1、2016年浙江省五校联考高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1定义集合A=x|f（x）=，B=y|y=log2（2x+2），则ARB=（）A（1，+）B0，1C0，1）D0，2）2ABC的三内角A，B，C的对边分别是a，b，c，则“a2+b2c2”是“ABC为钝角三角形”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件3对任意的（0，），不等式+|2x1|恒成立，则实数x的取值范围是（）A3，4B0，2CD4，54已知棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，下列命题不正确的是（）A平
2、面ACB1平面A1C1D，且两平面的距离为B点P在线段AB上运动，则四面体PA1B1C1的体积不变C与所有12条棱都相切的球的体积为DM是正方体的内切球的球面上任意一点，N是AB1C外接圆的圆周上任意一点，则|MN|的最小值是5设函数f（x）=，若函数g（x）=f（x）m在0，2内恰有4个不同的零点，则实数m的取值范围是（）A（0，1）B1，2C（0，1D（1，2）6已知F1，F2是双曲线=1（a0，b0）的左右焦点，以F1F2为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为P，过点P向x轴作垂线，垂足为H，若|PH|=a，则双曲线的离心率为（）ABCD7已知3tan+=1，sin=3sin（2+），则t
3、an（+）=（）ABCD38如图，棱长为4的正方体ABCDA1B1C1D1，点A在平面内，平面ABCD与平面所成的二面角为30，则顶点C1到平面的距离的最大值是（）A2（2+）B2（+）C2（+1）D2（+1）二、填空题（本大题共7小题，前4题每题6分，后3题每题4分，共36分）9已知空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是；几何体的体积是10若x=是函数f（x）=sin2x+acos2x的一条对称轴，则函数f（x）的最小正周期是；函数f（x）的最大值是11已知数列an满足：a1=2，an+1=，则a1a2a3a15=；设bn=（1）nan，数列bn前n项的和为Sn，则S2016=12
4、已知整数x，y满足不等式，则2x+y的最大值是；x2+y2的最小值是13已知向量，满足：|=2，向量与夹角为，则的取值范围是14若f（x+1）=2，其中xN*，且f（1）=10，则f（x）的表达式是15从抛物线y2=2x上的点A（x0，y0）（x02）向圆（x1）2+y2=1引两条切线分别与y轴交B，C两点，则ABC的面积的最小值是三、解答题（本大题共5小题，共74分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16如图，四边形ABCD，DAB=60，CDAD，CBAB（）若2|CB|=|CD|=2，求ABC的面积；（）若|CB|+|CD|=3，求|AC|的最小值17如图（1）E，F分别是AC，AB
5、的中点，ACB=90，CAB=30，沿着EF将AEF折起，记二面角AEFC的度数为（）当=90时，即得到图（2）求二面角ABFC的余弦值；（）如图（3）中，若ABCF，求cos的值18设函数f（x）=ax2+bx+c，g（x）=c|x|+bx+a，对任意的x1，1都有|f（x）|（1）求|f（2）|的最大值；（2）求证：对任意的x1，1，都有|g（x）|119已知椭圆C： +=1（ab0）的离心率为，焦点与短轴的两顶点的连线与圆x2+y2=相切（）求椭圆C的方程；（）过点（1，0）的直线l与C相交于A，B两点，在x轴上是否存在点N，使得为定值？如果有，求出点N的坐标及定值；如果没有，请说明理由
6、20已知正项数列an满足：Sn2=a13+a23+an3（nN*），其中Sn为数列an的前n项的和（）求数列an的通项公式；（）求证：（）+（）+（）+（）32016年浙江省五校联考高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1定义集合A=x|f（x）=，B=y|y=log2（2x+2），则ARB=（）A（1，+）B0，1C0，1）D0，2）【考点】交、并、补集的混合运算【分析】求出A中x的范围确定出A，求出B中y的范围确定出B，找出A与B补集的交集即可【解答】解：由A中f（x）=，得到2x10，即
7、2x1=20，解得：x0，即A=0，+），由2x+22，得到y=log2（2x+2）1，即B=（1，+），全集为R，RB=（，1，则ARB=0，1故选：B2ABC的三内角A，B，C的对边分别是a，b，c，则“a2+b2c2”是“ABC为钝角三角形”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】在ABC中，由“a2+b2c2”，利用余弦定理可得：C为钝角，因此“ABC为钝角三角形”，反之不成立【解答】解：在ABC中，“a2+b2c2”cosC=0C为钝角“ABC为钝角三角形”，反之不一定成立，可能是A或B为钝角ABC的三内
8、角A，B，C的对边分别是a，b，c，则“a2+b2c2”是“ABC为钝角三角形”的充分不必要条件故选：A3对任意的（0，），不等式+|2x1|恒成立，则实数x的取值范围是（）A3，4B0，2CD4，5【考点】基本不等式【分析】对任意的（0，），sin2+cos2=1，可得+=（sin2+cos2）=5+，利用基本不等式的性质可得其最小值M由不等式+|2x1|恒成立，可得M|2x1|，解出即可得出【解答】解：对任意的（0，），sin2+cos2=1，+=（sin2+cos2）=5+5+22=9，当且仅当时取等号不等式+|2x1|恒成立，9|2x1|，92x19，解得4x5，则实数x的取值范围是4
9、，5故选：D4已知棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，下列命题不正确的是（）A平面ACB1平面A1C1D，且两平面的距离为B点P在线段AB上运动，则四面体PA1B1C1的体积不变C与所有12条棱都相切的球的体积为DM是正方体的内切球的球面上任意一点，N是AB1C外接圆的圆周上任意一点，则|MN|的最小值是【考点】命题的真假判断与应用【分析】A根据面面平行的判定定理以及平行平面的距离进行证明即可B研究四面体的底面积和高的变化进行判断即可C所有12条棱都相切的球的直径2R等于面的对角线B1C的长度，求出球半径进行计算即可D根据正方体内切球和三角形外接圆的关系进行判断即可【解答】解：AAB1
10、DC1，ACA1C1，且ACAB1=A，平面ACB1平面A1C1D，长方体的体对角线BD1=，设B到平面ACB1的距离为h，则=1=h，即h=，则平面ACB1与平面A1C1D的距离d=2h=，故A正确，B点P在线段AB上运动，则四面体PA1B1C1的高为1，底面积不变，则体积不变，故B正确，C与所有12条棱都相切的球的直径2R等于面的对角线B1C=，则2R=，R=，则球的体积V=（）3=，故C正确，D设与正方体的内切球的球心为O，正方体的外接球为O，则三角形ACB1的外接圆是正方体的外接球为O的一个小圆，点M在与正方体的内切球的球面上运动，点N在三角形ACB1的外接圆上运动，线段MN长度的最小
11、值是正方体的外接球的半径减去正方体的内切球相切的球的半径，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，线段MN长度的最小值是故D错误，故选：D5设函数f（x）=，若函数g（x）=f（x）m在0，2内恰有4个不同的零点，则实数m的取值范围是（）A（0，1）B1，2C（0，1D（1，2）【考点】函数零点的判定定理【分析】画出函数f（x）的图象，问题转化为f（x）和y=m在0，2内恰有4个不同的交点，结合图象读出即可【解答】解：画出函数f（x）在0，2的图象，如图示：，若函数g（x）=f（x）m在0，2内恰有4个不同的零点，即f（x）和y=m在0，2内恰有4个不同的交点，结合图象，0m1，故选：A6已
12、知F1，F2是双曲线=1（a0，b0）的左右焦点，以F1F2为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为P，过点P向x轴作垂线，垂足为H，若|PH|=a，则双曲线的离心率为（）ABCD【考点】双曲线的简单性质【分析】运用双曲线的定义和直径所对的圆周角为直角，运用勾股定理，化简可得|PF1|PF2|=2c22a2，再由三角形的等积法，结合离心率公式，计算即可得到所求值【解答】解：由双曲线的定义可得|PF1|PF2|=2a，由直径所对的圆周角为直角，可得PF1PF2，可得|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2，2，可得2|PF1|PF2|=4c24a2，即有|PF1|PF2|=2c22a2，由
13、三角形的面积公式可得， |PF1|PF2|=|PH|F1F2|，即有2c22a2=2ac，由e=可得，e2e1=0，解得e=（负的舍去）故选：C7已知3tan+=1，sin=3sin（2+），则tan（+）=（）ABCD3【考点】两角和与差的正切函数【分析】由已知式子可得sin（+）=3sin（+）+，保持整体展开变形可得tan（+）=2tan，再由3tan+=1和二倍角的正切公式可得tan的值，代入计算可得【解答】解：sin=3sin（2+），sin（+）=3sin（+）+，sin（+）coscos（+）sin=3sin（+）cos+3cos（+）sin，2sin（+）cos=4cos（+）
14、sin，tan（+）=2tan，又3tan+=1，3tan=1，tan=，tan（+）=2tan=，故选：A8如图，棱长为4的正方体ABCDA1B1C1D1，点A在平面内，平面ABCD与平面所成的二面角为30，则顶点C1到平面的距离的最大值是（）A2（2+）B2（+）C2（+1）D2（+1）【考点】点、线、面间的距离计算【分析】如图所示，O在AC上，C1O，垂足为E，则C1E为所求，OAE=30，由题意，设CO=x，则AO=4x，由此可得顶点C1到平面的距离的最大值【解答】解：如图所示，AC的中点为O，C1O，垂足为E，则C1E为所求，AOE=30由题意，设CO=x，则AO=4x，C1O=，O
15、E=OA=2x，C1E=+2x，令y=+2x，则y=0，可得x=，x=，顶点C1到平面的距离的最大值是2（+）故选：B二、填空题（本大题共7小题，前4题每题6分，后3题每题4分，共36分）9已知空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是8；几何体的体积是【考点】由三视图求面积、体积【分析】根据三视图可知几何体是组合体：中间是圆柱上下是半球，由三视图求出几何元素的长度，利用柱体、球体的体积公式计算出几何体的体积，由面积公式求出几何体的表面积【解答】解：根据三视图可知几何体是组合体：中间是圆柱上下是半球，球和底面圆的半径是1，圆柱的母线长是2，几何体的表面积S=412+212=8，几何体的体
16、积是V=，故答案为：10若x=是函数f（x）=sin2x+acos2x的一条对称轴，则函数f（x）的最小正周期是；函数f（x）的最大值是【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象【分析】利用辅助角公式化f（x）=sin2x+acos2x=（tan=a），由已知求出得到a值，则函数的周期及最值可求【解答】解：f（x）=sin2x+acos2x=（tan=a），又x=是函数的一条对称轴，即则f（x）=T=；由a=tan=tan（）=tan=，得函数f（x）的最大值是故答案为：11已知数列an满足：a1=2，an+1=，则a1a2a3a15=3；设bn=（1）nan，数列bn前n项的和为Sn，
17、则S2016=2100【考点】数列的求和【分析】利用递推式计算前5项即可发现an为周期为4的数列，同理bn也是周期为4的数列，将每4项看做一个整体得出答案【解答】解：a1=2，an+1=，a2=3，a3=，a4=，a5=2a4n+1=2，a4n+2=3，a4n+3=，a4n=a4n+1a4n+2a4n+3a4n=2=1a1a2a3a15=a13a14a15=a1a2a3=2（3）（）=3bn=（1）nan，b4n+1=2，b4n+2=3，b4n+3=，b4n=b4n+1+b4n+2+b4n+3+b4n=23+=S2016=2100故答案为：3，210012已知整数x，y满足不等式，则2x+y的
18、最大值是24；x2+y2的最小值是8【考点】简单线性规划【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，代入最优解的坐标得答案第二问，转化为点到原点的距离的平方，求出B的坐标代入求解即可【解答】解：由约束条件作出可行域如图，由z=2x+y，得y=2x+z，由图可知，当直线y=2x+z过A时，直线在y轴上的截距最大，由可得，A（8，8）z最大等于28+8=24x2+y2的最小值是可行域的B到原点距离的平方，由可得B（2，2）可得22+22=8故答案为：24；813已知向量，满足：|=2，向量与夹角为，则的取值范围是【考点】平面向量数量积的运算【分析】不妨设=（x，
19、0）（x0），=， =， =， =由于向量与夹角为，可得：AOB=.1，1在OAB中，由正弦定理可得： =，化简整理可得： =2+=+2，即可得出【解答】解：不妨设=（x，0）（x0），=，=， =， =向量与夹角为，AOB=，1，1在OAB中，由正弦定理可得： =，=， =sin=，=2+=+2=+2=+2的取值范围是故答案为：14若f（x+1）=2，其中xN*，且f（1）=10，则f（x）的表达式是f（x）=4（）（xN*）【考点】数列与函数的综合【分析】由题意可得f（x）0恒成立，可对等式两边取2为底的对数，整理为log2f（x+1）2=（log2f（x）2），由xN*，可得数列log2
20、f（x）2）为首项为log2f（1）2=log2102，公比为的等比数列，运用等比数列的通项公式，整理即可得到f（x）的解析式【解答】解：由题意可得f（x）0恒成立，由f（x+1）=2，可得：log2f（x+1）=1+log2，即为log2f（x+1）=1+log2f（x），可得log2f（x+1）2=（log2f（x）2），由xN*，可得数列log2f（x）2）是首项为log2f（1）2=log2102，公比为的等比数列，可得log2f（x）2=（log2102）（）x1，即为log2f（x）=2+log2（）x1，即有f（x）=222=4（）故答案为：f（x）=4（）（xN*）15从抛物线
21、y2=2x上的点A（x0，y0）（x02）向圆（x1）2+y2=1引两条切线分别与y轴交B，C两点，则ABC的面积的最小值是8【考点】抛物线的简单性质【分析】设B（0，yB），C（0，yC），A（x0，y0），其中x02，写出直线AB的方程为（y0yB）xx0y+x0yB=0，由直线AB与圆相切可得（x02）yB2+2y0yBx0=0，同理：（x02）yA2+2y0yAx0=0，故yA，yB是方程（x02）y2+2y0yx0=0的两个不同的实根，因为S=|yCyB|x0，再结合韦达定理即可求出三角形的最小值【解答】解：设B（0，yB），C（0，yC），A（x0，y0），其中x02，所以直线AB
22、的方程，化简得（y0yB）xx0y+x0yB=0直线AB与圆相切，圆心到直线的距离等于半径，两边平方化简得（x02）yB2+2y0yBx0=0同理可得：（x02）yA2+2y0yAx0=0，故yC，yB是方程（x02）y2+2y0yx0=0的两个不同的实根，所以yC+yB=，yCyB=，所以S=|yCyB|x0=（x02）+48，所以当且仅当x0=4时，S取到最小值8，所以ABC的面积的最小值为8故答案为：8三、解答题（本大题共5小题，共74分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16如图，四边形ABCD，DAB=60，CDAD，CBAB（）若2|CB|=|CD|=2，求ABC的面积；（）若
23、|CB|+|CD|=3，求|AC|的最小值【考点】余弦定理【分析】（）由已知可求DCB，利用余弦定理可求BD，进而求得AC，AB，利用三角形面积公式即可得解（）设|BC|=x0，|CD|=y0，由已知及基本不等式可求BD的最小值，进而可求AC的最小值【解答】（本题满分为15分）解：（）DAB=60，CDAD，CBAB，可得A，B，C，D四点共圆，DCB=120，BD2=BC2+CD22CDCBcos120=1+4+2=7，即BD=，（）设|BC|=x0，|CD|=y0，则：x+y=3，BD2=x2+y2+xy=（x+y）2xy，当时取到17如图（1）E，F分别是AC，AB的中点，ACB=90，
24、CAB=30，沿着EF将AEF折起，记二面角AEFC的度数为（）当=90时，即得到图（2）求二面角ABFC的余弦值；（）如图（3）中，若ABCF，求cos的值【考点】二面角的平面角及求法【分析】（）推导出AE平面CEFB，过点E向BF作垂线交BF延长线于H，连接AH，则AHE为二面角ABFC的平面角，由此能求出二面角ABFC的余弦值（）过点A向CE作垂线，垂足为G，由ABCF，得GBCF，由此能求出cos的值【解答】解：（）平面AEF平面CEFB，且EFEC，AE平面CEFB，过点E向BF作垂线交BF延长线于H，连接AH，则AHE为二面角ABFC的平面角设，二面角ABFC的余弦值为（）过点A向
25、CE作垂线，垂足为G，如果ABCF，则根据三垂线定理有GBCF，BCF为正三角形，则，cos的值为18设函数f（x）=ax2+bx+c，g（x）=c|x|+bx+a，对任意的x1，1都有|f（x）|（1）求|f（2）|的最大值；（2）求证：对任意的x1，1，都有|g（x）|1【考点】二次函数的性质；绝对值三角不等式【分析】（1）由|f（x）|得|f（0）|，|f（1）|，|f（1）|，代入解析式即可得出a，b，c的关系，使用放缩法求出|f（2）|的最值；（2）由（1）得出|g（1）|，故g（x）单调时结论成立，当g（x）不单调时，g（x）=a，利用不等式的性质求出a的范围即可【解答】解：（1）
26、对任意的x1，1都有|f（x）|f（0）|，|f（1）|，|f（1）|，|c|，|a+b+c|，|ab+c|；|f（2）|=|4a+2b+c|=|3（a+b+c）+（ab+c）3c|3（a+b+c）|+|（ab+c）|+|3c|=|f（2）|的最大值为（2）a+b+c，ab+c，c，1a+b1，1ab1，1a1，若c|x|+bx=0，则|g（x）|=|a|，|g（x）|1，若c|x|+bx0，则g（x）为单调函数，|g（1）|=|ab+c|，|g（1）|=|a+b+c|，|g（x）|综上，|g（x）|119已知椭圆C： +=1（ab0）的离心率为，焦点与短轴的两顶点的连线与圆x2+y2=相切（
27、）求椭圆C的方程；（）过点（1，0）的直线l与C相交于A，B两点，在x轴上是否存在点N，使得为定值？如果有，求出点N的坐标及定值；如果没有，请说明理由【考点】椭圆的简单性质【分析】（）由椭圆的离心率为，焦点与短轴的两顶点的连线与圆x2+y2=相切，列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆方程（）当直线l的斜率存在时，设其方程为y=k（x1），A（x1，y1），B（x2，y2），直线方程与椭圆立，利用韦达定理、根的判别式、向量的数量积，结合已知条件能求出存在点满足【解答】解：（）椭圆C： +=1（ab0）的离心率为，焦点与短轴的两顶点的连线与圆x2+y2=相切，解得c2=1，a2=4，b2=3椭圆
28、方程为（）当直线l的斜率存在时，设其方程为y=k（x1），A（x1，y1），B（x2，y2），则0，若存在定点N（m，0）满足条件，则有=（x1m）（x2m）+y1y2=如果要上式为定值，则必须有验证当直线l斜率不存在时，也符合故存在点满足20已知正项数列an满足：Sn2=a13+a23+an3（nN*），其中Sn为数列an的前n项的和（）求数列an的通项公式；（）求证：（）+（）+（）+（）3【考点】数列与不等式的综合；数列递推式【分析】（）通过Sn2=a13+a23+an3（nN*）与Sn12=a13+a23+an13（n2，nN*）作差、计算可知Sn+Sn1=，并与Sn1Sn2=作差、整
29、理即得结论；（）通过（）可知，一方面利用不等式的性质、累加可知（）+（）+（）+（），另一方面通过放缩、利用裂项相消法计算可知+2，进而整理即得结论【解答】解：（）Sn2=a13+a23+an3（nN*），Sn12=a13+a23+an13（n2，nN*），两式相减得：=，an（Sn+Sn1）=，数列an中每一项均为正数，Sn+Sn1=，又Sn1Sn2=，两式相减得：anan1=1，又a1=1，an=n；证明：（）由（）知，即，令k=1，2，3，n，累加后再加得：（）+（）+（）+（）2+2+2+=（2n+1）=，又+3等价于+2，而=（）=（）（）=2（），令k=2，3，4，2n+1，累加得：+2（1）+2（）+2（）=2（1）2，2016年8月11日
