln(2k)上单调递减，在(ln(2k)，)上单调
9、递增，于是f (x)(x)(ln(2k)eln(2k)2kln(2k)，由eln(2k)2kln(2k)0，得2k2kln(2k)0，则k.综上所述，k的取值范围是(，13已知函数f(x)(a0)的导函数yf (x)的两个零点为3和0.(1)求f(x)的单调区间；(2)若f(x)的极小值为e3，求f(x)在区间5，)上的最大值答案(1)增区间(3,0)，减区间(，3)和(0，)(2)5e5解析(1)f (x).令g(x)ax2(2ab)xbc，因为ex0，所以yf (x)的零点就是g(x)ax2(2ab)xbc的零点，且f (x)与g(x)符号相同又因为a0，所以3x0时，g(x)0，即f (
10、x)0，当x3或x0时，g(x)0，即f (x)0，所以f(x)的单调增区间是(3,0)，单调减区间是(，3)，(0，)(2)由(1)知，x3是f(x)的极小值点，所以有解得a1，b5，c5，所以f(x).因为f(x)的单调增区间是(3,0)，单调减区间是(，3)，(0，)，所以f(0)5为函数f(x)的极大值，故f(x)在区间5，)上的最大值取f(5)和f(0)中的最大者而f(5)5e55f(0)，所以函数f(x)在区间5，)上的最大值是5e5.B组能力提升1(原创题)正项等比数列an中的a2，a4 032是函数f(x)x3ax2x1的极值点，则lna2 017()A1B1C0D与a的值有关
11、答案C分析解析因为f(x)x3ax2x1，所以f (x)x22ax1.由题意，知a2，a4 032是函数f(x)x3ax2x1的极值点，即方程f (x)0的两个不同的零点由一元二次方程根与系数之间的关系，可得由等比数列的性质可得a2a4 032a1.因为an0，所以a2 0171，故lna2 017ln10.点拨解决此类问题的关键在于准确把握函数极值点与导函数的零点两者之间的关系解决函数极值问题时，不能认为导函数的零点就是函数的极值点，而要判断函数在该点两侧的单调性是否发生变化，即导函数的零点是否是一个变号零点，如果不是一个变号零点，那么就不是一个极值点2(2015云南师大附中适应性考试)设函
12、数f(x)ex(sinxcosx)(0x2 015)，则函数f(x)的各极小值之和为()ABCD答案D解析f (x)2exsinx，当x(2k，2k2)(kZ)时，f (x)0，f(x)单调递减，当x(2k2，2k3)(kZ)时，f (x)0，f(x)单调递增，故当x2k2(kZ)时，f(x)取极小值，其极小值为f(2k2)e2k2(kZ)，又0x2 015，所以f(x)的各极小值之和Se2e4e2 014，故选D3定义在R上的函数f(x)满足：f(x)f (x)1，f(0)4，则不等式exf(x)ex3(其中e为自然对数的底数)的解集为_.答案(0，)解析设g(x)exf(x)ex(xR)，
13、则g(x)exf(x)exf (x)exexf(x)f (x)1，因为f(x)f (x)1，所以f(x)f (x)10，所以g(x)0，所以g(x)在R上单调递增因为exf(x)ex3，所以g(x)3.又g(0)e0f(0)1413，所以g(x)g(0)，所以x0.4已知f(x)axlnx，x(0，e，g(x)，其中e是自然对数的底数，aR.(1)讨论a1时，函数f(x)的单调性和极值；(2)求证：在(1)的条件下，f(x)g(x)；(3)是否存在正实数a，使f(x)的最小值是3？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由答案(1)减区间(0,1)，增区间(1，e，极小值为1(2)略(3)存在，
14、ae2解析(1)a1，f(x)xlnx，f (x)1，当0x1时，f (x)0，此时f(x)单调递减；当1xe时，f (x)0，此时f(x)单调递增f(x)的极小值为f(1)1.(2)证明f(x)的极小值为1，即f(x)在(0，e上的最小值为1，f(x)min1.又g(x)，当0xe时，g(x)0，g(x)在(0，e上单调递增g(x)maxg(e)，f(x)ming(x)max，在(1)的条件下，f(x)g(x).(3)假设存在正实数a，使f(x)axlnx(x(0，e)有最小值3，则f (x)a.当0e时，f(x)在(0，)上单调递减，在(，e上单调递增，f(x)minf()1lna3，ae
15、2，满足条件；当e时，f(x)在(0，e上单调递减，f(x)minf(e)ae13，a(舍去)，所以，此时f(x)无最小值综上，存在实数ae2，使得当x(0，e时f(x)有最小值3.5设f(x)xlnx，g(x)x3x23.(1)如果存在x1，x20,2使得g(x1)g(x2)M成立，求满足上述条件的最大整数M；(2)如果对于任意的s，t，2，都有f(s)g(t)成立，求实数a的取值范围答案(1)M4(2)1，)解析(1)存在x1，x20,2使得g(x1)g(x2)M成立，等价于g(x1)g(x2)maxM.由g(x)x3x23，得g(x)3x22x3x(x)由g(x)0得x0或x，又x0,2
16、，所以g(x)在0，上是单调递减函数，在，2上是单调递增函数，所以g(x)ming()，g(x)maxg(2)1.故g(x1)g(x2)maxg)x)maxg(x)minM，则满足条件的最大整数M4.(2)对于任意的s，t，2，都有f(s)g(t)成立，等价于在，2上，函数f(x)ming(x)max.由(1)可知在，2上，g(x)的最大值为g(2)1.在，2上，f(x)xlnx1恒成立等价于axx2lnx恒成立设h(x)xx2lnx，h(x)12xlnxx，可知h(x)在，2上是减函数，又h(1)0，所以当1x2时，h(x)0；当x1时，h(x)0.即函数h(x)xx2lnx在，1上单调递增，在1,2上单调递减，所以h(x)maxh(1)1，即实数a的取值范围是1，)点拨如果一个问题的求解中既有“存在性”又有“恒成立”问题，那么需要对问题作等价转化，使之变成与典例1、典例2相关的问题去求解，这里一定要注意转化的等价性、巧妙性，防止在转化中出错而使问题的求解出错